第11章 狀態(tài)空間模型和卡爾曼濾波s

1、1 上世紀上世紀60年代初，由于工程控制領域的需要，產(chǎn)生了卡年代初，由于工程控制領域的需要，產(chǎn)生了卡 爾曼濾波爾曼濾波 (kalman filtering)。進入。進入70年代初，人們明確提出年代初，人們明確提出 了狀態(tài)空間模型的標準形式，并開始將其應用到經(jīng)濟領域。了狀態(tài)空間模型的標準形式，并開始將其應用到經(jīng)濟領域。 80年代以后，狀態(tài)空間模型已成為一種有力的建模工具。年代以后，狀態(tài)空間模型已成為一種有力的建模工具。許許 多時間序列模型，包括典型的線性回歸模型和多時間序列模型，包括典型的線性回歸模型和arima模型都模型都 能作為特例寫成狀態(tài)空間的形式，并估計參數(shù)值。在計量經(jīng)能作為特例寫成狀態(tài)

2、空間的形式，并估計參數(shù)值。在計量經(jīng) 濟學文獻中，狀態(tài)空間模型被用來估計不可觀測的時間變量：濟學文獻中，狀態(tài)空間模型被用來估計不可觀測的時間變量： 理性預期，測量誤差，長期收入，不可觀測因素（趨勢和循理性預期，測量誤差，長期收入，不可觀測因素（趨勢和循 環(huán)要素）。狀態(tài)空間模型在經(jīng)濟計量學領域其他方面的大量環(huán)要素）。狀態(tài)空間模型在經(jīng)濟計量學領域其他方面的大量 應用請參見應用請參見 harvey（1989）和）和 hamilton（1994） 。 2 狀態(tài)空間模型一般應用于多變量時間序列。設狀態(tài)空間模型一般應用于多變量時間序列。設 yt 是包含是包含 k 個經(jīng)濟變量的個經(jīng)濟變量的 k 1 維可觀測向

3、量。這些變量與維可觀測向量。這些變量與 m 1 維向維向 量量 t 有關有關，。定義。定義“” (measurement equation) 或稱或稱“”(signal equation) 為為 (11.1.1) 其中：其中：t 表示樣本長度，表示樣本長度，zt 表示表示 k m 矩陣矩陣，稱為量測矩陣，稱為量測矩陣， dt 表示表示 k 1 向量，向量，ut 表示表示 k 1 向量，是均值為向量，是均值為0，協(xié)方差矩，協(xié)方差矩 陣為陣為 ht 的連續(xù)的不相關擾動項，即的連續(xù)的不相關擾動項，即 (11.1.2) , ttttt udzytt,2, 1， ttt ehuu)var(0)( 3 一

4、般地，一般地， t 的元素是不可觀測的，然而可表示成一階馬的元素是不可觀測的，然而可表示成一階馬 爾可夫爾可夫(markov)過程。下面定義過程。下面定義(transition equation) 或稱或稱(state equation)為為 (11.1.3) 其中：其中：tt 表示表示 m m 矩陣矩陣，稱為狀態(tài)矩陣稱為狀態(tài)矩陣，ct 表示表示 m 1 向量向量， rt 表示表示 m g 矩陣，矩陣， t 表示表示 g 1 向量，是均值為向量，是均值為0，協(xié)方差矩陣，協(xié)方差矩陣 為為 qt 的連續(xù)的不相關擾動項，即的連續(xù)的不相關擾動項，即 (11.1.4) 量測方程和狀態(tài)方程的擾動項的協(xié)方差

5、矩陣用量測方程和狀態(tài)方程的擾動項的協(xié)方差矩陣用 表示表示 , 1tttttt rct ttt eq)var(0)( tt,2, 1， t t t t q h u 0 0 var 4 量測方程中的矩陣量測方程中的矩陣 zt , dt , ht 與轉(zhuǎn)移方程中的矩陣與轉(zhuǎn)移方程中的矩陣 tt , ct , rt , qt 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為。如不特殊指出，它們都。如不特殊指出，它們都 被假定為非隨機的。因此，盡管它們能隨時間改變，被假定為非隨機的。因此，盡管它們能隨時間改變， 但是都是可以預先確定的。對于任一時刻但是都是可以預先確定的。對于任一時刻 t，yt 能夠被能夠被 表示為當前的和過去的表示為當前的和

