高二升高三】準(zhǔn)高三預(yù)備試卷十五【空間幾何體的表面積和體積(2

1、空間幾何體的表面積和體積(2)1.2, D為線段AC的中點(diǎn)，E女口圖，在三棱錐 ？?- ?, ?L? ?L ?,? ?L ? ?= ? ?= 為線段PC上一點(diǎn).(1)求證：？?_ ?求證：平面？?2平面PAC ； 當(dāng)?/平面BDE時(shí)，求三棱錐 ？?- ?的體積.D2.如圖，在四棱錐 ?- ?中? ?/?且 ?/ ?90.(1)證明：平面？?？?平面PAD ；O 8（2）若?= ?= ?= ? ?90 ,且四棱錐?- ?的體積為，3該四棱錐的側(cè)面積.3.如圖，四棱錐？? ?中？側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD ,1 ?= ?= 2? ?/ ?90 .(1) 證明：直線？?/平面PAD

2、；(2) 若厶？?面積為2 7,求四棱錐?- ?的體積.4. 如圖，在四棱錐 ?- ?中? ?/? ?是等邊三角形，平面 ?&面 ABCD ,已知？?= 2 , ?=2 3, ?= 2? 4.(1)設(shè)M是PC上一點(diǎn)，求證：平面 ？?久平面PAD ；5. 如圖，在四棱錐 ？? ?中？側(cè)棱？?底面 方形，側(cè)棱？?？ 4，AC與BD相交于點(diǎn)0.(1) 證明：？?_ ?(2) 求三棱錐?- ?的?體積.6. 如圖四面體 ABCD中， ?正三角形，？=?(1) 證明：？?_ ?(2) 已知 ?超直角三角形，？?= ?若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且？?L ?,?求四面體 ABCE與 四面體ACDE的體積

3、比.7.D如圖，四棱錐?- ? ?U底面 ABCD , ?/? ?= ?= ?= 3,?= ?= 4, M 為線段 AD上一點(diǎn)，？?= 2? N為PC的中點(diǎn).(I )證明?/平面 PAB ；( )求四面體?- ?體積.如圖，在四棱錐?- ?中? ?U平面ABCD ,底面ABCD是菱形，點(diǎn) 對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，？?= 2, ?=?60 , M是PD的中點(diǎn).(I )求證：？?/平面 PAB ；( )平面？?U平面 PAC;O是(In )當(dāng)三棱錐？?- ?體積等于3時(shí)，求PA的長(zhǎng).8.三、解答題(本大題共8小題，共96.0分)1. 如圖，在三棱錐 ?- ?中?，？?L? ?爼？?,？?L?= ?

4、學(xué)?= 2, D 為線段 AC 的中點(diǎn)，E 為線段PC上一點(diǎn).(1) 求證：？?_ ?(2) 求證：平面？?2平面PAC ；(3) 當(dāng)?/平面BDE時(shí)，求三棱錐？?- ?的體積.【答案】 解： 證明：由？?爼？?？?L ?,?平面 ABC, ?平面 ABC,且？?= ?可得？?L平面ABC,由？?？平面ABC,可得?L ?證明：由？?= ?,? D為線段AC的中點(diǎn)，丄M貫可得？?！?,?J 十D r 沁丄 B由？?L平面 ABC, ?平面 PAC,可得平面？?!平面ABC,又平面？?平面? ?,?7?平面 ABC,且？L ?,?即有?L面 PAC,?7?平面 BDE,可得平面?L平面PAC ；

5、(3)?/平面 BDE , ?平面 PAC,且平面？?平面? ?可得?/?又D為AC的中點(diǎn)，1可得E為PC的中點(diǎn)，且？?= -?S 1 ,由？?L平面ABC,可得?L平面 ABC,1 11可得? ?= 2 ? ?=? 2 2 2 = 1 ,111則三棱錐？?- ?的體積為-? ?=? 3 1 1 = 3.333【解析】(1)運(yùn)用線面垂直的判定定理可得？?L平面ABC ,再由性質(zhì)定理即可得證；(2)要證平面？?L平面PAC ,可證？?L平面PAC ,由(1)運(yùn)用面面垂直的判定定理可得平面？?!平面ABC ,再由等腰三角形的性質(zhì)可得 ？?L ?,?運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理，即可得證；由線面平行的性質(zhì)

6、定理可得 ？?？運(yùn)用中位線定理，可得DE的長(zhǎng)，以及?L平面ABC ,求得三角形BCD的面積，運(yùn)用三棱錐的體積公式計(jì)算即可得到所求值.本題考查空間的線線、線面和面面的位置關(guān)系的判斷，主要是平行和垂直的關(guān)系，注意運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，同時(shí)考查三棱錐的體積的求法，考查空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.2. 如圖，在四棱錐 ?- ?中? ?/?且/ ?/ ?90.(1)證明：平面?平面PAD ;O 8(2)若？?= ?= ?= ? / ?90 ,且四棱錐？? ?的體積為一,求3該四棱錐的側(cè)面積.【答案】證明：(1) 在四棱錐？?- ?中

