數(shù)學(xué)化歸思想及其應(yīng)用畢業(yè)論文

1、數(shù)學(xué)化歸思想及其應(yīng)用【內(nèi)容摘要】 數(shù)學(xué)思想方法是人們從具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是在研究和解決數(shù)學(xué)問題的過程中所采用的手段、途徑和方式。數(shù)學(xué)化歸思想方法是最基本、最常用的思想方法。當(dāng)前對化歸思想的定義、化歸原則、化歸方法的研究都有一定的理論深度， 本文根據(jù)前人的研究成果，首先分析了目前思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的重要意義 ,進(jìn)而概述化歸的含義、化歸原則、化歸模式及化歸方法，然后通過實(shí)例詳細(xì)介紹了化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的具體體現(xiàn)，力求通過對數(shù)學(xué)化歸思想的研究來指導(dǎo)自己的教學(xué)，達(dá)到從實(shí)踐上升到理論的地步?！?關(guān)鍵詞 】 化歸思想 化歸原則 化歸方法 化歸模式當(dāng)今世界各國都非

2、常重視數(shù)學(xué)教育，尤其重視數(shù)學(xué)思想方法，美國把“學(xué)會數(shù)學(xué)的思想方法”作為培養(yǎng)“有數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的社會成員五項(xiàng)標(biāo)志性的條件之一。我國在新一輪數(shù)學(xué)課程改革中也注重加強(qiáng)了能力培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法滲透，在數(shù)學(xué)課程改革的總體目標(biāo)中提出“倡導(dǎo)學(xué)習(xí)有價(jià)值的、必須的數(shù)學(xué)知識、技能和思想方法”。在內(nèi)容安排和教學(xué)中更加強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)知識的傳授時(shí)注重知識發(fā)生過程中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，在揭示知識發(fā)生、揭示解決方法規(guī)律的抽象過程時(shí)，使學(xué)生學(xué)會正確的思維方法。數(shù)學(xué)思想是人們認(rèn)識、理解、掌握數(shù)學(xué)的意識，數(shù)學(xué)方法是人們解決數(shù)學(xué)問題的方略。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)方略的總稱。數(shù)學(xué)思想是在一定的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上形成的，反之，數(shù)

3、學(xué)思想對理解、掌握、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，解決數(shù)學(xué)問題能起到促進(jìn)和深化的作用。隨著教育改革的深入發(fā)展，人們把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，滲透數(shù)學(xué)思想方法的教育，作為數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)如果將“問題”比作數(shù)學(xué)的心臟，那么方法就是數(shù)學(xué)的行為，思想則是整個數(shù)學(xué)的靈魂所在?？v觀古今，無論是數(shù)學(xué)概念的建立，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，還是數(shù)學(xué)問題的解決，乃至整個“數(shù)學(xué)大廈”的構(gòu)建，核心問題在于數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)和建立。在一個人的一生中，最有用的不僅是數(shù)學(xué)知識，更重要的是數(shù)學(xué)的思想和數(shù)學(xué)的意識。因此我們在教學(xué)中，不僅要重視知識的形成過程，還要重視發(fā)掘在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、形成和發(fā)展過程中所蘊(yùn)藏的重要思想方法:化歸的思想方法。所謂

4、“化歸”可理解為“轉(zhuǎn)化”與“歸結(jié)”的意思，就是根據(jù)已有的知識，通過觀察、聯(lián)想、類比，以及邏輯推理等手段，把需要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或容易解決的問題，即將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的數(shù)學(xué)思想方法。化歸思想是根據(jù)主體已有的知識經(jīng)驗(yàn)，通過觀察、聯(lián)想、類比等手段，把問題進(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化直到化成已經(jīng)解決或容易解決的問題的思想。即是以變化、運(yùn)動、發(fā)展，以及事物間相互聯(lián)系和制約的觀點(diǎn)去看待問題，善于對所要解決的問題進(jìn)行變形。學(xué)生一旦形成了化歸意識，就能熟練地掌握各種轉(zhuǎn)化，化繁為簡，化隱為顯，化難為易，化未知為已知，化一般為特殊，化抽象為具體等等。在課堂中注意并正確運(yùn)用“化歸思想”進(jìn)行教學(xué)，不但可以促使學(xué)生把握

5、事物的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生思維的轉(zhuǎn)化，有時(shí)可達(dá)到“潤物細(xì)無聲”的效果。一、 化歸思想遵循的基本原則1、熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識、經(jīng)驗(yàn)和問題來解決。2、簡單化原則：將復(fù)雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。 3、和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。 4、直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決。 5、正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反

