帶電粒子在磁場(chǎng)中的受力

1、若粒子的初速度不為零，則心m宀U。v=帶電粒子在磁場(chǎng)中的受力帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)（或電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)）中的運(yùn)動(dòng)是高中物理中的重點(diǎn)內(nèi)容，是每年高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，本部分內(nèi)容綜合性很強(qiáng)，幾乎可以綜合一切力學(xué)規(guī)律，題目突出，與生產(chǎn)技術(shù)、生活實(shí)際、科學(xué)研究等緊密結(jié)合，突出考查學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題 中獲取物理信息，建立物理模型的能力，同時(shí)對(duì)于學(xué)生的空間想象能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析物理問(wèn)題的能力也有較高的要求（一）不計(jì)重力的帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1、帶電粒子的加速（1）運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析：帶電粒子沿與電場(chǎng)線(xiàn)平行的方向進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，受到的電場(chǎng)力與 運(yùn)動(dòng)方向在同一直線(xiàn)上，做勻加（減）速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。（

2、2） 用功能觀點(diǎn)分析：粒子動(dòng)能的變化量等于電場(chǎng)力做的功（電場(chǎng)可以是非勻強(qiáng)電場(chǎng)）沿初速度方向的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=。沿電場(chǎng)力方向初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)a=-離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏移量海，離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角3氣=兩2、帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)（1） 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析：帶電粒子以速度vo垂直于電場(chǎng)線(xiàn)方向飛入勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，受到與初 速度方向恒成90角的電場(chǎng)力作用而做勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。（2）偏轉(zhuǎn)問(wèn)題的分析處理方法類(lèi)似于平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解的知識(shí)方法。3、推論：（1）粒子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中射出時(shí)，其速度反向延長(zhǎng)線(xiàn)與初速度方向交于一點(diǎn)，此 點(diǎn)平分沿初速度方向的位移。在下圖中，設(shè)帶電粒子質(zhì)量為 m、帶電荷量為

3、q,以速度V。垂直于電場(chǎng)線(xiàn)射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn) 電場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)電壓為U。若粒子飛出電場(chǎng)時(shí)偏角為則tan（=；，式中粒子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中射出時(shí)偏距。作粒子速度的反向延長(zhǎng)線(xiàn)，設(shè)交于0點(diǎn)，0點(diǎn)與電場(chǎng)邊緣的距離為 x,則1/2處沿直線(xiàn)射出似的。由此可知，粒子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中射出時(shí)，就好像是從極板間的(2)若連接入射點(diǎn)與出射點(diǎn)，設(shè)連線(xiàn)與入射方向(vo的方向)的夾角為a則tan a= .T 1 呎由此可知tan 9=2 tan a問(wèn)題1、帶電粒子在電場(chǎng)中的平衡與加速：如圖所示，豎直固定的光滑絕緣直圓筒底部放置一場(chǎng)源A，其電荷量二自 2mg（x 矩）毗里2axA 丄H - 一 、曲 亠丄 瓦 （0.40.6S3mf x （0.

4、4 X）m代入數(shù)據(jù)得P點(diǎn)與小球A之間的距離為：不 合題意，舍去。（4）當(dāng)C和B向下運(yùn)動(dòng)的速度最大時(shí)，與A之間的距離為y,對(duì)C和B整體進(jìn)行受2噸毗專(zhuān)力分析有：，代入數(shù)據(jù)有：由能量守恒得:0.283m.5X2mg(a Xy)屁y-P2mVi2a 2代入數(shù)據(jù)得： T-:【總結(jié)方法】帶電粒子在電場(chǎng)中的平衡問(wèn)題一般是分析帶電粒子在電場(chǎng)中所受的力（重力、庫(kù)侖力、電場(chǎng)力、彈力、摩擦力等），根據(jù)物體平衡條件列出平衡方程解之；帶電粒子 在電場(chǎng)中的加速一般根據(jù)動(dòng)能定理由電場(chǎng)力做功等于動(dòng)能變化列方程求解。變式i:如圖所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)方向沿 x軸的正方向，場(chǎng)強(qiáng)為 E。在A（d，0）點(diǎn)有一個(gè)靜止的中性微粒，由于內(nèi)部作用，