6、過去的 ut 和和 t 及初始向量及初始向量 0 的線性組的線性組 合，所以模型是線性的。合，所以模型是線性的。 5 (11.1.9) 其中：其中：e( t )=0，var( t)= 2，cov( t , t-s)=0, 通過定義狀態(tài)向量通過定義狀態(tài)向量 t =( yt , t ) 可以寫成狀態(tài)空間形式可以寫成狀態(tài)空間形式 量測方程量測方程： (11.1.10) 狀態(tài)方程狀態(tài)方程： (11.1.11) 這種形式的特點是不存在量測方程噪聲這種形式的特點是不存在量測方程噪聲。 ， 1 ttt y tt y)0, 1 ( ttt 1 00 10 1 tt,2, 1 6 例例11.2 二階自回歸模型二

7、階自回歸模型ar(2) (11.1.14) 其中：其中：e(ut) = 0，var(ut) = 2，cov(ut , ut-s) = 0, 考慮兩個可能的考慮兩個可能的 狀態(tài)空間形式狀態(tài)空間形式( k=1, m=2 )是是 (11.1.15) (11.1.16) 換一種形式換一種形式 (11.1.17) , tttt uyyy 2211 tt t t t u y y 0 1 0 1 1 2 1 12 tt t t t u y y 0 1 01 1 21 1 tt y)0,1 ( tt y)0,1 ( tt,2, 1 7 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣 zt ，ht ，tt ，rt ，qt 可以依賴于一個可以

8、依賴于一個 的集合。狀態(tài)空間模型的一個主要的任務就是估計這些參數(shù)，的集合。狀態(tài)空間模型的一個主要的任務就是估計這些參數(shù)， 在例在例11.1的的ma(1)模型中的參數(shù)模型中的參數(shù) , 2 和例和例11.2的的ar(2)模型模型 中的參數(shù)中的參數(shù) 1， 2， 2 是未知的，這些參數(shù)將通過是未知的，這些參數(shù)將通過 向量向量 表示，并被稱為表示，并被稱為。超參數(shù)確定了。超參數(shù)確定了 模型的隨機性質(zhì)，在模型的隨機性質(zhì)，在 ct 和和 dt 中出現(xiàn)的參數(shù)僅影響確定性的可中出現(xiàn)的參數(shù)僅影響確定性的可 觀測變量和狀態(tài)的期望值。在狀態(tài)空間模型中可以引入外生觀測變量和狀態(tài)的期望值。在狀態(tài)空間模型中可以引入外生 變

9、量作為解釋變量，也可以引入變量作為解釋變量，也可以引入 yt 的延遲變量，這些都可以的延遲變量，這些都可以 放到放到 dt 中去。如果中去。如果 ct 或或 dt 是未知參數(shù)的一個線性函數(shù)，這些是未知參數(shù)的一個線性函數(shù)，這些 未知參數(shù)也可以作為狀態(tài)變量或者超參數(shù)的一部分元素。未知參數(shù)也可以作為狀態(tài)變量或者超參數(shù)的一部分元素。 8 由于各種各樣的外界沖擊和政策變化等因素的影響，經(jīng)濟由于各種各樣的外界沖擊和政策變化等因素的影響，經(jīng)濟 結(jié)構不斷發(fā)生變化，用結(jié)構不斷發(fā)生變化，用ols等固定參數(shù)模型：等固定參數(shù)模型： 表現(xiàn)不出來這種經(jīng)濟結(jié)構的變化，因此，需要考慮采用表現(xiàn)不出來這種經(jīng)濟結(jié)構的變化，因此，需

10、要考慮采用 (time-varying parameter model)。下面利用狀態(tài)空間模型。下面利用狀態(tài)空間模型 來構造變參數(shù)模型。來構造變參數(shù)模型。 量測方程：量測方程： 狀態(tài)方程：狀態(tài)方程： ),( tt u , 0 0 , 0 0 2 q n ttttt uyzx ttt 1 ， ttt uyxtt,2, 1 tt,2, 1 9 xt 是具有隨機系數(shù)是具有隨機系數(shù) t 的解釋變量的集合，的解釋變量的集合，zt 是有固是有固 定系數(shù)定系數(shù) 的解釋變量集合，隨機系數(shù)向量的解釋變量集合，隨機系數(shù)向量 t 是對應于是對應于 (11.1.1)中的狀態(tài)向量，稱為可變參數(shù)。中的狀態(tài)向量，稱為可變參

