高等數(shù)學(xué)(交大)教案第二章

1、高等數(shù)學(xué)教案第二章一元函數(shù)微分學(xué)3第二章一元函數(shù)微分學(xué)內(nèi)容及基本要求：1 .理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間 的關(guān)系。2 .會(huì)用導(dǎo)數(shù)描一些物理量。3 .掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)行法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本初等函數(shù)雙曲函數(shù)的公式，了解微分四則運(yùn)算法則和一階微分形式不變法。4 . 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。5 .掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法。6 .會(huì)求隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)和微分概念；導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)行法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法， 基本初 等函數(shù)、雙曲函數(shù)的公式；初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法；隱函數(shù) 和參數(shù)式所確定的函數(shù)的

2、一階、二階導(dǎo)數(shù)。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法；隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一.導(dǎo)數(shù)的定義1 .問題的引入(以物理學(xué)中的速度問題為例，引入導(dǎo)數(shù)的定義)自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度已知作自由落體運(yùn)動(dòng)的物體的位移s與其時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系1.2s s(t)萬gt ,求該物體在t to時(shí)刻的瞬時(shí)速度v(to).(以均勻代替非均勻)首先從物體的內(nèi)的平均速度入手；令物體移動(dòng)時(shí)間t從t0變化到t0 t；在t這個(gè)時(shí)間段物體的位移為,、，、1 z 、21, 、212s s(to t) s(to) 2g(to t)2g(to)gto t -g t ；物體在t這個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度為s s(tot) s(

3、to)1vto,to t - 1 gto 2gt.(以極限為手段)然后得到瞬時(shí)速度. 易見t愈小，t時(shí)間內(nèi)的平均速度 v的值就愈接近to時(shí)刻的速度； 因此，當(dāng)t o時(shí)，v的極限自然定義為物體在to時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即定義v(to)litmos . s(to t)s(to).v lim lim - gto.tot toto由此可見，物體在to時(shí)刻的瞬時(shí)速度是函數(shù)的增量s與自變量增量 t比值當(dāng)t 0的極限.推廣到一般，可以歸結(jié)為 一個(gè)函數(shù)y f(x)的增量 y與自變量的增量 x之比，當(dāng)x趨于零時(shí)的極限.這種類型的極限我們稱其為導(dǎo)數(shù).2.導(dǎo)數(shù)的定義(1)函數(shù)y f(x)在一點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)y f

4、(x)在n(xo，)內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x0處取得增量 x(點(diǎn)x0x仍在該鄰域內(nèi))時(shí);相應(yīng)地函數(shù)y取得增量 y f (x0 x)f (x0);如果 y與x之比當(dāng) x 0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù) y f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f (xo),即y . f(xo x) f(xo)(x0)lim - lim x 0 x x 0x山dy t df(x)也可記為 y , 上 或 .x x0dx x x0dx x x0也稱函數(shù)增量與自變量增量之比一y是函數(shù)y在以x0及x0x為端點(diǎn)的區(qū)間上的 平x均變化率，導(dǎo)數(shù)f (x0)是函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x0處的變化率

5、，即 瞬時(shí)變化率.(2)函數(shù)y f (x)在一點(diǎn)x處導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)0時(shí)的極限存在，則稱函將x0處導(dǎo)數(shù)定義中的x0換成x ,如果 y與x之比當(dāng) x數(shù)y f (x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，記為 f (x),即y f (x x) f (x) f (x ) lim lim .x 0 x x 0x顯然，當(dāng)x在某區(qū)間i內(nèi)變化時(shí)，f (x)是x的函數(shù).因此稱之為 導(dǎo)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)的1 口、才占dy df (x)記萬還有y ,1或 一.dx dx函數(shù)y f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)f(3) x0處導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系(x0)是導(dǎo)函數(shù)f (x)在點(diǎn)xx0處的函數(shù)值.即f(x。)f (x)

6、xx0通常，導(dǎo)函數(shù)簡稱為導(dǎo)數(shù).例1求函數(shù)yx2的導(dǎo)數(shù)以及在 x 1點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).3.不可導(dǎo)的情形由可導(dǎo)定義，如果limx i的極限不存在，即有下述情況之一，稱函數(shù) y f(x)在點(diǎn)xo處不可導(dǎo).4.(1) lim y =x 0 x2 (1)求函數(shù)y(2)求函數(shù)y導(dǎo)數(shù)定義的不同形式(2)lim -y無穩(wěn)定的變化趨勢.x 0 x0處的導(dǎo)數(shù).0處的導(dǎo)數(shù).(x0)(x0).h)f(x0 h)h 0h(2)已知 f(x) (x a) (x),(x)在 x a處連續(xù)，求 f (a).(3)計(jì)算極限arctan x 一im3 x .3 3二.導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)曲線c的方程為yf(x) , mj。