5、某一時(shí)刻突然分裂成兩個(gè)質(zhì)量均為m的帶電微粒，其中電荷量為q的微粒1沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間到達(dá)（0, d）點(diǎn)。不計(jì)重力和分裂后兩微粒間的作用。試求：/0A U.f):Si（1）分裂時(shí)兩個(gè)微粒各自的速度；（2）當(dāng)微粒1到達(dá)（0, d）點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)微粒 1做功的瞬時(shí)功率；（3）當(dāng)微粒1到達(dá)（0, d）點(diǎn)時(shí)，兩微粒間的距離?！窘馕觥浚?）設(shè)分裂時(shí)微粒1的初速度為V1，到達(dá)（0， d）點(diǎn)所用時(shí)間為t。依題 意可知微粒1帶負(fù)電，在電場(chǎng)力的作用下做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，得下列方程： dXd 丄 at32 V由解得J . .-.I根號(hào)外的負(fù)號(hào)表示沿 y軸的負(fù)方向。設(shè)分裂時(shí)另一微粒 2的速度為V2,根據(jù)動(dòng)量守恒

6、定律 二 4一 鼬Ed得（2） 當(dāng)微粒1運(yùn)動(dòng)到B（ 0, d）點(diǎn)時(shí)，速度在 x軸方向上的分量為下士，貝y XX.J 畑lEd由解得二I I：電場(chǎng)力對(duì)它做功的瞬時(shí)功率p qEvE 為（3） 中性微粒分裂時(shí)，根據(jù)電荷守恒定律，微粒2帶等量的正電荷，所受電場(chǎng)力沿 x1 到達(dá) B ( 0, d)軸的正方向，在電場(chǎng)力的作用下也做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)微粒 點(diǎn)時(shí)，微粒2運(yùn)動(dòng)到C （2d, d）點(diǎn)，此時(shí)兩微粒間的距離是BC 価兀麗.2血（二）不計(jì)重力的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)：1、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律:qB qB qB._ a.Mi. 洛倫茲力提供向心力：qvB=m 。-2於2戲 周期（與V

7、、r無(wú)關(guān)）。v qB 2?！吧蟩B 角速度公式：3= T m一 、12 P1 （灑丫 動(dòng)能公式： Ek= - mv = =。2 加 加2、帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)重要幾何關(guān)系 在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)，速度方向的垂線(xiàn)必然經(jīng)過(guò)圓心如圖甲所示。 弦的垂直平分線(xiàn)必然經(jīng)過(guò)圓心，如圖乙所示。 偏向角等于圓心角。如圖丙所示。 圓心角a等于弦切角B的2倍，如圖丁所示。甲乙丁半徑以及偏根據(jù)以上幾何關(guān)系， 可以確定帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、 轉(zhuǎn)角度等。問(wèn)題2、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題：如圖所示，MN、PQ是平行金屬板，板長(zhǎng)為 L,兩板間距離為 d，PQ板帶正電，MN 板帶負(fù)電，在PQ板的上方

8、有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一個(gè)電荷量 q、質(zhì)量為m的帶負(fù)電 粒子以速度vo從MN板邊緣沿平行于板的方向射入兩板間，結(jié)果粒子恰好從PQ板左邊緣飛進(jìn)磁場(chǎng)，然后又恰好從 PQ板的右端飛進(jìn)電場(chǎng)。不計(jì)粒子重力。試求：(1)兩金屬板間所加電壓U的大??；(2)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；K X冥XMXXXXMXBMM-XMKXKXM.X冨X(qián)嚴(yán)Pn-【解析】(1)解法一：如圖所示，設(shè)帶電粒子在平行金屬板勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t，由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)可知：L tvotd t-at22md(聯(lián)立求解式解得: Tj 嚴(yán)Jql?qU丄腫X-mv解法二：設(shè)帶電粒子第一次飛出電場(chǎng)時(shí)的速度為v即由動(dòng)能定理_J行 2mv03d3

