淺談向量在幾何中的應(yīng)用學(xué)士學(xué)位論文1

1、學(xué)號(hào):xxxxxxx哈爾濱師范大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 題 目 淺談向量在幾何中的應(yīng)用 學(xué) 生 xx 指導(dǎo)教師 xxx 副教授 年 級(jí) xxxx級(jí) 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 系 別 數(shù)學(xué)系 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院哈 爾 濱 師 范 大 學(xué)學(xué)士學(xué)位論文開題報(bào)告論文題目 淺談向量在幾何中的應(yīng)用學(xué)生姓名 xx指導(dǎo)教師 xxx 副教授年 級(jí) xxx級(jí)專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)xxxx年xx月xx日課題來源： 題目自擬課題研究的目的和意義： 作為新課程改革，高中數(shù)學(xué)教材的一個(gè)顯著變化就是“向量”的引入。它的目的也很明確：為研究函數(shù)、空間圖形，提供新的研究手段，即充分體現(xiàn)它們的工具性。但這種“工具性”，只有在深刻理解的基

2、礎(chǔ)上才能用好，而要想用活，這又需要我們?cè)趯?shí)踐中不斷“開發(fā)”新的認(rèn)識(shí)，豐富知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成較完善的“認(rèn)知模塊”、“知識(shí)體系”。我們發(fā)現(xiàn)向量在立體幾何中有很大的用處：有關(guān)空間問題中的“三大角度”和“兩大基本距離”的坐標(biāo)法的研究中有著奇妙無窮的用途。國內(nèi)外同類課題研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢： 向量進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材，是近幾十年來國內(nèi)外教學(xué)改革的一個(gè)主要特征向量引入立體幾何是數(shù)學(xué)課程改革的重點(diǎn)之一，它是一個(gè)具有幾何和代數(shù)雙重身份的概念，具有特別廣泛的教育價(jià)值它來解決部分立體幾何問題，可以大大降低難度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得成功的體驗(yàn)教師在這一部分的教學(xué)中的難點(diǎn)和焦點(diǎn)在于：向量在立體幾何中如何運(yùn)

3、用？如何在立體幾何的教學(xué)中，正確處理好向量和傳統(tǒng)方法的關(guān)系?怎樣設(shè)計(jì)這部分知識(shí)的教學(xué)才能幫助學(xué)生更好地理解本部分的內(nèi)容?課題研究的主要內(nèi)容和方法，研究過程中的主要問題和解決辦法： 向量具有代數(shù)和幾何雙重身份，在幾何問題的研究中起了重大的作用。本文主要研究向量在解決幾何問題中的應(yīng)用，如何用向量的知識(shí)解決幾何中的“面積問題”、“兩大位置關(guān)系”、“三大角”、“四大距離”的相關(guān)問題。在研究過程中發(fā)現(xiàn)有一些計(jì)算公式以及具體的敘述上有一些問題。于是通過閱讀中學(xué)教材，翻看大量的數(shù)學(xué)刊物，以及上網(wǎng)閱覽向量在解決高中數(shù)學(xué)問題的論文，解決了在課題研究方面的困難。課題研究起止時(shí)間和進(jìn)度安排：1.2012.11-20

4、12.12 根據(jù)導(dǎo)師指導(dǎo)，查閱資料，確定研究題目。2.2012.12-2013.01 查閱資料，構(gòu)思論文框架，填寫開題報(bào)告。3.2013.01-2013.02 資料搜集及整理、歸納、分析.充分與導(dǎo)師進(jìn)行溝通，完成論文初稿，并 完成論文中期報(bào)告。4.2013.02-2013.03 對(duì)論文的二稿進(jìn)行修改和完善，并完成論文的最終定稿。5.2013.03-2013.04 打印論文；撰寫論文答辯提綱，完成論文答辯。指導(dǎo)教師審查意見： 同意開題指導(dǎo)教師 （簽字） 年 月 教研室（研究室）評(píng)審意見：同意開題_教研室（研究室）主任 （簽字） 年 月院（系）審查意見：同意開題_院（系）主任 （簽字） 年 月學(xué)