6、面去探求，使問題獲解。二、化歸思想方法化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。在古往今來的數(shù)學(xué)研究中，人們廣泛使用化歸方法來處理各種問題，例如解析幾何的建立就是一個例子。法國著名數(shù)學(xué)家笛卡兒在研究思維原則時(shí)曾提出過一個期望，即所謂的能用以解決各種問題的“萬能方法” ：把一切問題化歸為數(shù)學(xué)問題；把一切數(shù)學(xué)問題化歸為代數(shù)問題；把一切代數(shù)問題化歸為方程式的求解。顯然，如果認(rèn)為能用這一方法解決所有的問題是不可能的。但是我們必須承認(rèn)笛卡兒的思想中的確包含有相當(dāng)合理的成分，那就是“數(shù)學(xué)化”、“代數(shù)化”、“計(jì)算化”的思想方法。笛卡兒雖然沒能實(shí)現(xiàn)他的“萬能方法”，但他通過建立坐標(biāo)系把幾何問題化歸為代數(shù)問題，

7、開創(chuàng)了用代數(shù)方法研究幾何問題的新紀(jì)元，不僅由此創(chuàng)立的解析幾何是數(shù)學(xué)發(fā)展史上不朽的里程碑，而且他的研究也是應(yīng)用化歸思想方法解決問題的光輝范例?；瘹w思想的特點(diǎn)就是以已知的、簡單的、具體的、特殊的、基本的知識為基礎(chǔ)，將未知的化未已知的、復(fù)雜的化為簡單的、抽象的化為具體的、一般的化為特殊的、非基本的化為基本的，從而使問題得到解決?，F(xiàn)在，化歸思想方法已成為一種普遍的研究方法，不僅在數(shù)學(xué)家的研究工作中，就是在我們中學(xué)數(shù)學(xué)中也經(jīng)常應(yīng)用它解決許多具體問題?；瘹w思維方法已成為一個十分重要的數(shù)學(xué)方法。1 抽象問題向具體問題轉(zhuǎn)化例如在函數(shù)、方程引進(jìn)了變量、未知數(shù)，把待求的量化歸成了可表示的量，這就為問題的解決創(chuàng)造了

8、條件。所以把一個實(shí)際問題化歸為函數(shù)、方程問題又是另一種重要的解題方法。例如圖 aoc=900，od平分coe，ob平分aoe，求bod的度數(shù)。在這個問題中，如果直接去求bod的 e d c b度數(shù)不太容易；但如果假設(shè)boc=x cod=y，則有：2y+x=900x ，這樣，我們就把這個幾何問題化歸為了方程問題。 o a接下去可輕松的地求得，bod=x+y=450。 再如，等腰三角形的一個底角平分線，把周長分為63和36兩部分，求它的腰長。 a 分析 如果設(shè)ab=x，bc=y，則由三角形的內(nèi)角d平分線定理可得：，再由ab=ac 得 63-x+36-y=x， 聯(lián)列得： 63-x+36-y=x b

9、c 2x+y=63+36 這樣我們就把問題化歸成了方程組的問題。只要解出方程組中的x、y，就行了。2未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化例1 面積問題圓面積 多邊形面積 三角形面積例2二次方程求解這兩個例子都是把未知問題歸為以知問題的求解，其核心內(nèi)容是簡化和轉(zhuǎn)化，其方向是由難到易，化繁為簡。3復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化例如在講平行四邊形和三角形人面積時(shí)已經(jīng)滲透了“轉(zhuǎn)化”的思想，所以在講授梯形的面積時(shí)，我大膽放手，讓孩子們根據(jù)信息窗中梯形的有關(guān)信息，自己去探索、發(fā)現(xiàn)梯形的面積，我只是在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)啟發(fā)點(diǎn)撥他們：平行四邊形、三角形的面積公式是如何推導(dǎo)的？有的孩子馬上就想到轉(zhuǎn)化的方法，轉(zhuǎn)化成什么圖形呢？經(jīng)過思考，孩子們