7、y0)是曲線c上的一點(diǎn)，求曲線在點(diǎn) m處的切線方程.f (xox) f(x0)(1) lim = f (x0)；x 0x lim f(x0 h) f(x0)=f()； h 0hf(x) fd)(3) lim =f(x0)；x x0x x0f(x0) f(x0x)_(4) lim = fx 0x，-、1(5)lim l f (x0 -) f (x0) = f例3 (1)已知f (x0)存在，求lim x第二章一元函數(shù)微分學(xué)割線(1)在曲線上另取一點(diǎn) m1(x0x, yoy),如圖3所示，連接m , mi兩點(diǎn)，得圖3mm i .割線mm i對x軸的傾角為 ，其斜率為tan#(2)當(dāng)x o時(shí)，點(diǎn)mi

8、沿曲線c趨向點(diǎn)m ,割線的極限位置mt為曲線f (x)在點(diǎn)m處的切線.此時(shí)lxmoy=lim tan =tanlim tan k其中是切線mt關(guān)于x軸的傾角.從而曲線 c在點(diǎn)m處的切線斜率為k= f (xo).由此可知，函數(shù)y f (x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f (xo)在幾何上表示曲線 y f (x)在點(diǎn)m(xo , f(xo)處的切線的斜率k,即f (xo) tan k .其中是切線的傾角.因此曲線yf(x)在點(diǎn)m(x0 , yo)處的切線方程為y yof (xo)(x xo)；當(dāng) f (x0)。時(shí)，法線方程為y yof (xo)(x xo).特殊地，f (xo) o時(shí)，曲線y f (x)在點(diǎn)(

9、xo, yo)的切線平行于x軸.當(dāng)f (xo)時(shí)，曲線y f (x)在點(diǎn)(xo, yo)的切線垂直于x軸.此時(shí)，切線的傾角為高等數(shù)學(xué)教案第二章一元函數(shù)微分學(xué)一 ，、1 .1 例4 求y i在點(diǎn)（萬，2）處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方1，、程.（答案 切線的斜率為 4,切線方程為4x y 4 0;法線的斜率為 ，法線方4程為 2x 8 y 15 0）三.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系1.可導(dǎo)必連續(xù)設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，即lim y x 0 xf （x）存在，由極限與無窮小量的關(guān)系知y f (x) x其中是x0時(shí)的無窮小量.上式兩端同乘以y f (x) x由此可見，當(dāng)x 0時(shí)，y 0.即

10、函數(shù)y2.連續(xù)未必可導(dǎo)x,得x .f (x)在點(diǎn)x連續(xù).例如，函數(shù)y | x|在點(diǎn)x 0處連續(xù)（圖1）,但由例題2 （1）知，y | x |在點(diǎn)x 0處不可導(dǎo). 同樣，函數(shù)y 3x在點(diǎn)x 0處連續(xù)（圖2）,但由例題2 （2）,中，y vx 在點(diǎn)x 0處不可導(dǎo).由上面的討論可知， 函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件，所以如果函 數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)必不可導(dǎo).2.函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)與該點(diǎn)存在切線的關(guān)系(1)可導(dǎo)必有切線；因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)切線的斜率存在，自然存在切線(2)有切線未必可導(dǎo).例如，曲線y 3/x在點(diǎn)x 0處有垂直于x軸的切線(圖2),但它在x 0不可導(dǎo).四.科學(xué)

11、技術(shù)中的導(dǎo)數(shù)問題舉例變化率 當(dāng)因變量y隨自變量x均勻變化時(shí)，y是x的線性函數(shù)，x改變單位長度 時(shí)y的改變量，即 ,總是一個(gè)常數(shù)，它反映了 y隨x變化的快慢程度，叫做變化率。求函數(shù)y f(x)在點(diǎn)x0處變化率的方法可以歸納為以下兩步：(1) 局部均勻化求近似值；(2) 利用求極限得精確值設(shè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s s(t),質(zhì)點(diǎn)在to時(shí)刻的瞬時(shí)速度v(t0)是s s(t)在to點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值s(to).例5物體做直線運(yùn)動(dòng)的方程為s 3t2 5t ,求(1)物體在2秒時(shí)的速度；(2)物體運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù).19第二節(jié)求導(dǎo)的基本法則一.函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè) u u(x), v v(x),