5、士 學(xué) 位 論 文 題 目 淺談向量在幾何中的應(yīng)用 學(xué) 生 xxxx 指導(dǎo)教師 xxxxxx 副教授 年 級(jí) xxxx級(jí) 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 系 別 數(shù)學(xué)系 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)xxxx年x月淺談向量在幾何中的應(yīng)用xx摘 要:在新一代的課改中，向量作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)標(biāo)志之一，已經(jīng)進(jìn)入了高中數(shù)學(xué)教材中。向量是溝通幾何與代數(shù)的重要工具，促進(jìn)了幾何的代數(shù)化。有些幾何問題用常規(guī)的幾何證明方法去解決往往會(huì)比較復(fù)雜，那么運(yùn)用向量把“幾何問題”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)運(yùn)算”，會(huì)使解題過程大大的簡化，同時(shí)也更容易理解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中常提到的“數(shù)形結(jié)合”的思想。向量普遍用于處理平面幾何中的“面積問題”，以及空間幾

6、何中“兩大位置關(guān)系”、“三大角”、“四大距離”。關(guān)鍵詞：向量 平面幾何 空間幾何1、 向量在研究幾何方面的作用從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，歷史上很長一段時(shí)間，空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí)，在18世紀(jì)末期人們運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算來定義向量的運(yùn)算，把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)用向量來進(jìn)行表示，人們利用復(fù)數(shù)來表示和研究平面中的向量，向量就這樣進(jìn)入了數(shù)學(xué)。但是復(fù)數(shù)的利用是受限制的，一個(gè)復(fù)數(shù)所能對(duì)應(yīng)的點(diǎn)只能在平面上，而向量卻有平面向量和空間向量之分。高中教材中引入向量的主要目的是為研究空間幾何提供一種新的方法，它是一種非常強(qiáng)大的工具，它能將“幾何形式”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)形式”，極大的促進(jìn)了幾何的代數(shù)化。但是要想用好向量只有在深刻理

7、解的基礎(chǔ)上才能用好，而要想靈活運(yùn)用又需要我們熟練的掌握它可以用來計(jì)算什么以及與向量有聯(lián)系的知識(shí)內(nèi)容，豐富知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成比較完善的“認(rèn)知模塊”、“知識(shí)體系”，在腦海中形成比較完善的知識(shí)鏈。首先，它可以用于研究“平行”和“垂直”兩大位置關(guān)系，主要包括“線線平行”、“線面平行”、“線線垂直”、“線面垂直”。其次，它對(duì)于求“三大角”也有很好的應(yīng)用，主要包括“線線角”、“線面角”“二面角”。這里的“空間角”的求法，完全與直角三角形中的三角函數(shù)“正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的定義”發(fā)生了對(duì)接對(duì)邊或鄰邊就是斜邊的向量在此邊向量的投影，我們可以利用直角三角函數(shù)的定義來掌握向量在求“空間角”方面的應(yīng)用。再次，它可以有效的

8、計(jì)算“四大距離”，主要包括“點(diǎn)點(diǎn)距離”、“點(diǎn)線距離”、“點(diǎn)面距離”、“異面直線的距離”。最后，它還可以處理平面幾何中圖形的面積計(jì)算等。2、 向量在平面幾何中的應(yīng)用 例1.四邊形是正方形，是的中點(diǎn)，將正方形折起使點(diǎn)與重合，設(shè)折痕為（在上），若正方形面積為64，試用向量的方法求的面積。 解:如圖，建立直角坐標(biāo)系， 顯然是的中垂線， 所以是的中點(diǎn)。 因?yàn)檎叫蔚倪呴L為8， 所以，。 設(shè)點(diǎn)，則， ，。 ， 由， 得:。 即:。 解之:，即。 所以。例2. 已知:，其中， ，與的夾角為，求平行四邊形的面積。解:， 同理:， 設(shè)與的夾角為， ， 所以， 所以。3、 向量在空間幾何中的應(yīng)用(1） 兩大位置關(guān)

9、系1.平行關(guān)系 1.1證明兩條直線平行設(shè)直線、的方向向量分別為、，若，則與平行或者共線。例3:已知有兩條直線分別為，的方向向量，的方向向量，試判斷兩條直線是否平行？解:因?yàn)椋?所以兩條直線與不平行。 1.2證明直線與平面平行 設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，、是與平行的兩個(gè)不共線向量，那么或存在兩個(gè)實(shí)數(shù)、，使。例4：在正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，求證：平面。 證明：方法1：如上圖所示，以為原點(diǎn)，、所在的直線分別為 軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體的棱長為1，則可求得， ，于是， 設(shè)平面的法向量是，則,且， 所以 。 取，得，所以。 又，所以。 又因?yàn)槠矫妫?所以平面。 方法2：因?yàn)?/p>