7、? / ?/ ?90 又?/? ?面 PAD,?平面 PAD .?= ?取AD中點(diǎn)0 ,連結(jié)PO ,/ ?90C/.?L? ?U? ?0?= ? ?L平 /?平面PAB, 平面 解：(2)設(shè)?= ? ?.? ?= ?= ?/?U底面四棱錐?由？U平面,平面？?衛(wèi)平面PAD,ABCD ,且?= ?F ? = 2? ?= 1 2 ?7 V VJ 7 2 * 78?的體積為 3,PAD ,得？?U ?_ 1 ?-?= ?四邊形？?衫?311VZ1 2 8=- ? ? ?= - ?XV2?XV ?= -?=-,33233解得？?= 2, ? ?= ?= ?= 2, ?= ?= 22, ?= ,.?=

8、?= 474 = 2 2,該四棱錐的側(cè)面積：?側(cè) = ? ?+? ? ? ? ? ? ?11=一 ? ? - ? ?2 2? V?-()2V 2 t111= 2 2 + 2 2 + 222212 + 2228- 2=6 + 2 3.【解析】(1)推導(dǎo)出？?？?？ ？?？?從而?進(jìn)而？?？平面PAD ,由此能證明平面?平面 PAD .設(shè)？?= ?= ?= ?= ?取 AD 中點(diǎn) 0,連結(jié) P0,則?1底面 ABCD ,且？?？= v2?*= 2?由四棱錐?- ?的體積為3 ,求出？?= 2 ,由此能求出該四棱錐的側(cè)面積.3本題考查面面垂直的證明，考查四棱錐的側(cè)面積的求法，考查空間中線線、線面、面

9、面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知 識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.3. 如圖，四棱錐？? ?中？側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面 ABCD ,?= ?= 1? ?/ ?90 2(1)證明：直線？?/平面PAD ;若 ?面積為2 7,求四棱錐?- ?的體積.D【答案】 證明：四棱錐 ? ?中? ?=? ?=?90 . ?/? ?平面 PAD , ?平面 PAD ,直線?/平面 PAD ；解：四棱錐?- ?中?側(cè)面 PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD , ?=1O?=-? ?/ ?90 .設(shè)？?= 2?則？= ?= ? ?= ? O 是 A

10、D 的中點(diǎn),連接PO，0C, CD的中點(diǎn)為：E ,連接0E,則?= 2? ?= ?= ? ?=V7?_ 1 _ ?積為 2 Vf ,可得：2 ?= 2 , 即：2 7 ? v2?= 27 ,解得？?= 2, ?= 2 31111則？-?3 -(?F?)? ?=3 2 (2 + 4) 2 23=4v3 .3232【解析】(1)利用直線與平面平行的判定定理證明即可.(2)利用已知條件轉(zhuǎn)化求解幾何體的線段長(zhǎng)，然后求解幾何體的體積即可.本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.4. 如圖，在四棱錐?- ?中? ?/? ?是等邊三角形，平面 ?：?平面 A

11、BCD ,已知？?= 2 , ?=2 3 , ?*= 2?= 4.(1) 設(shè)M是PC上一點(diǎn)，求證：平面 ？?久平面PAD ;(2) 求四棱錐?- ?的體積.【答案】 證明：(1)在三角形ABD中由勾股定理得？? ?又平面？?平面 ABCD ,平面?平面?=?所以？?!平面 PAD,又?平面BDM ,所以平面？?互平面PAD ；解：(2)取AD中點(diǎn)為0,貝U PO是四棱錐的高，？?= 33_底面ABCD的面積是三角形 ABD面積的-,即33,1 所以四棱錐?- ?的體積為- 3v3 3 = 3 .3【解析】 推導(dǎo)出？?!平面PAD ,由此能證明平面 ？?L平面取AD中點(diǎn)為0,則PO是四棱錐的高，

12、由此能求出四棱錐？?- ?的體積.本題本題考査空間面面關(guān)系判定及向何體體積的計(jì)算，考查面面垂直的證明，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能 力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題.5. 如圖，在四棱錐？ ?中?側(cè)棱？?藥底面ABCD , 方形，側(cè)棱？?？ 4 , AC與BD相交于點(diǎn)0.(1) 證明：？?_ ?；(2) 求三棱錐?- ?的?體積.【答案】 證明：(1) ?_平面ABCD , ?平面ABCD , .?_ ?四邊形ABCD是正方形，.?L ?，又?平面 SAC, ?平面 SAC, ? ?= ?L平面 SAC, ?平面 SAC,.?L ?(2) 四

13、邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形， ? ? 4?正方形?=? 4 1= 4.1111?_?= ?%-?= 3? ?= 3 4 4 = 3.【解析】 由?L平面ABCD可得？?L ?又？?L ?故BD 平面SAC,于是？?！ ?；1(2)?_?= ?_?= 3 ? ?本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6. 如圖四面體 ABCD中， ?正三角形，？=?(1) 證明：？L ?(2) 已知 ?超直角三角形， 四面體ACDE的體積比.? ?若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且？? ?,?求四面體 ABCE與R【答案】 證明： 取AC中點(diǎn)O,連結(jié)DO、BO,?是正三角形，？?= ?/.

