人教版高二數(shù)學(xué)推理與證明解讀

1、推理與證明解讀 內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)容結(jié)構(gòu) 推理與證明推理與證明 合情推理合情推理 演繹推理演繹推理 歸納歸納 類比類比 直接證明直接證明 間接證明間接證明 綜合法綜合法 分析法分析法 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 反證法反證法 思維方法思維方法 數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)文化 推理推理 證明證明 考試大綱考試大綱 2、能力要求、能力要求 （1）思維能力：會對問題或資料進(jìn)行觀察、比較、分析、）思維能力：會對問題或資料進(jìn)行觀察、比較、分析、 綜合、抽象與概括；會用類比、歸納和演繹進(jìn)行推理；綜合、抽象與概括；會用類比、歸納和演繹進(jìn)行推理； 能合乎邏輯地、準(zhǔn)確地進(jìn)行表述。能合乎邏輯地、準(zhǔn)確地進(jìn)行表述。 數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)，思維能

2、力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)，思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的 核心。數(shù)學(xué)思維能力是以數(shù)學(xué)知識為素材，通過空間想核心。數(shù)學(xué)思維能力是以數(shù)學(xué)知識為素材，通過空間想 象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運算求解、演繹象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運算求解、演繹 證明和模式構(gòu)建諸方面，對客觀事物中的空間形式、數(shù)證明和模式構(gòu)建諸方面，對客觀事物中的空間形式、數(shù) 量關(guān)系和數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和判斷，形成和發(fā)展理性思量關(guān)系和數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和判斷，形成和發(fā)展理性思 維，構(gòu)成數(shù)學(xué)能力的主體。維，構(gòu)成數(shù)學(xué)能力的主體。 （5）創(chuàng)新意識：它是理性思維的最高層次表現(xiàn)。對數(shù)學(xué)問）創(chuàng)新意識：它是理性思維的最高層次表現(xiàn)。

3、對數(shù)學(xué)問 題的題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決，是發(fā)現(xiàn)問題和解決 問題的重要途徑。問題的重要途徑。 推理與證明貫穿于高中數(shù)學(xué)的推理與證明貫穿于高中數(shù)學(xué)的 整個體系，它的學(xué)習(xí)是新課標(biāo)教材整個體系，它的學(xué)習(xí)是新課標(biāo)教材 的一個亮點，是對以前所學(xué)知識與的一個亮點，是對以前所學(xué)知識與 方法的總結(jié)、歸納，并對后繼學(xué)習(xí)方法的總結(jié)、歸納，并對后繼學(xué)習(xí) 起到引領(lǐng)的作用。起到引領(lǐng)的作用。 地位與作用地位與作用 合情推理合情推理 合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié) 論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐論（包括定義、公理、定理等

4、）、實驗和實踐 的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié) 果的推理過程。歸納、類比是合情推理常用的果的推理過程。歸納、類比是合情推理常用的 思維方法思維方法。 推理過程為推理過程為: 從具體問從具體問 題出發(fā)題出發(fā) 觀察、分析、觀察、分析、 比較、聯(lián)想比較、聯(lián)想 歸納、歸納、 類比類比 提出提出 猜想猜想 類比類比:由兩類對象具有某些類似特征和其中一由兩類對象具有某些類似特征和其中一 類對象的某些已知特征類對象的某些已知特征,推出另一類也具推出另一類也具 有這些特征的推理有這些特征的推理。 歸納歸納: 由某類事物的部分對象具有某些特征由某類事物的部分對象

5、具有某些特征, 推出該類事物的全部對象都具有這些特推出該類事物的全部對象都具有這些特 征的推理征的推理, 或者由個別事實概括出一般結(jié)或者由個別事實概括出一般結(jié) 論的推理。論的推理。 歸納是部分到整體、個別到一般的推理。歸納是部分到整體、個別到一般的推理。 類比是特殊到特殊的推理。類比是特殊到特殊的推理。 類比角度類比角度實數(shù)的加法實數(shù)的加法實數(shù)的乘法實數(shù)的乘法 運算結(jié)果 運算律 (交換律 和結(jié)合律) 逆運算 加法的逆運算是減法, 使得方程 有唯一解 乘法的逆運算是除 法,使得方程 有唯一解 單位元 rba rba 則 ，若 , rab rba 則 ，若 , )()(cbacba abba )(

6、)(bcacab baab 0 xa ax 1ax )0( 1 a a x其中 aa0aa1 例：類比實數(shù)的加法和乘法例：類比實數(shù)的加法和乘法,列出它們相似的運算性質(zhì)。列出它們相似的運算性質(zhì)。 l 演繹推理演繹推理 演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的 結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照 嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。 例例 大前提大前提:馬有四條腿馬有四條腿; 小前提小前提:白馬是馬白馬是馬; 結(jié)論結(jié)論:白馬有四條腿白馬有四條腿. 它是從一般到特殊的推理它是從一般到特殊的推理.演繹推理