9、2 如 2. *U 和聯(lián)立可得丄。(2)解法一：帶電粒子以速度v飛出電場(chǎng)后射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如上圖所示，由口QqvB R Lm & Vysm ()vvy lat聯(lián)立以上有關(guān)方程可得-”解法二：由下列常規(guī)方法求解：1tan cos。芒V心LSU1 ()2R口Qq廿Em R4mvndB 聯(lián)立以上有關(guān)方程式求解可得：:?！痉椒偨Y(jié)】 本題是比較復(fù)雜的題型，涉及到帶電粒子先在勻強(qiáng)電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)后再進(jìn)入單邊有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情形，對(duì)于在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)是容易的，接著進(jìn)入磁場(chǎng)后粒子只在磁場(chǎng)力作用下運(yùn)動(dòng)，審題時(shí)一定要注意題設(shè)條件的解讀。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題解決的辦法比較多，解題時(shí)根據(jù)自己的熟悉程度及題目要求

10、來(lái)靈活選擇處理的方法。變式2:如圖為可測(cè)定比荷的某裝置的簡(jiǎn)化示意圖，在第一象限內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁 場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小E j .: *，在x軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)L=0.50m的P處為粒子的入射 口，在y軸上安放接收器?，F(xiàn)將一帶正電荷的粒子以,#.11 .!.的速度從P處射入磁場(chǎng)，若粒子在y軸上距坐標(biāo)原點(diǎn) L=0.50m的M處被觀測(cè)到，且運(yùn)動(dòng)軌跡半徑恰好最小，設(shè) 帶正電粒子的質(zhì)量為 m,電量為q,不計(jì)其重力。（1）求上述粒子的比荷 匚；（2）如果在上述粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某個(gè)時(shí)刻，在第一象限內(nèi)再加一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)就可使其沿y軸正方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)， 求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向，并求出從粒子射入磁場(chǎng)開(kāi)始

11、計(jì)時(shí)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間加這個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)；（3） 為了在M處觀測(cè)到按題設(shè)條件運(yùn)動(dòng)的上述粒子，第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)可以局限在一 個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)，求此矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積，并在圖中畫(huà)出該矩形。【解析】（1 ）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為r，如圖甲所示，依題意 M、P連線(xiàn)即為該粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的直徑，由幾何關(guān)系得72Lr .2 眾收器X X K X由洛倫茲力提供粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，可得 口/qvB r聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得2制,9加9傀誡5說(shuō)Vc/kg） m（2）設(shè)所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為正方向，依題意，在此時(shí)加入沿 有qE qvBE。如圖乙所示，當(dāng)粒子經(jīng)過(guò) x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，Q點(diǎn)時(shí)，速度方向

12、沿 電場(chǎng)力與此時(shí)的洛倫茲力平衡,接收雑XXXyXXXT X XO Lj!代入數(shù)據(jù)得E tfON/C所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向沿 x軸正方向。 設(shè)帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，由幾何關(guān)系可知，圓弧PQ所對(duì)應(yīng)的圓心角為 所求時(shí)間為t,則有t 乙人射口2 aT亡v聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得. MM 1P1P，該區(qū)域面積XX /X（3）如圖丙所示，所求的最小矩形是X沁用K 蓋 二 f 0 XI -*A*Tx丙人射【1聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得S 40.25m3矩形如圖丙中 MM iPiP （虛線(xiàn)）所示。（三）帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)：1. 高中階段所說(shuō)的復(fù)合場(chǎng)有四種組合形式：電場(chǎng)與磁場(chǎng)的組合；磁場(chǎng)與重力場(chǎng)的組合；電場(chǎng)與重力場(chǎng)

13、的組合；電場(chǎng)、磁場(chǎng)與重力場(chǎng)的組合，每一種又可分為重疊式和分立式組合。2. 帶電粒子所受三種場(chǎng)力的特征(1) 洛倫茲力的大小跟速度與磁場(chǎng)方向的夾角有關(guān)，當(dāng)帶電粒子的速度與磁場(chǎng)方向平行時(shí)，f洛=0;當(dāng)帶電粒子的速度與磁場(chǎng)方向垂直時(shí)，f洛=qvB。洛倫茲力的方向垂直于速度v和磁感應(yīng)強(qiáng)度B所決定的平面，無(wú)論帶電粒子做什么運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力都不做功。(2) 電場(chǎng)力的大小為 qE,方向與電場(chǎng)強(qiáng)度 E的方向及帶電粒子所帶電荷的性質(zhì)有關(guān)。電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)， 其數(shù)值除與帶電粒子的電荷量有關(guān)外，還與其始末位置的電勢(shì)差有關(guān)。(3) 重力的大小為mg,方向豎直向下，重力做功與路徑無(wú)關(guān)，其數(shù)值除與帶電粒子的 質(zhì)量有關(guān)外