10、， 所以。 又因?yàn)槠矫妫?所以平面。 1.3證明平面與平面平行設(shè)平面、的法向量分別為、，那么或與重合存在實(shí)數(shù)，使。例5：在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，在底面中，是上一點(diǎn)，且面，為的中點(diǎn)，求證面面。 證明：以為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系， 設(shè)， 則， 所以，設(shè)， 所以， ， 設(shè)面的法向量為，則 且， 解得， 所以。 設(shè)面的法向量為，則 且。 取，則，則， 所以，所以， 所以面面。2.垂直關(guān)系 2.1證明兩條直線垂直設(shè)直線、的方向向量分別為和，那么，當(dāng)，時(shí)，若，則。例6：現(xiàn)有兩條直線，的方向向量為，的方向向量為，是判斷兩條直線是否垂直？解：因?yàn)椋?所以和不垂直。2.2證明直線和平面垂直設(shè)直線的方向向量為，

11、平面的法向量為，則。若，則，。當(dāng)，時(shí)，。例7：在棱長為1的正方體中，、分別為和的中點(diǎn)，試在棱上找一點(diǎn)，使得平面。證明：分別以、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系 ， 則，。 所以， 又因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)， 所以， 又因?yàn)椋?由于平面， 所以且。 即，。 所以， 所以。 故取的中點(diǎn)就能滿足平面。2.3證明平面與平面垂直設(shè)平面、的法向量分別為、，那么。若、是與平行的兩個(gè)不共線向量，是平面的法向量，則。例8：在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形平面，,、分別為、的中點(diǎn)，且。求證：平面平面。證明：以為原點(diǎn)，向量,分別為軸、軸、軸的正方向， 如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)，則， 則,，。 則， 所以， 設(shè)平

12、面的法向量，則 且。 取，則，所以。 易證平面的法向量為, 因?yàn)? 所以，。 所以，平面平面。（2） 三大角1. 線線角 ，是兩異面直線，所成的角為，則有，所以。例9：在棱長為1的正方體中，分別為和的中點(diǎn)，那么直線與所成的角是多少？解：因?yàn)椋? 所以。 又因?yàn)?同理可得：。 設(shè)與所成的角為，則, 所以。2. 線面角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，則。例10：如圖，正三棱柱的底邊長為，側(cè)棱長為，求與側(cè)面所成的角。解：根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ，。 取的中點(diǎn)，則， 連,則有，。 由于， 所以平面， 所以是與側(cè)面所成的角。 因?yàn)椋?所以， 而， 所以， 所以，即與側(cè)

13、面所成的角為。3. 二面角設(shè)平面，的法向量分別為，則。例11：已知平面，且，求二面角的大小。解：過作于，過作于， 則二面角的大小等于向量與的夾角大小。 令,由平面， 知為的中點(diǎn)，且。 由，知。 由三垂線定理知：。 又因?yàn)椋?所以， ，從而為的中點(diǎn)。 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，, , 所以，。 則。 所以， 即二面角的大小為。（3） 四大距離1. 兩點(diǎn)間的距離 例12：在的二面角中，。已知、到的距離分別是和，且，求的長度。 解：如圖所示，作， 則，且，。 又因?yàn)椋?所以，。 因?yàn)椋?所以，。 即：的長度為。2. 點(diǎn)與線之間的距離例13：設(shè)為矩形所在平面外的一點(diǎn)，直線垂直于平面外的一點(diǎn)，直線垂直

14、平面，求點(diǎn)到直線的距離。解：因?yàn)椋?所以在上的射影長為， 又因?yàn)椋?所以，點(diǎn)到直線的距離 。3. 點(diǎn)與平面之間的距離例14：如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側(cè)棱，分別為與的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的射影是的重心，求點(diǎn)到平面的距離。 解：如圖，以，分別為軸，軸，軸建立坐標(biāo)系， 設(shè)，則， ，。 所以，。 因?yàn)椋?所以， 解得：。 所以有，。 因?yàn)椋?所以平面，平面平面，為交線， 到直線的距離， 即：到平面的距離為。4. 兩異面直線的距離例15：已知正方體的棱長為1，求異面直線與的距離。 解：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接， 則， 。 由， ， 所以，。 又因?yàn)椋?所以為與的公垂線。所以 即：。 所以，異