7、的主要形式就演繹推理的主要形式就 是由大前提、小前提、推出結(jié)論的三段論式推理是由大前提、小前提、推出結(jié)論的三段論式推理. 用三段論證明用三段論證明 n 1 三段論證明中需注意事項三段論證明中需注意事項: 1、證明過程應(yīng)表述清楚，防止隨心所欲；、證明過程應(yīng)表述清楚，防止隨心所欲； 2、避免大前提、小前提或推理形式之一錯誤，、避免大前提、小前提或推理形式之一錯誤， 而導(dǎo)致結(jié)論錯誤。而導(dǎo)致結(jié)論錯誤。 例：例： 因為所有邊長都相等的凸多邊形是正多邊形，因為所有邊長都相等的凸多邊形是正多邊形， 大前提大前提 而菱形是所有邊長都相等的凸多邊形而菱形是所有邊長都相等的凸多邊形, 小前提小前提 所以菱形是正多

8、邊形所以菱形是正多邊形. 結(jié)論結(jié)論 （1）上面的推理形式正確嗎？）上面的推理形式正確嗎？ （2）推理的結(jié)論正確嗎？為什么？）推理的結(jié)論正確嗎？為什么？ l合情推理與演繹推理的作用合情推理與演繹推理的作用 合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、 探索和提供解決問題的思路和方法的作探索和提供解決問題的思路和方法的作 用；演繹推理則具有證明結(jié)論，整理和用；演繹推理則具有證明結(jié)論，整理和 建構(gòu)知識體系的作用，是公理體系中的建構(gòu)知識體系的作用，是公理體系中的 基本推理方法。基本推理方法。 l合情推理與演繹推理的關(guān)系合情推理與演繹推理的關(guān)系 合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、合情推理和

9、演繹推理之間聯(lián)系緊密、 相輔相成。數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路相輔相成。數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路 等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理；而證明數(shù)等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理；而證明數(shù) 學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系主要通過演繹推學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系主要通過演繹推 理理, ,數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯證數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯證 明來保證，即在前提正確的基礎(chǔ)上，通明來保證，即在前提正確的基礎(chǔ)上，通 過正確使用推理規(guī)則得出結(jié)論。過正確使用推理規(guī)則得出結(jié)論。 課標(biāo)要求課標(biāo)要求 （1）合情推理與演繹推理）合情推理與演繹推理 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn) 行簡單的推理，體會并

10、認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) 中的作用中的作用. 體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本 方法和一般方法，并能運用它們進(jìn)行一些簡單的方法和一般方法，并能運用它們進(jìn)行一些簡單的 推理推理. 了解合情推理與演繹推理的之間的聯(lián)系與差別了解合情推理與演繹推理的之間的聯(lián)系與差別. 二、省教學(xué)指導(dǎo)意見解讀二、省教學(xué)指導(dǎo)意見解讀 （2）直接證明與間接證明）直接證明與間接證明 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合 法；了解分析法與綜合法的思考過程與特點。法；了解分析法與綜合法的思考過程與特

11、點。 了解間接證明的一種基本方法了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法；了解 反證法的思考過程與特點。反證法的思考過程與特點。 （3）數(shù)學(xué)歸納法）數(shù)學(xué)歸納法 (選修選修2-2) 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一 些簡單的數(shù)學(xué)命題。些簡單的數(shù)學(xué)命題。 （4）數(shù)學(xué)文化）數(shù)學(xué)文化 通過對實例的介紹（如歐幾里得通過對實例的介紹（如歐幾里得幾何原本幾何原本、 馬克思馬克思資本論資本論、杰弗遜、杰弗遜獨立宣言獨立宣言、牛頓三、牛頓三 定律），體會公理化思想。定律），體會公理化思想。 介紹計算機在自動推理領(lǐng)域和數(shù)學(xué)證明中的作用。介紹計算機在自動推理領(lǐng)

12、域和數(shù)學(xué)證明中的作用。 基本要基本要 求求 1了解合情推理的含義、結(jié)構(gòu)、和基本類型。了解合情推理的含義、結(jié)構(gòu)、和基本類型。 2結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，了解合情推理的含義結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，了解合情推理的含義 ，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù) 學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。 3結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要 性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進(jìn)行一些簡單推理；性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進(jìn)