14、，還與其始末位置的高度差有關(guān)。注意：微觀粒子(如電子、質(zhì)子、離子)一般都不計(jì)重力。對(duì)帶電小球、液滴、金 屬塊等實(shí)際的物體， 沒(méi)有特殊交代時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮其重力。對(duì)未知名的、題中又未明確交代的帶電粒子，是否考慮其重力，則應(yīng)根據(jù)題給物理過(guò)程及隱含條件，具體分析后作出符合實(shí)際的判斷。3. 帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)取決于帶電粒子所受的合外力及初速度，因此應(yīng)把帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析。當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中所受的合外力為0時(shí)，帶電粒子做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng) (如速度選擇器)；當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)， 則除所受的洛倫茲力外，其他力的合力應(yīng)為零或大小不變、方向沿圓的半徑，例如一帶正電

15、的粒子在一負(fù)點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)4. 帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的分析方法(1) 當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)根據(jù)平衡條件列方程求解。(2) 當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往應(yīng)用牛頓第二定律和平衡條件列 方程聯(lián)立求解。(3) 當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做非勻速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)選用動(dòng)能定理或動(dòng)量守恒定律列 方程求解。注意：如果涉及兩個(gè)帶電粒子的碰撞問(wèn)題，要根據(jù)動(dòng)量守恒定律列方程，再與其他方程聯(lián)立求解。由于帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的受力情況復(fù)雜，運(yùn)動(dòng)情況多變，往往出現(xiàn)臨界問(wèn)題， 這時(shí)應(yīng)以題目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等詞語(yǔ)為突破口，挖掘隱含條件，并 根據(jù)臨界條件

16、列出輔助方程，再與其他方程聯(lián)立求解。對(duì)于帶電粒子連續(xù)通過(guò)不同場(chǎng)的問(wèn)題，要注意在通過(guò)場(chǎng)邊界時(shí)的條件，如速度關(guān)系、幾何角度關(guān)系等。問(wèn)題3、帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題：在磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為 m、帶正電量為q的小球在O點(diǎn)靜止 釋放，小球的運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)如圖所示。已知此曲線(xiàn)在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍，重力加速度為 g，求：XXXXXXXXX1 X x x x X xX x X XXXxXx x X XX X(1) 小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P (x， y)處的速率v。(2) 小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中第一次下降的最大距離ym。E（E鄴（3）當(dāng)在上述磁場(chǎng)中加一豎直向上場(chǎng)強(qiáng)為-I的勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)

17、，小球從0點(diǎn)靜止釋放后獲得的最大速率?！窘馕觥浚? ）洛倫茲力不做功，由動(dòng)能定理得，1 22得（2）設(shè)在最大距離；二處的速率為，壬，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)有R且由知R2畑得y由及（3）小球運(yùn)動(dòng)如圖所示，由動(dòng)能定理得（qE舫唱）|打二血叮由圓周運(yùn)動(dòng)2-解得K （qE 砸）且由及一解得 ：?！痉椒偨Y(jié)】帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的解決方法是：（1）確定研究對(duì)象，受力分析，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析，（ 2）可以用力的平衡或動(dòng)力學(xué)規(guī)律解決問(wèn)題，也可以用 能量轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)解決問(wèn)題。（3） 一般情況下用能量觀點(diǎn)顯示得非常簡(jiǎn)捷，特別是帶電粒子 受變力作用而又做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須借助于功能關(guān)系進(jìn)行過(guò)程處理。變式3:如圖所示，輕彈簧一端連于固定點(diǎn)0,可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端連接一帶電小球P，其質(zhì)量二，電荷量q=0.2C，將彈簧拉至水平后，以初速度v=20m/s豎直向下射出小球P，小球P到達(dá)0點(diǎn)的正下方點(diǎn)時(shí)速度恰好水平，其大小