12、w w(x)在 x點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù) u u(x),v v(x),w w(x)，則法則1:兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之和(差)，即(u v) u v.(u v w) u v w.證明設(shè) f (x) u(x) v(x)，則f (x x) f (x). u(x x) v(x x) u(x) v(x)f (x) lim - lim x 0xx 0xu(x x) u(x) v(x x) v(x)u . vlim - lim lim u v .x 0xxx 0 x x 0 x所以(u v) u v.例1求yx3 5的導(dǎo)數(shù).解 y (x3 5)(x3)(5)3x2 0 3x2.例 2 設(shè) f

13、(x)x34cosx sin萬,求 f (x)及 f ().解 f (x)3x2注意：f ( ) f20),所以24sin x 0 3x 4sin x,(注意：(sin,)3 2f (a);4.例 4 設(shè) y ex(sin x cosx)，求 y .解 y(ex) (sin x cosx) ex(sin x cosx)xxxe (sin x cosx) e (cosx sin x) 2e cosx.例5設(shè)f(x) (x a) (x), (x)為連續(xù)函數(shù)，求f (a).f (a h) f (a) h (a h)斛 f (a) lim - limlim (a h) (a).h 0hh 0 hh 0

14、錯(cuò)誤解法：f (x) (x a) (x) (x a) (x)(x) (x a) (x),所以 f (a)= (a).錯(cuò)誤的原因是：(x)不一定可導(dǎo).法則3:兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù) 的乘積，再除以分母的平方.即(-)v，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的乘積減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子u v uv2v.(v 0)，求y .(x22221)(x21) (x2 1)(x2 1)222x(x2 1) (x2 1) 2x(x21)2/ 22(x 1)4xt-2 ti .(x 1)ln x _f，求y .x(ln x) xn ln x2n x(xn)1 nn 1 -x ln x (nx )x2n x1 f(1 nlnx).

15、xy tan x,求 y .sinx.2、，(tan x) () sec x.cosx2(tan x) sec x.同理可得：12(cot x)2csc x.sin x同理可得:(cscx) csc x cot x .二.反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理(反函數(shù)的求導(dǎo)法則)設(shè)y f(x)在x處有不等于零的導(dǎo)數(shù)f(x)，且其反函數(shù)x f 1(y)在相應(yīng)點(diǎn)處連續(xù)則f 1(y)存在，且f 1(y)f (x)1f 1(y)即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)y取得增量y時(shí)，因變1- 1證明 yf(x)的反函數(shù)x f (y).當(dāng)x f (y)的自變量量x取得相應(yīng)的增量x.當(dāng)y 0時(shí)必有 x 0.事實(shí)上，如果-1- 1

16、_x f (y y) f (y) 0,則f 1(y y) f 1(y),但f(x)是一一對應(yīng)的，故y y y,則y 0與y 0的假設(shè)矛盾.所以當(dāng) y 0時(shí)，有x 1,y _1x1 ,又x f (y)在相應(yīng)點(diǎn)處連續(xù)，所以y 0時(shí)，x 0 .由f(x) 0 ,得f 1(y)11. y f (x) lim x 0 x例 8 設(shè) y arcsin x,求 y .解 設(shè)x sin y為直接函數(shù)，則y arcsin x為其反函數(shù)x sin y在i y (萬,3)內(nèi)單調(diào)，可導(dǎo)，且(sin y) cosy 0.y arcsin x在對應(yīng)白區(qū)間ix ( 1,1)內(nèi)有(arcsin x)1(sin y)1cos

17、y2又 cosy 1 sin y21 x，所以(arcsin x) 1 x2同理可得：(arccosx)例 9 設(shè) y arctanx，求 y解 設(shè)x tan y為直接函數(shù)，則y arctanx為其反函數(shù).2x tany在1y (萬,萬)內(nèi)單倜，可導(dǎo)，且(tan y) sec y 0. y arctanx在對應(yīng) 的區(qū)間i x (,)內(nèi)有(arctan x)1(tan y)12- sec y又 sec2 y 1 tan2 y 1 x2,所以,、1(arctan x) 21 x同理可得：,、1(arc cot x) 21 x2三.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)定理(復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(x)在x處設(shè)y f(u),u

18、 (x)，即y是x的一個(gè)復(fù)合函數(shù)：y f (x).如果u有導(dǎo)數(shù)du (x),yf (u)在對應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)dy f(u)muy f (x)在x處的導(dǎo)dxdu數(shù)存在，且dydy duf (u) (x)dxdu dx或yxyu ux如果 y f (u), u (v),v10 設(shè) y (1 2x)30，求 dy dx11 求y1213(x)，則 ydy dxdydufdudv(x)的導(dǎo)數(shù)為dvdx30,u 1 2x,則(u30)u (1 2x)xcosnx的導(dǎo)數(shù).y cosu,u nx則y (cosu)u (nx)x設(shè) y ln tan x,求 dy dxy ln u,u tanx,則y(lnu)u