15、面直線與的距離是。4、 用向量法解決幾何問題的一般步驟用向量法解決幾何問題有兩種方法：一種是用向量的代數(shù)式運(yùn)算；另外一種是通過建立空間坐標(biāo)系，用向量的坐標(biāo)來運(yùn)算。一般來講，用向量坐標(biāo)運(yùn)算，思維量更小，運(yùn)算技巧更低，更容易掌握，因此這是我們經(jīng)常用的方法。如果所給的圖形不容易建立空間直角坐標(biāo)系，我們可以用向量的代數(shù)運(yùn)算來解決問題，但需要我們付出大量思維以及運(yùn)算量，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力要求比較高。用向量坐標(biāo)運(yùn)算解題步驟：（1）建立空間直角坐標(biāo)系。注意盡可能用已經(jīng)存在的過同一個(gè)點(diǎn)的兩兩垂直的三線，如果沒有三線，也盡量找兩線垂直，然后作出第三線和兩線垂直，按右手系建立坐標(biāo)系。注意所寫點(diǎn)的坐標(biāo)要與所建立的

16、坐標(biāo)系相一致。（2）寫出需要用到的相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。注意要仔細(xì)再仔細(xì)，此步若錯(cuò)，全題皆錯(cuò)。（3）寫出所要用到的相關(guān)向量坐標(biāo)。注意必須終點(diǎn)坐標(biāo)減始點(diǎn)坐標(biāo)。（4）通過計(jì)算解決具體問題。注意運(yùn)算公式要用對(duì)，計(jì)算要仔細(xì)，以免結(jié)果錯(cuò)誤。參考文獻(xiàn)：1 劉八芝：向量在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用j，鎮(zhèn)江高專學(xué)報(bào)2003年第2期。2 鄒立佩：直線、平面位置關(guān)系證明題的教學(xué)j，密山縣考試周刊2003年第1期。3 劉曉瑜：用空間向量法求角的問題研究j，高中數(shù)學(xué)教與學(xué)2004年。4 趙春祥：用空間向量法求距離的問題研究j，中學(xué)數(shù)學(xué)研究2004年。5 張 萍：淺談?dòng)孟蛄糠ń饬Ⅲw幾何題j，中學(xué)數(shù)學(xué)研究2004年。6 周鐘光：空間距

17、離的向量求法j，中學(xué)數(shù)學(xué)研究2005年。7 郭 ?。航馕鰩缀畏椒ㄅc應(yīng)用m，天津科學(xué)技術(shù)出版社1998年。application of vector in geometryxxxabstract:in the new curriculum reform of mathematics,as now one of the signs of vector has entered the high school mathematics textbooks.vector algebra and geometry is an important tool of communication,promote t

18、he geometric algebra.some geometric problems with conventional problem solving method to solve are often more complicated,so the use of vector the geometry problem is transformed into algebraic operations,will make the problem sovling process is greatly simplified,embodies the mathematicsthe number

19、shape union thought.vector common of processing planar geometry inaera,as well as in the geometry of spacetwo position,three large,four distance.key words:vector;plane geometry論文評(píng)閱人意見論文（設(shè)計(jì)）題目淺談向量在幾何中的應(yīng)用作 者xx評(píng)閱人評(píng)閱人職稱意 見 本論文選題有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值，文獻(xiàn)材料收集詳實(shí)，運(yùn)用了所學(xué)知識(shí)對(duì)高中數(shù)學(xué)中的幾何問題進(jìn)行了綜合概括，并且總結(jié)出了一套系統(tǒng)的方法，所得的數(shù)據(jù)合理，結(jié)論正確。比較有條理性，層次鮮明。評(píng)閱人簽字評(píng)閱意見論文評(píng)閱人意見論文（設(shè)計(jì)）題目淺談向量在幾何中的應(yīng)用作 者xx評(píng)閱人評(píng)閱人職稱意 見 論文思路清晰，語句通順。能很好的講述向量在處理高中幾何問題上的應(yīng)用。作者對(duì)高中幾何問題研究比較透徹，總結(jié)全面。本文思路清晰，層次清晰，邏輯結(jié)構(gòu)合理。觀點(diǎn)表達(dá)正確，在論證過程中能有效將專業(yè)原理與要研究的主題結(jié)合在一起，總體上達(dá)到了畢業(yè)論文要求。評(píng)閱人簽字評(píng)閱意見指導(dǎo)教師評(píng)語頁論文（設(shè)計(jì)）題目淺談向量在幾何中的應(yīng)用作 者xx指導(dǎo)教師xx職 稱副教授評(píng) 語 該生閱讀資料的能力較強(qiáng)，并且有較強(qiáng)的總結(jié)能力，本文通過