11、數(shù)。 。假定變。假定變 參數(shù)參數(shù) t 的變動服從于的變動服從于ar(1) 模型（也可以簡單地擴展為模型（也可以簡單地擴展為 ar(p) 模型），擾動向量模型），擾動向量 ut , t 假定為相互獨立的，且服假定為相互獨立的，且服 從均值為從均值為0，方差為，方差為 2和協(xié)方差矩陣為和協(xié)方差矩陣為 q 的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。 10 當一個模型被表示成狀態(tài)空間形式就可以對其應用當一個模型被表示成狀態(tài)空間形式就可以對其應用 一些重要的算法求解。這些算法的核心是一些重要的算法求解。這些算法的核心是kalman濾波。濾波。 kalman濾波是在時刻濾波是在時刻 t 基于所有可得到的信息計算狀態(tài)基于所有

12、可得到的信息計算狀態(tài) 向量的最理想的遞推過程。向量的最理想的遞推過程。kalman濾波的主要作用是：濾波的主要作用是： 當擾動項和初始狀態(tài)向量服從正態(tài)分布時，能夠通過預測當擾動項和初始狀態(tài)向量服從正態(tài)分布時，能夠通過預測 誤差分解計算似然函數(shù)，從而可以對模型中的所有未知參誤差分解計算似然函數(shù)，從而可以對模型中的所有未知參 數(shù)進行估計，并且當新的觀測值一旦得到，就可以利用數(shù)進行估計，并且當新的觀測值一旦得到，就可以利用 kalman濾波連續(xù)地修正狀態(tài)向量的估計。濾波連續(xù)地修正狀態(tài)向量的估計。 11 以下設以下設 yt 表示在表示在 t = t 時刻所有可利用的信息的信息時刻所有可利用的信息的信息

13、 集合，即集合，即 yt = yt , yt-1 , , y1 。狀態(tài)向量的估計問題根。狀態(tài)向量的估計問題根 據(jù)信息的多少分為據(jù)信息的多少分為3種類型：種類型： (1) 當當 t t 時，超出樣本的觀測區(qū)間，是對未來狀態(tài)時，超出樣本的觀測區(qū)間，是對未來狀態(tài) 的估計問題，稱為的估計問題，稱為； (2) 當當 t = t 時，估計觀測區(qū)間的最終時點，即對現(xiàn)在時，估計觀測區(qū)間的最終時點，即對現(xiàn)在 狀態(tài)的估計問題，稱為狀態(tài)的估計問題，稱為； (3) 當當 t t 時，是基于利用現(xiàn)在為止的觀測值對過去時，是基于利用現(xiàn)在為止的觀測值對過去 狀態(tài)的估計問題，稱為狀態(tài)的估計問題，稱為。 12 進一步，假定進一

14、步，假定 at t-1 和和 pt t-1 分別表示以利用到分別表示以利用到 t-1 為止為止 的信息集合的信息集合 yt-1 為條件的狀態(tài)向量為條件的狀態(tài)向量 t 的條件均值和條件誤的條件均值和條件誤 差協(xié)方差矩陣，即差協(xié)方差矩陣，即 在本節(jié)假定系統(tǒng)矩陣在本節(jié)假定系統(tǒng)矩陣 zt , ht , tt , rt 和和 qt 是已知的，設是已知的，設 初始狀態(tài)向量初始狀態(tài)向量 0 的均值和誤差協(xié)方差矩陣的初值為的均值和誤差協(xié)方差矩陣的初值為 a0 和和 p0，并假定，并假定 a0 和和 p0 也是已知的。也是已知的。 )( 11 tttt eya )var( 11 tttt yp 13 考慮狀態(tài)空

15、間模型考慮狀態(tài)空間模型(11.1.1)和和(11.1.3)，設，設 ，也是基于信息集合，也是基于信息集合 yt-1 的的 t-1 的的， pt-1 表示估計誤差的表示估計誤差的 m m 協(xié)方差矩陣，即協(xié)方差矩陣，即 (11.2.1) )( 11111 ttttt eaap 14 當給定當給定 at-1 和和 pt-1 時，時， t 的條件分布的均值由下式給定，的條件分布的均值由下式給定， 即即 (11.2.2) 在擾動項和初始狀態(tài)向量服從正態(tài)分布的假設下，在擾動項和初始狀態(tài)向量服從正態(tài)分布的假設下， t 的的 條件分布的均值條件分布的均值 at t-1 是是 t 在最小均方誤差意義下的一個最在