19、 (tanx)xdydx1430u29sin u1 2 -sec u60u2960(1n sin nx.1sin xcosx15162x)29.x3y e ,求dy dudu dxy sin 一 1dy dxx3 e3x23x2x3 /e , (ux3).2x2 x，求出dx2xcos21 x2(3)1 xcos-12x2 x222(1 x ) 4x7a2t2(1 x )2 2x2(1 x2)2cos一 12x2 . x2a2設(shè) y ln(x的導(dǎo)數(shù).x( a2x2)x2 % a2(a2x2)1 (x22 x x ax222a xa2),求 y .2x)2a2a22x22 xx2 a2)1122

20、x 1 x a(x2_2、x2a2)2 a17sin設(shè)y e1x,求 y .sin1(e x)sin1e x (sin ) xsin! e x1 cos-x(-)x.1 sin_x1 cos-.x18設(shè)y ln(1 x)e，求 y(0).:arccosx12ln(1x) xln arccosx則arccosx(7i21).,1 x arccosx ,1所以y (0)-例 19 設(shè) yf (arctanx2),求 y .解 設(shè) u arctanv,vx2,則y f(u)所以dy dydx dududvdvdxf (u)11 v22x2x4 f (arctanx2).1 x4四.高階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)：

21、yf (x)dy dx二階導(dǎo)數(shù)：yf (x)d2y dx2s).dx dx三階導(dǎo)數(shù)：yf (x),3d ydx3m). dx dx四階導(dǎo)數(shù)：y(4)產(chǎn)(x) dxy (y).n階導(dǎo)數(shù)：y(n)n(n)0 y (n 1)、f (x) n (y ).dx1.二階導(dǎo)數(shù)例20設(shè)svot12 d 2s at，求 一22 dt解 s v0at, s例21證明函數(shù)y j2x x2滿足關(guān)系式y(tǒng)3y 1 0.證明 y 般地，有sin(ax b)(n) an sin(x n ).2cos(ax b)(n) an cos(x n ).2 x yj3_,所以 y(cos2 x)(n)： (cos2x)(n) 2n 1

22、 cos(2x n).y 1 0.2x xyd 211如求y cos x的n階導(dǎo)數(shù)，由于y cos x 一 一cos2x,則2 2 y例22設(shè)y f(e), f二階可導(dǎo)，求 v.dx20,求今解 y ex f (ex), yex f (ex) ex f (ex) ex ex f (ex) e2x f (ex).例231 y sin222 cos y1-解 1 y cosy y 0 所以 y2(y)d dx(2cosy4sin y(2 cosy)2.高階導(dǎo)數(shù)例 24 設(shè) yeax,求 y(n).ax2 ax解 y ae , y a e ,(n)，yn ax例 25 設(shè) y sin x,求 y(n

23、).解 y(n) (sin x)(n) sin(x n ). 2同理(cosx)(n) cos(x n ).2例26設(shè)y ln(1 x)，求y.解 y(1)n 1 (n 1(1 x)n2 x . .一 , .(n)如求y 的n階導(dǎo)數(shù)y( ).1 2x例 27 設(shè) f (x) anxn an 1xn 1(n)(k) /axa。，求 f (x), f (x), (k n).解 f(n)(x)n!an, f (k)(x) 0,(k n).第三節(jié)隱函數(shù)與由參數(shù)方程所表示的函數(shù)的求導(dǎo)一.隱函數(shù)及其求導(dǎo)法顯函數(shù)：等號(hào)左邊是因變量，右邊是含有自變量的代數(shù)式.隱函數(shù)：非顯函數(shù)，形如f(x,y) 0.32如：y

24、 *)為顯函數(shù)，而* y sin y 0為隱函數(shù).將隱函數(shù)化為顯函數(shù)稱為隱函數(shù)的顯化，但不是所有隱函數(shù)都可以顯化.37如：y 2y x 3x0就不可以顯化.不用顯化直接由方程求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為隱函數(shù)的求導(dǎo).例1由方程y xln y確定y是x的函數(shù)，求y .解方程兩邊對x求導(dǎo)，有1 y ln y x y y所以y 4y x例2由x2 xy y24確定y是x的函數(shù)，求其曲線上點(diǎn)(2, 2)處的切線方程解方程兩邊對x求導(dǎo)，有2x y xy 2yy 0所以y 空*切dy|x21.所以切線方程為x 2y dx y 2y ( 2) 1 (x 2)，即 y x 4.例3設(shè)y2f(x) xf (y) x2淇中