14、?, ?C ?*= ? ?L平面 BDO ,T?平面 BDO , 解：(2)法一：連結(jié) /?平面 OBD, 設(shè)?= ?= 2,/?L?,? ?=.?= ? 2 = ? ?是線段AC垂直平分線上的點(diǎn)，？?= ?= ?= 2,由余弦定理得：.?L ?0E,由(1)知？?L平面 OBD, .?貝y ? ? 1, ?= ?,2, .?+ ?= ?,CoS ?-2?=2W?，E ?即 4+4-2 = 4+?-2 ,解得?學(xué) 1 或？?= 2, 2 22 2 2 ?.? ? 2, .I?= 1 , .?= ?,四面體ABCE與四面體ACDE的高都是點(diǎn)A到平面BCD的高h(yuǎn),/?*= ? ? ? ? ?四面體

15、ABCE與四面體ACDE的體積比為1 .法二：設(shè)？= ?= 2 ,貝U ?= ? ?= ? 2, ?= ?= ?= 1 , /.?= 4- 1 = 3, ?+ ?= ?, ?L?以O(shè)為原點(diǎn)，OA為X軸，OB為y軸，OD為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則?(-1, 0, 0) , ?(0,0, 1) , ?(0,v3,0) , ?(10, 0),設(shè)？(?？,，?)翻?： ？ (0 ? 1),則(?b , ? 1) = ?(Q 3 , -1),解得？?(ox3?1 - ?, ?= (1, v3?1 - ?) ?=? (-1, v3?1 - ?) /?L?,? /.?： -1 + 3?+ (1 -?2

16、= o,1由？?0,1,解得？?= 2, ?= ?四面體ABCE與四面體ACDE的高都是點(diǎn) /?= ?四面體【解析】?,.；? ?=? ? ?ABCE與四面體ACDE的體積比為取AC中點(diǎn)0,連結(jié)DO、B0,A到平面BCD的高h(yuǎn),1 .推導(dǎo)出？?！ ？?,？???？?,？從而？?L平面BDO ,由此能證明？?久法一：連結(jié) OE ,設(shè)?= ?= ,則?= ?= 1 ,由余弦定理求出？= 1 ,由? ?四面體ABCE與四面體ACDE的高都是點(diǎn) A到平面BCD的高h(yuǎn), ?=? ? ?由此能求出四面體 ABCE與四面體ACDE的體積 比法二：設(shè)？= ?= 2,則？學(xué)?= ?= ? 2, ?學(xué)?= ? 1

17、, ?= 3,推導(dǎo)出？紅？以 O為原點(diǎn)，OA為X軸，OB為y軸，OD為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由？?,?求出？?=?由此能求出四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.本題考查線線垂直的證明，考查兩個(gè)四面體的體積之比的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基 礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.7. 如圖，四棱錐？? ?中? ?0底面 ABCD , ?/? ?= ?= ?= 3, ?= ?= 4, M 為線段 AD 上一點(diǎn)，？?= 2? N為PC的中點(diǎn).(I )證明?/平面 PAB ；( )求四面體?- ?體積.?=P【答案

18、】證明：（I ）取BC中點(diǎn)E ,連結(jié)EN, EM ,?為 PC 的中點(diǎn)，？?是 ?的?中位線 .?/?,?又 I?/? ?/?.?= ?_ ?= 3?= ?= 4 M 為線段 AD 上一占 ?=2?1?= ?= 22四邊形ABEM是平行四邊形，?/? 平面?/平面 PAB , /?平面 NEM, ?/平面 PAB . 解：（ ）取AC中點(diǎn)F ,連結(jié)NF ,?是 ?的?中 位線，?/? ?= 1?= 2 , 又 r?面 ABCD ,二？?面 ABCD , 如圖，延長(zhǎng) BC至G ,使得？?= ?連結(jié) GM ,?-? 四邊形AGCM是平行四邊形,.?= ?= 3 ,又.？Z 3 , ?= ?= 2 ?的高？ = 5 , ? ?刃 2 ?* ? = I 4 5= 25 ,1 1 四面體?- ?的體積？辦?尸 3 ? ? ?= 3 2 v5 2 =【解析】（I ）取BC中點(diǎn)E ,連結(jié)EN , EM ,得NE是厶？?的中位線,推導(dǎo)出四邊形 ABEM是平行四邊形，由此 能證明？?平面PAB .（ ）取AC中點(diǎn)F ,連結(jié)NF , NF是厶?中位線,推導(dǎo)出？?面ABCD ,延長(zhǎng)BC至G ,使得？?= ?連結(jié)GM ,則四邊形 AGCM是平行四邊形，由此