16、最小均方誤差意義下的一個最 優(yōu)估計量。估計誤差的協(xié)方差矩陣是優(yōu)估計量。估計誤差的協(xié)方差矩陣是 (11.2.3) 。 ttttt ct 11 aa tttttttt rqrtptp 11 15 一旦得到新的預測值一旦得到新的預測值 yt ，就能夠修正，就能夠修正 t 的估計的估計 at t -1， (11.2.4) 和和 (11.2.5) 其中其中 (11.2.6) 上述上述 )( 1 1 11tttttttttttt dzyfzp aaa 1 1 11 tttttttttt pzfzppp tttttt hzpzf 1 tt,2, 1 16 給出一步向前狀態(tài)條件均值，我們還可以得到給出一步向前

17、狀態(tài)條件均值，我們還可以得到 ： （11.23） 一步向前預測誤差可以通過下面的公式得到：一步向前預測誤差可以通過下面的公式得到： （11.24） 預測誤差的方差被定義為；預測誤差的方差被定義為； （11.25） tt ttttttttt eedzyyy 1111 a)a()( ， ttttttt hzpzvf 1 )var( ,)a( ttttttttt uzyyv 11 tt,2, 1 tt,2, 1 17 kalman濾波的初值可以按濾波的初值可以按 a0 和和 p0 或或 a1 0 和和 p1 0 指指 定。這樣，每當?shù)玫揭粋€觀測值時，定。這樣，每當?shù)玫揭粋€觀測值時，kalman濾波提

18、供了濾波提供了 狀態(tài)向量的最優(yōu)估計。當所有的狀態(tài)向量的最優(yōu)估計。當所有的 t 個觀測值都已處理，個觀測值都已處理， kalman濾波基于信息集合濾波基于信息集合 yt ，產(chǎn)生當前狀態(tài)向量和下，產(chǎn)生當前狀態(tài)向量和下 一時間期間狀態(tài)向量的最優(yōu)估計。這個估計包含了產(chǎn)生一時間期間狀態(tài)向量的最優(yōu)估計。這個估計包含了產(chǎn)生 未來狀態(tài)向量和未來觀測值的最優(yōu)預測所需的所有信息。未來狀態(tài)向量和未來觀測值的最優(yōu)預測所需的所有信息。 18 平滑（平滑（smoothing）( t =t-1 , t-2 , , 1 ) (11.2.10) (11.2.11) 其中：其中：at|t , pt|t 是平滑的初值，由是平滑的初

19、值，由kalman濾波最后的迭代濾波最后的迭代 得到。得到。 還可以計算得到還可以計算得到 yt 的平滑估計和協(xié)方差矩陣的平滑估計和協(xié)方差矩陣 )( | 1 1 | 1|tt tttttt tt ttt ctptp aaaa t tttttttttt tt ttt| 1 | 1| 1| 1 1 | 1| )(ptpppptppp tttttt dzya ttttt zpzs 19 如果量測方程如果量測方程(11.1.1)的擾動項和初始狀態(tài)向量服從多的擾動項和初始狀態(tài)向量服從多 元正態(tài)分布，則元正態(tài)分布，則 yt 關于關于 yt-1 的條件分布也是正態(tài)的。且這個的條件分布也是正態(tài)的。且這個 條件

20、分布的均值和協(xié)方差矩陣可以直接由條件分布的均值和協(xié)方差矩陣可以直接由kalman濾波給定。濾波給定。 以信息集以信息集 yt-1 為條件，為條件， t 服從具有均值服從具有均值 at t 1 和協(xié)方差和協(xié)方差 矩陣矩陣 pt t 1 的正態(tài)分布。如果量測方程被寫為的正態(tài)分布。如果量測方程被寫為 (11.2.12) 可以直接看出可以直接看出 yt 的條件分布是正態(tài)的，的條件分布是正態(tài)的，yt 的條件均值記為或，的條件均值記為或， (11.2.13) tttttttttt udzzy )( 11 aa tttttttt edzyy 111 )(a 20 預測誤差向量預測誤差向量 (11.2.14)