25、f(x)為可微函數(shù)，求y.dx一2 -解 2x y f (x) f(y)2yf(x) xf (y)二.由參數(shù)方程所表示的函數(shù)的求導(dǎo)設(shè)參數(shù)方程為x x(t),y y(t).確定y y(x)則第二章一元函數(shù)微分學(xué)21dydxd2y dx2dx dtd2y dx2d2y dx2d2y dx2x t2y (t) x(t)dy dxdy dtdx dtd dy一(一 dx dxy x y x(x)3y ln(1dy dtdx dt小翳)dx dty(t)x(t) y(t)x(t)2x(t) x2t,求業(yè)叮t). dx dx2t2 2(1f (t), tf (t)醬dxdtx6證明曲線切點(diǎn)的距離為常數(shù).證

26、明設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為程為ddidxdt1(1 t)32(1 t)1_4 .2(1 t)其中 f(t).d2vf(t)為二階可導(dǎo)，求 智. dxtf (t),則電 t.dx1f-(tja(ln tan- cost), 2 (aasint(x0, y0),對應(yīng)的參數(shù)為yy(t0)y (t0)x x(t) x(t)0,0t0 .由dydx)上任一點(diǎn)的切線與x軸的交點(diǎn)至，所以切線方x (t0)高等數(shù)學(xué)教案第二章一元函數(shù)微分學(xué)切線與x軸的交點(diǎn)為* x(to)y(to) x(to)y(to) x x(t0) acost0.y (to)所以d2(x(to) x* )2 y(to)2a2 cos2 to a2 si

27、n2 to a2.三、相關(guān)變化率變量x與y都隨另一變量t而變化，即x x(t) , y y(t)，而x與y之間又有相互依賴關(guān)系：f(x, y) 0,研究兩個(gè)相關(guān)變化率x(t)與救t)之間關(guān)系的問題稱為相關(guān)變化率問題。解決這類相關(guān)變化率問題可采用以下步驟：1 .建立變量x與y之間的關(guān)系式f(x,y) 0;2 .將f(x, y) 0中的x與y均看成是t的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則，等式f(x(t), y(t) 0兩端分別對t求導(dǎo)；3 .從求導(dǎo)后的關(guān)系式中解出所要求的變化率。29第四節(jié)微分一.微分的概念1 .定義 設(shè)y f(x)在u(x0)內(nèi)有定義，x0 x u(xo).如果函數(shù)的增量y f(xo

28、x) f(xo)可表不成y a(x0) x o( x)則稱y f (x)在xo處可微的，a(xo) x稱為yf(x)在xo處相應(yīng)于自變量的增量x的微分，記作dy，即dy a x.2 .函數(shù)可微的條件定理 f(x)在xo處可微f(x)在xo處可導(dǎo)，且a f (xo).即dy f (xo) x .證明 :f(x)在xo處可微，則y a(xo)x o( x)，所以lim/ a hm2l2)x o xx o x得f (x)在xo處可導(dǎo)，且a f (xo).:f (x)在xo處可導(dǎo)，則f (xo),所以f (xo),limxc).故 y f (xo) xx.,而所以則。limx0,y f (xo) x

29、o( x),即 f (x)在 xo 處可微，且 a f (xo).例1求函數(shù)yx2當(dāng)x1, x o.oi時(shí)的微分.3.函數(shù)的微分函數(shù)y一 一2 .2x ,所以y x當(dāng)x 1, xo.oi時(shí)的微分為dy (2x)|x1 x 2 o.o1 o.o2.f (x)在任意點(diǎn)處x的微分稱為函數(shù)y f(x)的微分，記作dy或df (x),即dy f (x) x.當(dāng)y x時(shí),dy dxx,稱dx為自變量的微分，故函數(shù)的微分又可記作dy f (x)dx.由此有dy dx 從而導(dǎo)數(shù)又稱為f (x)”微商例 2 設(shè) y arctan ex，求 dy .xe1(ex)2xe1 e2x所以x, e .dy -一27dx