13、行一些簡單推理； 4通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。 發(fā)展要 求 1、了解不完全歸納法，并根據(jù)不完全歸納法猜想一些結(jié)論、了解不完全歸納法，并根據(jù)不完全歸納法猜想一些結(jié)論 2、了解一般意義下的類比與歸納、了解一般意義下的類比與歸納 3、能回顧整理一些已學(xué)的典型數(shù)學(xué)結(jié)論、能回顧整理一些已學(xué)的典型數(shù)學(xué)結(jié)論 說 明 類比推理注意避免類比推理注意避免“機械類比機械類比”，即僅從表面相似或偶然相似的情，即僅從表面相似或偶然相似的情 況進(jìn)行類比。導(dǎo)致錯誤。利用合情推理開展一些數(shù)學(xué)探究。況進(jìn)行類比。導(dǎo)致錯誤。利用合情推理開展一些數(shù)學(xué)探

14、究。 省教學(xué)指導(dǎo)意見解讀省教學(xué)指導(dǎo)意見解讀 合情推理與演繹推理 基本基本 要求要求 1了解直接證明的兩種基本方法：分析法了解直接證明的兩種基本方法：分析法 和綜合法；了解分析法與綜合法的思考過和綜合法；了解分析法與綜合法的思考過 程與特點。程與特點。 2了解間接證明的一種基本方法了解間接證明的一種基本方法反證反證 法；了解反證法的思考過程與特點。法；了解反證法的思考過程與特點。 發(fā)展發(fā)展 要求要求 了解綜合法和分析法、比較法、反證法的了解綜合法和分析法、比較法、反證法的 聯(lián)系和區(qū)別，了解放縮法。聯(lián)系和區(qū)別，了解放縮法。 說說 明明 直接證明與間接證明直接證明與間接證明 2 23 3數(shù)學(xué)歸納法數(shù)

15、學(xué)歸納法( (選修選修2-2)2-2) 基本基本 要求要求 1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，了解數(shù)學(xué)歸納法的原理， 2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題 發(fā)展發(fā)展 要求要求 1了解其它數(shù)學(xué)歸納法的原理了解其它數(shù)學(xué)歸納法的原理 2靈活掌握數(shù)學(xué)歸納法在解決較復(fù)雜的與自靈活掌握數(shù)學(xué)歸納法在解決較復(fù)雜的與自 然數(shù)然數(shù)n有關(guān)命題中的應(yīng)用。有關(guān)命題中的應(yīng)用。 說說 明明讓學(xué)生經(jīng)歷讓學(xué)生經(jīng)歷 歸納、猜想、證明的數(shù)學(xué)探究過程歸納、猜想、證明的數(shù)學(xué)探究過程 通過對已學(xué)知識的回顧，進(jìn)一步體通過對已學(xué)知識的回顧，進(jìn)一步體 會合情推理、演繹推理以及二者之間的會合情推理、演繹推理以及二者之

16、間的 聯(lián)系與差異；體會數(shù)學(xué)證明的特點，了聯(lián)系與差異；體會數(shù)學(xué)證明的特點，了 解數(shù)學(xué)證明的基本方法，包括直接證明解數(shù)學(xué)證明的基本方法，包括直接證明 的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納 法）和間接證明的方法（如反證法）；法）和間接證明的方法（如反證法）； 感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及生活中的作用，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及生活中的作用， 養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)習(xí)慣。養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)習(xí)慣。 三、教學(xué)定位三、教學(xué)定位 四、四、課時分配課時分配（13課時）課時） （選修（選修1-2） 2.1.1 合情推理合情推理2課時課時 2.1.2 演繹推理演繹推理3課時課時 2.2.1 綜合法和分析法綜合法和分析

17、法3課時課時 2.2.2 反證法反證法2課時課時 小結(jié)小結(jié)3課時課時 課時分配（課時分配（8課時）課時） （選修（選修2-2） 2.1.1 合情推理合情推理1課時課時 2.1.2 演繹推理演繹推理2課時課時 2.2.11綜合法綜合法1課時課時 2.2.12分析法分析法1課時課時 2.2.2 反證法反證法1課時課時 2.2.3 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法1課時課時 小結(jié)小結(jié)1課時課時 2、重難點確立、重難點確立 2.1節(jié)重點是了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進(jìn)行簡節(jié)重點是了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進(jìn)行簡 單的推理；了解演繹推理的含義，能利用單的推理；了解演繹推理的含義，能利用“三段論三段

18、論”進(jìn)行簡進(jìn)行簡 單的推理。單的推理。 難點是用歸納和類比進(jìn)行推理，作出猜想，用三難點是用歸納和類比進(jìn)行推理，作出猜想，用三 段論作出簡單的推理。段論作出簡單的推理。 2.2節(jié)重點是結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種節(jié)重點是結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種 基本方法基本方法綜合法、分析法，了解間接證明的一種方法綜合法、分析法，了解間接證明的一種方法 反證法；了解綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點。反證法；了解綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點。 難點是根據(jù)問題特點，結(jié)合綜合法、分析法和反證法的思考難點是根據(jù)問題特點，結(jié)合綜合法、分析法和反證法的思考 過程、特點，選擇適