21、 誤差協(xié)方差矩陣由式誤差協(xié)方差矩陣由式(11.2.6)的的 ft 給定，即給定，即 (11.2.15) 由后面由后面11.2.2節(jié)的論述可以知道條件均值節(jié)的論述可以知道條件均值 是是 yt 的最的最 小均方誤差意義的最優(yōu)估計量小均方誤差意義的最優(yōu)估計量(mmse)。因此，可以利用式。因此，可以利用式 (11.2.13)，以及，以及kalman濾波公式濾波公式(11.2.2)(11.2.6)，對，對 yt ， t（t = t+1 , t+2 , ）進行預測。）進行預測。 , 1 tttt yyvtt,2, 1 , 1tttttt hzpzf tt,2, 1 1 tt y 21 當量測方程和轉(zhuǎn)移方

22、程的擾動項是相關的時候，需要修改當量測方程和轉(zhuǎn)移方程的擾動項是相關的時候，需要修改 kalman濾波?？紤]具有量測方程和轉(zhuǎn)移方程的狀態(tài)空間形式濾波?？紤]具有量測方程和轉(zhuǎn)移方程的狀態(tài)空間形式 (11.2.26) (11.2.27) 假設假設 (11.2.28) 其中其中 gt 是已知的是已知的 g k 矩陣。量測方程和狀態(tài)方程的擾動項的矩陣。量測方程和狀態(tài)方程的擾動項的 協(xié)方差矩陣用協(xié)方差矩陣用 表示表示 ttttt udzy , 1tttttt rct tt,2, 1 st st e t st , , )( 0 g u tt tt t t qg gh u var 22 注意當量測方程和轉(zhuǎn)移方程

23、的干擾項在同時點相關，注意當量測方程和轉(zhuǎn)移方程的干擾項在同時點相關， 在不同時點不相關時，在不同時點不相關時，kalman濾波中的預測公式濾波中的預測公式(11.2.2)， (11.2.3)不變，更新方程進行如下修改：在不變，更新方程進行如下修改：在 (11.2.4)和式和式 (11.2.5)中矩陣中矩陣 pt t 1zt 變?yōu)樽優(yōu)?pt t 1zt + rt gt ，式，式(11.2.6)變變 為為 (11.2.29) tttttttttttt hzrggrzzpzf 1 23 在在11.2節(jié)討論利用節(jié)討論利用kalman濾波遞推公式求狀態(tài)向量的濾波遞推公式求狀態(tài)向量的 估計量時，假定狀態(tài)空

24、間模型的系統(tǒng)矩陣估計量時，假定狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣 zt , ht , tt , rt 和和 qt 是已知的。但實際上是已知的。但實際上 。例。例 如，在例如，在例11.1的一階移動平均模型的一階移動平均模型ma(1)中中 = ( , 2)， 在例在例11.2的二階自回歸模型的二階自回歸模型ar(2)中中 = ( 1, 2, 2)。超。超 參數(shù)的估計方法參見第參數(shù)的估計方法參見第8章。章。 24 在定義和估計一個狀態(tài)空間模型時，第一步是創(chuàng)建一個狀在定義和估計一個狀態(tài)空間模型時，第一步是創(chuàng)建一個狀 態(tài)空間對象。從主菜單中選擇態(tài)空間對象。從主菜單中選擇objects/new object/ssp

25、ace，或，或 在命令窗口鍵入命令在命令窗口鍵入命令sspace。eviews將創(chuàng)建一個狀態(tài)空間對象，將創(chuàng)建一個狀態(tài)空間對象， 并打開一個空的狀態(tài)空間說明窗口。并打開一個空的狀態(tài)空間說明窗口。 25 有兩種方法定義一個狀態(tài)空間模型，最簡單的方法就有兩種方法定義一個狀態(tài)空間模型，最簡單的方法就 是利用是利用eviews中的中的“自動指定自動指定”功能引導狀態(tài)空間模型的功能引導狀態(tài)空間模型的 標準形式。這種方式只需在狀態(tài)空間過程標準形式。這種方式只需在狀態(tài)空間過程procs中選擇中選擇 define state space功能功能 ，就可以彈出定義對話框，指導創(chuàng)，就可以彈出定義對話框，指導創(chuàng) 建一