30、.1 e二.微分的幾何意義1.微分在近似計(jì)算中的理論基礎(chǔ)當(dāng)yf (x)在x0處可導(dǎo)時(shí)，則dyf (x0)dx.當(dāng)f (x0)0時(shí)有yy 1ylim - lim lim - 1,x 0 dy x 0 f (x0) f (x0) x 0 x即 ydy,( x 0),所以y dy o(dy).稱dy為y的線性主部，且y dy o(dy).所以lim0|y dy dy0.dy.由此有，當(dāng)x 0時(shí)，y當(dāng)y是曲線的縱坐標(biāo)增量時(shí),dy就是切線縱坐標(biāo)對應(yīng)的增量.當(dāng)x很小時(shí)，在點(diǎn)m的附近，切線段mp可近似代替曲線段mn.三.微分的運(yùn)算dy f (x)dx.1 .基本初等函數(shù)的微分公式.2 .函數(shù)和，差，積，商的

31、微分.3 .復(fù)合函數(shù)的微分法則一一微分形式不變性y f(u), u (x) y f (x),則dyyxdxf (u) (x)dx .又du (x)dx所以dy f (u)du.由此，不論u為自變量還是中間變量，微分形式dy f (u)du不變，稱為微分形不變性2例 3 設(shè) y ln(1 e )，求 dy .x2解 dy d ln(1ex)-d(1ex)eexd(x2)xe 2 dx.1 ex1 ex1 ex例4設(shè)yxln x ,求dy及也.dx解ln y (lnx)2,兩邊彳it分，有11dy 2ln x -dx yx所以dy例5由exy2ln x inx . dyx dx,xdx2ln x

32、in xxxy2 x 0確定y是x的函數(shù)，求dy及業(yè). dx解d(exy y2 x) 0,得 d(exy) dy2 dx 0,即xy /e (xdy ydx) 2ydy dx 0,解得dy1 yexy xexy 2ydx,dy 1 yexydx xexy 2y四.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng) f (x0)0 時(shí)有 y dy f (x0)dx .即f(xx)f(xo)f (x)dx或f(xx)f(xo)f (x) x令 x x x, x x x0,則f (x) f(x) f (x)(x x).運(yùn)用此近似公式計(jì)算函數(shù)的近似值時(shí)，要求(1) x x x0 很??；(2) f (x0), f (x0)易于計(jì)

33、算.由以上兩點(diǎn)，關(guān)鍵是點(diǎn)x0的選取.特別地，如果取x00,則f(x) f(0) f (0)x.由此有工程上的幾個(gè)近似公式(類似于x0時(shí)的等價(jià)無窮小)：1(1) j x 1 x； n(2) sin x x,tan x x;x e 1 x, ln(1 x) x.解 sin30030sin().取 x06 360例6 求sin 30030的近似值.,x , f (x) sin x, f (x) cosx 則 6360sin30030f(6) f(6) x0.5076.1.3sin cos-66 36022 360例7求v996的近似值.一 c。44 、解 3 996 3.1000 4 103 110

34、(1) 9.9867.,10003000弟早元函數(shù)微分學(xué)第五節(jié)平面曲線的曲率.曲率的概念曲率是用來反映曲線彎曲程度的量.比值s,即單位弧度切線轉(zhuǎn)過的角度稱為弧段的 平均曲率記作k，即而極限稱為曲線在點(diǎn) m處的曲率，記為k，即當(dāng)lims 0k lims存在時(shí)，則dds卜面給出曲率k的計(jì)算公式.設(shè)曲線方程為yf (x)，且f (x)具有二階導(dǎo)數(shù).由一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義知兩邊微分得所以tan2secd2 d2、d(1 tan )(1 y ) dxdxdxy1 y2dx.#又由弧微分公式dsdy 21 (dx) dx所以有dds3 ,(1 y2)2高等數(shù)學(xué)教案第二章一元函數(shù)微分學(xué)故曲率k的計(jì)算公式為y3

35、(1 y2)2如果曲線的參數(shù)方程為x x(t), y y(t).則曲率k的計(jì)算公式為xy x yk3 .222x2(x y )2例1試問拋物線y ax2 bx c上哪一點(diǎn)處的曲率最大 ？解 y 2ax b, y 2a .所以曲率2a3(1 y2)231 (2ax b)2產(chǎn)，即拋物線在頂點(diǎn)處的b_當(dāng)2ax b 0,即x 時(shí)，曲率k最大，此時(shí)對應(yīng)著拋物線的頂點(diǎn) 2a曲率最大.曲率的計(jì)算 設(shè) y f (x)二階可導(dǎo)，tan y ,有 arctan y , dds .1 y 2dx. k 3.(1 y2)2設(shè)x，二階可導(dǎo)， y(t),dy (t) d2y (t) (t)(t)dx (t) , dx23

