換元引參思想1

1、精品資源換元引參思想知識(shí)分析“換元引參”是一種常用的數(shù)學(xué)方法當(dāng)題目的條件與結(jié)論看不出直接的聯(lián)系(甚至相去甚遠(yuǎn))時(shí)，為了溝通已 知與未知的聯(lián)系，我們常常引進(jìn)一個(gè)(或幾個(gè))新的量來代替原來的量，實(shí)行 這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實(shí)質(zhì)，發(fā) 現(xiàn)解題方向。換元法不僅是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)解題方法，而且也是解高考題的熱點(diǎn)方法， 掌握它的關(guān)鍵在于通過觀察、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)與構(gòu)造出變換式(或新元換舊式、或 新式換舊元、或新式換舊式)，在中學(xué)數(shù)學(xué)問題中，常見的基本換元形式有式 代換、三角代換、點(diǎn)代換與參數(shù)代換等。參數(shù)法是一種應(yīng)用參數(shù)研究問題，解決問題的方法，參數(shù)的作用歸納起來有以下三點(diǎn)：(1

2、)作為橋梁，用參數(shù)把兩個(gè)變量聯(lián)系起來；(2)表示變化，借助參數(shù)表示問題中的所有“候選對(duì)象”；(3)促進(jìn)問題轉(zhuǎn)化，使不同數(shù)學(xué)分支的內(nèi)容相互化歸，從而利于問題的解決。下面我們將通過若干例子與練習(xí)來感受一下這種思想方法的魅力.引入例子21、若儀-z) -4(x-y)(y-z)=0,求證x, y, z成等差數(shù)列2作變換a=x-y，b = y-z，問題轉(zhuǎn)化為(a+b) _4ab=0= a = b這有初一 的水平即可完成。2、設(shè)復(fù)數(shù)z1和z2滿足關(guān)系式羽+血+西=其中a為不等于0的復(fù)數(shù)，證明|乙+a| |z2 + a|=| a|2 作變換 a=zi +a，p = 4 + a,問題轉(zhuǎn)化為=| a|2=|。|

3、 p |=| a|2 這幾乎是不證自明。典例精講(一)式代換式代換是最常用的換元技巧，也就是把一些式視為一個(gè)整體(元)進(jìn)行代 換，可以化高次為低次，變分式為整式，化無理式為有理式，從而達(dá)到化繁為 簡(jiǎn)的目的。【例 11 設(shè) a0,求 f(x) =2a(sinx +cosx) sinx cosx2a2 的最大值和最小值。【例2】求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)zz+1z + (1) 是實(shí)數(shù)，且1 0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國(guó)理）stn6 cose cos2 0 file 1?！纠?】已知工=了 ，且x + y =3（#+7）（式）,求了的值。（二）三角代換三角代換是解題常見的、重要的換元

4、技巧，因?yàn)閷?shí)施三角代換后，可以利 用三角式的變形公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，使解題途徑增多，常會(huì)收到意想不到 的效果。(工- s+iy【例5】實(shí)數(shù)x、y滿足 9+16=1,若x+yk0恒成立，求k的范圍?！纠?】(1)已知：|x|1, 求證(1-x) n+(1+x) n2n.(2)若 x 2-2xy+2y 22,求證|x+y| 1）,則 f（x）的值域是 c3 .已知數(shù)列a n中，a1 = 1, an書an = an+ an ,則數(shù)列通項(xiàng)an =。4 .設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2 + 2xy1 = 0,則x+y的取值范圍是。1 3自5 .方程1 +3x =3的解是6 .不等式 10g 2(2 x1) lo

5、g2(2x一 2)2 的解集是知識(shí)小結(jié)換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在 已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4x + 2x-20,先變形為設(shè)2x = t (t0),而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y= jx + j匚的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn) xc 0,1,冗設(shè)*=$所2 ，ac0, 2 ,問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量 x、y適合條件x2 + y2 = r 2(r0)時(shí)，則可作三角代換 x=rcos 0、y=rsin?；癁槿菃栴}。ss均值換元，如遇到 x+ y=s形式時(shí)，設(shè)x= 2 +t , y= 2 t等等。我們使用換元法時(shí)， 要遵循有