26、個狀態(tài)空間的過程。這一方式的詳細介紹見建一個狀態(tài)空間的過程。這一方式的詳細介紹見“自動定自動定 義義”一節(jié)。一節(jié)。 描述狀態(tài)空間模型的更一般方法是使用關鍵字和文本描述狀態(tài)空間模型的更一般方法是使用關鍵字和文本 來描述量測方程、狀態(tài)方程、誤差結(jié)構、初始條件和待估來描述量測方程、狀態(tài)方程、誤差結(jié)構、初始條件和待估 參數(shù)的初值。下面來介紹描述狀態(tài)空間對象的一般語法。參數(shù)的初值。下面來介紹描述狀態(tài)空間對象的一般語法。 26 作為缺省，如果一個方程通過關鍵字作為缺省，如果一個方程通過關鍵字“”來明確定義，或來明確定義，或 沒有用關鍵字，沒有用關鍵字，eviews將把其作為量測方程處理。要注意以下幾點：將

27、把其作為量測方程處理。要注意以下幾點： （1）量測方程的因變量可以包含表達式。）量測方程的因變量可以包含表達式。 （2），包括出現(xiàn)，包括出現(xiàn) 在右端表達式的所有變量。在量測方程中任何滯后量測變量都被看作多在右端表達式的所有變量。在量測方程中任何滯后量測變量都被看作多 步向前預測的預測值看待步向前預測的預測值看待。 （3）。狀態(tài)向量的非線性。狀態(tài)向量的非線性 或存在超前或滯后狀態(tài)變量將導致錯誤的信息?；虼嬖诔盎驕鬆顟B(tài)變量將導致錯誤的信息。 （4）量測方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，也可以是這些元素）量測方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，也可以是這些元素 的非線性形式。的非線性形式。 量測方

28、程可以包含誤差或誤差方差指定的選項，如果方程中不包含量測方程可以包含誤差或誤差方差指定的選項，如果方程中不包含 誤差或誤差方差，方程是確定性的。狀態(tài)空間模型中誤差指定的詳細內(nèi)誤差或誤差方差，方程是確定性的。狀態(tài)空間模型中誤差指定的詳細內(nèi) 容參看后面的容參看后面的“誤差和方差誤差和方差”。 27 下面是有效的量測方程的定義（注：下面量測方程中的下面是有效的量測方程的定義（注：下面量測方程中的sv1, sv2, sv3, sv4是狀態(tài)向量）是狀態(tài)向量） signal y =sv1+sv2*x1+sv3*x2+sv4*y(-1)+var=exp(c(1) log(p)= sv1 + c(1) + c

29、(3)*x + sv2*y z = c(1) + sv1+sv2*x1+sv3*x2 + var=exp(c(2) 下面是不正確的方程的指定：下面是不正確的方程的指定： signal y=sv1*sv2*x1+var=exp(c(1) log(p)=c(1)+c(3)*x+sv1(-1) z = sv1+sv2*x1+ c(3)* z(1)+c(1)+var=exp(c(2) 因為它們至少違背了上面描述條件中的一個條件（其順序是：狀態(tài)向因為它們至少違背了上面描述條件中的一個條件（其順序是：狀態(tài)向 量的非線性、狀態(tài)向量的滯后、量測向量的超前）。量的非線性、狀態(tài)向量的滯后、量測向量的超前）。 28

30、 狀態(tài)方程的定義必須包含關鍵字狀態(tài)方程的定義必須包含關鍵字“”，后面跟隨一個有效的狀，后面跟隨一個有效的狀 態(tài)方程。必須注意以下幾點：態(tài)方程。必須注意以下幾點： (1) 。因。因 為為eviews對狀態(tài)方程不能自動建立工作文件序列。對狀態(tài)方程不能自動建立工作文件序列。 (2) ，或因變量的超前和滯后變量。，或因變量的超前和滯后變量。 (3) 每一個狀態(tài)方程每一個狀態(tài)方程。如果在狀態(tài)方。如果在狀態(tài)方 程中存在狀態(tài)變量的非線性關系、同期、超前或多期滯后將產(chǎn)生錯誤信息。程中存在狀態(tài)變量的非線性關系、同期、超前或多期滯后將產(chǎn)生錯誤信息。 需要強調(diào)的是，在狀態(tài)方程中一期滯后約束條件不是限定的，因為更高階

31、的需要強調(diào)的是，在狀態(tài)方程中一期滯后約束條件不是限定的，因為更高階的 滯后被當作新的狀態(tài)變量。關于這種情況的例子在后面的滯后被當作新的狀態(tài)變量。關于這種情況的例子在后面的ar(2)模型中提供。模型中提供。 (4) 狀態(tài)方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，可以是它們的非線性形式。狀態(tài)方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，可以是它們的非線性形式。 在狀態(tài)方程中還包含誤差或誤差方差指定選項。如果在方程中不包含誤在狀態(tài)方程中還包含誤差或誤差方差指定選項。如果在方程中不包含誤 差或誤差方差，狀態(tài)方程被假定為確定的。關于狀態(tài)空間模型誤差結(jié)構指定差或誤差方差，狀態(tài)方程被假定為確定的。關于狀態(tài)空間模型誤差結(jié)構指定