36、(t),i (t) (t)(t)k3.2(t)2(t)2例2拋物線y ax2 bx c上哪一點(diǎn)的曲率最大 ？c .c2a解：y 2ax b, y 2a, k 3.31 （2ax b）2k顯然，當(dāng)x旦時(shí)，k最大.又（a, b2 4ac）為拋物線的頂點(diǎn),2a2a 4a拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大.例3鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎 道時(shí)，若接頭處的曲率 突然改變，容易發(fā)生 事故，為了行駛平穩(wěn)，往往在直道和彎道之間 接入一段緩沖段（如 ，1圖），使曲率連續(xù)地由零過渡 到1 （r為圓弧軌道的半徑）.r通常用三次拋物線 y x3, x 0,x0.作為緩沖段 oa,其中l(wèi) 6rl為oa的長度，驗(yàn)證緩沖段 oa在始端o的

37、曲率為零，并且當(dāng)-很 r小（l 1）時(shí)，在終端a的曲率近似為 2.rry /37證：如圖x的負(fù)半軸表示直道，oa是緩沖段，ab是圓弧軌道.在緩沖段上2rl一 x.在 x0處,y 0, y0,故緩沖始點(diǎn)的曲率k0 0.實(shí)際要求l x0,有 y xx0l2rll2ry x x0rl rlr故在終端a的曲率為y|(1 y2)2ir12 3(1二)24r-i，略去二次項(xiàng) r三.曲率半徑與曲率中心定義：設(shè)曲線y f（x）在點(diǎn)m （x,y）處的曲率為k（k 0）.在點(diǎn)m處的曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點(diǎn)d,使dm| 1.以d為圓心，為半徑作圓（如圖），稱此圓為曲線在點(diǎn)m處的曲率圓.d 曲率中心， 曲率半徑

38、.汪后：1 .曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù)2 .曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大，曲線在該點(diǎn)處的曲率越小（曲線越平坦）；曲率半徑越小，曲率越大（曲線越彎曲）.3 .曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附近曲線?。ǚQ為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似）.例42飛機(jī)沿拋物線y（單位為米）俯沖飛行,在原點(diǎn)o處速度為4000v 400米/秒，飛行員體重70千克.求俯沖到原點(diǎn)時(shí)，飛行員對座 椅的壓力.解：如圖受力分析f q p,視飛行員在點(diǎn)o作勻速圓周運(yùn)動(dòng)2mv. .20000, y x 0120001得曲率為kxxn .曲率半徑為x020002000 米.70 4002f 20005600（牛

39、）571.4（千克）,f .（ 為。點(diǎn)處拋物線軌道的曲率半徑）q 70（千克力）571.4（千克力），641.5（千克力）.即:飛行員對座椅的壓力為641.5千克力.第六節(jié)微分學(xué)中值定理一.rolle 定理如果f (x)在a,b上連續(xù);(2) f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3) f(a) f (b).則(a,b),stf( ) 0.證明 因?yàn)閒(x)在a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上必取得最大值 m和最小值m .(1) mm,此日f (x) m,x a,b,所以 f (x) 0,x (a,b),從而可取(a,b)內(nèi)的任點(diǎn)作為，有f ( ) 0 .(2)mm.不妨設(shè) f(a)m,則必存在(a

40、,b),s.t.f( ) m.往證 f ( ) 0.由f ()的存在，可得.f( x)f()lim -x 0 x存在.對于f ( ) lim f( x) f() x 0x和f()limof(x)f().x 0x顯然 f( x) f( ) 0.當(dāng)x0時(shí)，f(一上)0,從而f ( )0,即f ( )0.(1)x當(dāng)x0 時(shí)，f(f-)0,從而 f ( )0,即f ( )0.(2)x由(1)與(2)得0 f ( ) 0即f ( ) 0.注意 rolle定理主要應(yīng)用在證明f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)有零點(diǎn).例1設(shè)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f (b) f(a) g(b) g(a)

41、.證明在分析：.f ( ) g()(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn),s.t.f ( ) g ().f (x) g(x)|x0f(x) g(x) lx0.即要證明f(x)f (x) g(x)的導(dǎo)函數(shù)在(a,b)內(nèi)有根.證明令f(x)f (x) g(x)，顯然f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a) g(a) f(b) f (b) g(b)(f (b) f (a) g(b) g(a)f (b) f (a) g(b) g(a).從而f(x)在a,b上滿足rolle定理的條件，故存在(a,b),s.t.f ( ) 0,即f ( ) g ( ) 0所以f ( ) g ().例2設(shè)工如l曳a00,證明