19、當(dāng)?shù)淖C明方法或把不同的證明方法結(jié)合過程、特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法或把不同的證明方法結(jié)合 使用。使用。 歸納推理歸納推理 歸納推理是針對一類事物歸納推理是針對一類事物s而言的，如而言的，如 圖所示：圖所示： s 的部分事物的部分事物a和和b共同具有的某共同具有的某 種特性，是否可以推廣到整個種特性，是否可以推廣到整個s？這就是一？這就是一 個從局部到整體的推理過程。個從局部到整體的推理過程。 3 3、對幾個重要知識板塊教學(xué)思考、對幾個重要知識板塊教學(xué)思考 平面幾何中歸納法平面幾何中歸納法 代數(shù)中的歸納法代數(shù)中的歸納法 怎樣的結(jié)論？由上述具體事實能得出 ， ， ， ， ， 發(fā)現(xiàn)：、觀察下列式子，可

20、以 2 2 2 2 2 52597531 4167531 39531 2431 11 1 么猜想？繼續(xù)試驗，你能得到什 的倍數(shù)，所得的結(jié)果都是， ，、觀察： 24168113 120111481724152 2 222 . , 2 2 , 13 11 公式試猜想這個數(shù)列的通項 中，、在數(shù)列 n n nn a a aaa 4、如圖，在圓內(nèi)畫、如圖，在圓內(nèi)畫1條線段，將圓分割成兩部分；條線段，將圓分割成兩部分； 畫畫2條相交線段，彼此分割成條相交線段，彼此分割成4條線段，將圓分割條線段，將圓分割 成成4部分；畫部分；畫3條線段，彼此最多分割成條線段，彼此最多分割成9條線段，條線段， 將圓最多分割成

21、將圓最多分割成7部分；畫部分；畫4條線段，彼此最多分割成條線段，彼此最多分割成 16條線段，將圓最多分割成條線段，將圓最多分割成11部分。那么部分。那么 （1）在圓內(nèi)畫）在圓內(nèi)畫5條線段，它們彼此最多分割成多少條線段，它們彼此最多分割成多少 條線段，將圓最多分割成多少部分？條線段，將圓最多分割成多少部分？ （2）猜想：圓內(nèi)兩兩相交的）猜想：圓內(nèi)兩兩相交的n條線段，它們彼此最多條線段，它們彼此最多 分割成多少條線段，將圓最多分割成多少部分？分割成多少條線段，將圓最多分割成多少部分？ 類比推理類比推理 類比推理是針對的兩類事物，如圖所示，在類比推理是針對的兩類事物，如圖所示，在a和和b兩類事兩類事

22、 物中，物中，a類中有性質(zhì)類中有性質(zhì)p成立，成立，b類中也有性質(zhì)類中也有性質(zhì)p成立，成立，a類中還類中還 有性質(zhì)有性質(zhì)q成立，那么成立，那么b類中是否也具有性質(zhì)類中是否也具有性質(zhì)q成立呢？通過兩成立呢？通過兩 類事物的類比可以對事物的性質(zhì)有更深刻的理解，并且可以類事物的類比可以對事物的性質(zhì)有更深刻的理解，并且可以 幫助進(jìn)行邏輯推理。幫助進(jìn)行邏輯推理。 c a x 2 準(zhǔn)線 實軸實軸 虛軸虛軸 長軸長長軸長2a 短軸長短軸長2b 類比的風(fēng)險類比的風(fēng)險 類比類比 “平面內(nèi)，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形平面內(nèi)，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形” “平面內(nèi)，同時垂直于一條直線的兩條直線互相

23、平行平面內(nèi)，同時垂直于一條直線的兩條直線互相平行” 得到猜想得到猜想 “空間中，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形空間中，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形” “空間中，同時垂直于一條直線的兩條直線互相平行空間中，同時垂直于一條直線的兩條直線互相平行” 類比的風(fēng)險類比的風(fēng)險 直接證明直接證明綜合法綜合法 從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、 公理等出發(fā)，通過一系列的推理論證，公理等出發(fā)，通過一系列的推理論證， 最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論。最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論。 框圖表示：框圖表示： 1 qp 21 qq qqn 32 qq 直接證明直接證明綜合法綜合法 所證結(jié)論所證結(jié)論 直接證明直接證明分析法分析法 從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它 成立的充分條件，直至最后