10、想出了不同的轉(zhuǎn)化方法。有的將兩個完全一樣的梯形拼成了一個平行四邊形；有的將梯形沿著一條高線切下來補(bǔ)成一個長方形；有的通過做兩條高線把梯形轉(zhuǎn)化成一個長方形和兩個直角三角形；還有的通過移動腰將梯形轉(zhuǎn)化一個平行四邊形和一個三角形來計(jì)算面積等等。除此之外，很多知識之間都存在著相互滲透和轉(zhuǎn)化：多元轉(zhuǎn)化為一元、高次轉(zhuǎn)化為低次、分式轉(zhuǎn)化為整式、一般三解形轉(zhuǎn)化為特殊三角形、多邊形轉(zhuǎn)化為三角形、幾何問題代數(shù)解法、恒等的問題用不等式的知識解答。例如我們學(xué)完了一元一次方程、因式分解等知識后，學(xué)習(xí)一元二次方程，我們就是通過因式分解等方法，將它化歸為一元一次方程來解的。以后我們學(xué)到特殊的一元高次方程時(shí)，又是化歸為一元一

11、次或一元二次方程來解的。對其它代數(shù)方程和一元不等式也有類似的做法。在平面幾何中，我們在學(xué)了三角形的內(nèi)角和與面積計(jì)算等有關(guān)知識后，對n邊形的內(nèi)角和與面積的計(jì)算，也是通過分解、拼和為若干個三角形來加以解決的。在解析幾何中，當(dāng)我們學(xué)完了最基本、最簡單的圓錐曲線知識以后，對一般圓錐曲線的研究，我們也是通過坐標(biāo)軸平移或旋轉(zhuǎn)，化歸為基本的圓錐曲線（新坐標(biāo)系中）來實(shí)現(xiàn)的。其它如幾何問題化歸為代數(shù)問題，立體幾何問題化歸為平面幾何問題，任意角的三角函數(shù)問題化歸為銳角三角函數(shù)問題來解決的例子就更多了?；瘹w思想方法不僅直接培養(yǎng)學(xué)生辯證思維和創(chuàng)造性思維的能力，而且使學(xué)生感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)非常有趣，收到了寓教于樂的效果。數(shù)學(xué)

12、思想方法作為基礎(chǔ)知識的重要組成部分，滲透在學(xué)習(xí)新知識和運(yùn)用解決問題的過程中，教師在教學(xué)過程中，要善于引導(dǎo)學(xué)生能夠領(lǐng)悟并逐步學(xué)會運(yùn)用這些思想方法，去解決實(shí)際問題，在這里，化歸方法充分顯示了它在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明中的巨大作用。三、 化歸模式待添加的隱藏文字內(nèi)容3一位科學(xué)家用用比喻十分生動地說明了化歸思維的實(shí)質(zhì)。“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒些開水，應(yīng)當(dāng)怎么去做？”正確的回答是：“在水壺中放上水，點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放在煤氣灶上?！苯又痔岢隽说诙€問題：“如果其它的條件都沒有變化，只是水壺中已經(jīng)放了足夠的水，這時(shí)你又應(yīng)當(dāng)如何去做？”這時(shí)，人們往往會很有信心地回答說：“點(diǎn)燃煤氣，再把水

13、壺放到煤氣灶上?！钡沁@位科學(xué)家指出，這一回答并不能使她感到滿意。因?yàn)椋玫幕卮饝?yīng)該是這樣的：“只有物理學(xué)家才會這樣去做；而數(shù)學(xué)家們則會倒去壺中的水，并聲稱我已經(jīng)把后一個問題化歸成先前的問題了。”把水倒掉-這是多么簡潔的回答。 當(dāng)然，上面的比喻確實(shí)有點(diǎn)夸張，但它和前面幾個例子相比，也許更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)家的思維特點(diǎn)-與其他應(yīng)用科學(xué)家相比，數(shù)學(xué)家特別善于使用化歸思想和方法。 應(yīng)用化歸原則解決問題的一般模式為： 把所要解決的問題經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個問題，再通過問題的求解，把解得的結(jié)果作用于原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的思想，我們稱之為化歸思想。我們時(shí)常需要把高次的化為低次的，把多元的化為單元的，把高維的化為低維的，把指數(shù)運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，把乘法變?yōu)榧臃?，把幾何問題化為代數(shù)問題，把偏微分方程問題變?yōu)槌Ｎ⒎址匠虇栴}，化無理為有理，化連續(xù)為離散，化離散為連續(xù)。由以上的分析，我們了解了化歸的一般模式，我們還可以把化歸的模進(jìn)一步歸納為：作為一個合格的數(shù)學(xué)教師，不僅要有一定的傳授知識和解題能力，而且要站在數(shù)學(xué)整個系統(tǒng)的高度，研究數(shù)學(xué)的內(nèi)涵和外延，使中學(xué)生具備初步的數(shù)學(xué)