42、函數(shù)n 1 n 2f(x) anxn an ixn 1ax a0在(0,1)內(nèi)必有一根證明 令 f(x) -an-xn 1 axn曳 x2ax,顯然 f(x)在0,1上滿足 rolle 定n 1 n2理的條件，且 f (x) f (x)anxn anxn 1a1x a。.由 rolle 定理得，(0,1)，使得f ( ) 0,即f( ) 0,所以 f (x)anxnan 1xn 1ax ao 在(0,1)內(nèi)必有一根.例3 設(shè)f(x)在0,上連續(xù)，在(0,)內(nèi)可導(dǎo)，且0 f(x) 1, f (x) 1 .證明方程 44f(x) tanx在(0,)內(nèi)恰有一根.第二章一元函數(shù)微分學(xué)證明(1)先證f(

43、x) tanx在(0,-)內(nèi)有一根.令 f(x) f (x) tanx,則 f(x)在0,上連續(xù)，且4f(0) f(0) 0,f(4)f(-) 1 0,由零點(diǎn)定理，(0q),st.f( ) 0,即f (x) tanx在(0,工)內(nèi)有一根.(2)往證f (x) tanx在(0，i)內(nèi)只有一根.反證法：設(shè)f (x)f (x) tan x 在(0,彳)內(nèi)有兩個(gè)根x1 x2，則f(x)在x1,x2上滿足rolle定理的條件，所以(0,-)，使得4但 f (x)、2)sec 0,2f (x) sec x 0,x(0,-)，故假設(shè)不成立.由與(2)知，f (x) tanx在(0,一)內(nèi)恰有一根.4二.la

44、ngrage中值定理(也稱有限增量定理或微分中值定理)如果函數(shù)f(x)(1)在a,b上連續(xù);(2)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則(a,b),s.t.f (b)f (a) f ( )(b a).(*)注意 (1)當(dāng)b a時(shí)，公式(*)仍成立.公式(*)稱為langrage中值公式.從而即由(2)公式(*)的等價(jià)形式：令a x,bx,則f (xf (xlangragex)x,0x)(xf(x) f ()1，所以f(x) f (xx) xx)x (0x之間.1)(*)(*)中值公式，可得函數(shù)增量的精確表達(dá)式，從而該定理又稱為有限增量定理，有時(shí)39也稱為微分中值定理高等數(shù)學(xué)教案第二章一元函數(shù)微分學(xué)推論 如果f

45、 (x)在區(qū)間i上的導(dǎo)數(shù)恒為零，則f(x)在區(qū)間i上是一個(gè)常數(shù).證明x3x2i,不妨設(shè)xix2,顯然f(x)在xi,x2上滿足langrage中值定理的條件故存在(x1,x2)，使得f (x2)f(xi)f ( )(x2 xi)(xi, x2)又f ( ) 0 ,所以f(x2)f(xi) 0即f(x2) f (xi).由x1,x2的任意性知：f (x) c, x i .注意此處的區(qū)間i可以是任何類型的區(qū)間. _ x例4證明當(dāng)x 0時(shí), ln(1 x) x.1 x證明 (分析 ln(1 x ln(1 x) ln(1 0).令f(t) ln(1 t),則f(t)在區(qū)間0,x上滿足 langrage

46、中值定理的條件，故存在(0,x)，使得f(x) f(0) f ( )(x 0)即x ln(1 x) ，(0 x)1一 11,又 1,所以1 x 1xln(1 x) x.1 x注意 從例4的證明可以看出用langrage中值定理證明不等式的基本思路是：(1)構(gòu)造輔助函數(shù)：這可以從待證不等式分析出輔助函數(shù)的構(gòu)造；(2)由langrage中值定理f(b) f(a) f ( )(b a), 在 a與 b 之間估at f ()，從而得待證不等式.例5設(shè)f(x)在(a,)內(nèi)可導(dǎo)，且lim f(x)與lim f (x)存在，證明lim f (x) 0. xxx證明 f (x)在x, x 1上滿足langra

47、ge中值定理的條件，故有f (x 1)f (x) f ( ), x x 1 ,所以jim f (x)lim f ( ) jimf(x1) f (x)jimf (x 1) jimf (x) 0.cauchy中值定理cauchy中值定理如果函數(shù)f(x)與g(x)在a,b在連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).且g (x)在(a,b)內(nèi)不為零，則存在(a,b)，使得f(b) f(a) f () g(b) g(a) g ()例6設(shè)f (x)與g(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)x a時(shí)，f(x) g (x),證明當(dāng)x a時(shí)，有f (x) f (a) g(x) g(a).證明(分析：由 f (x) g(x”dg(x) 0 g(x) g(a) g ( )(x a),x a)顯然f(x)與g(x)滿足cauchy中值定理的條件，所以存在(a,x),有f(x)f(a)f(),、,(a, x).g(x)g(a)g()即f (x)f (