32、的詳細介紹參看后面的的詳細介紹參看后面的“誤差和方差誤差和方差”。 29 下面兩個狀態(tài)方程定義了一個服從下面兩個狀態(tài)方程定義了一個服從ar(2)過程的不可觀測誤差過程的不可觀測誤差: : state sv1=c(2)*sv1(-1)+c(3)*sv2(-1)+var=exp(c(5) state sv2=sv1(-1) 第一個關于第一個關于sv1的方程，根據(jù)的方程，根據(jù)ar(1)的系數(shù)的系數(shù)c(2)，和，和ar(2)的系數(shù)的系數(shù)c(3)，確，確 定定ar(2)模型的參數(shù)。誤差方差的指定在方框中給出。模型的參數(shù)。誤差方差的指定在方框中給出。sv2的狀態(tài)方程定義為的狀態(tài)方程定義為 變量變量sv1的

33、一步滯后，所以的一步滯后，所以sv2(-1)表示表示sv1的兩步滯后。的兩步滯后。 下面是不正確的狀態(tài)方程：下面是不正確的狀態(tài)方程： state exp(sv1)=sv1(-1)+var=exp(c(3) state sv2=log(sv2(-1)+var=exp(c(3) state sv3=c(1)+c(2)*sv3(-2)+var=exp(c(3) 因為它們至少違背了上面描述條件中的一個條件（其次序是：狀態(tài)方程因為它們至少違背了上面描述條件中的一個條件（其次序是：狀態(tài)方程 因變量是表示式，狀態(tài)變量是非線性的，出現(xiàn)狀態(tài)變量的多期滯后）。因變量是表示式，狀態(tài)變量是非線性的，出現(xiàn)狀態(tài)變量的多期

34、滯后）。 30 在誤差項的處理中，狀態(tài)空間對象方程的指定在某種程度上是唯一在誤差項的處理中，狀態(tài)空間對象方程的指定在某種程度上是唯一 的。的。eviews總是把一個隱含的誤差項加到一個方程或系統(tǒng)對象的各個方總是把一個隱含的誤差項加到一個方程或系統(tǒng)對象的各個方 程中去。但如不特殊指定，狀態(tài)空間量測或狀態(tài)方程中不能包含誤差項。程中去。但如不特殊指定，狀態(tài)空間量測或狀態(tài)方程中不能包含誤差項。 誤差項必須被加到（在方括號中）指定方程的后面。誤差項必須被加到（在方括號中）指定方程的后面。 把一個誤差項加到狀態(tài)空間方程中最簡單的方法是指定誤差項的方把一個誤差項加到狀態(tài)空間方程中最簡單的方法是指定誤差項的方

35、 差。即加一個誤差表達式到已存在的方程中去。差。即加一個誤差表達式到已存在的方程中去。 。 signal y=c(1)+sv1+sv2+var=1 state sv1=sv1(-1)+var=exp(c(2) state sv2=c(3)+c(4)*sv2(-1)+var=exp(c(2)*x) 指定的方差可以是已知常數(shù)值，也可以是包含待估計未知參數(shù)的表指定的方差可以是已知常數(shù)值，也可以是包含待估計未知參數(shù)的表 達式。還可以在方差中使用序列表達式建立時變參數(shù)模型。達式。還可以在方差中使用序列表達式建立時變參數(shù)模型。 31 這種方差的直接指定方法不允許不同方程的誤差之間存在相關關這種方差的直接指

36、定方法不允許不同方程的誤差之間存在相關關 系。作為默認，系。作為默認，eviews假定誤差項之間的協(xié)方差為零。如果指定誤差假定誤差項之間的協(xié)方差為零。如果指定誤差 項間存在相關關系，需要使用項間存在相關關系，需要使用“命名誤差命名誤差”方法指定它們間的關系。方法指定它們間的關系。 “： (1) 首先，必須通過加一個由關鍵字首先，必須通過加一個由關鍵字“”后接等號和變量名后接等號和變量名 的誤差表達式為方程中的殘差序列命名。的誤差表達式為方程中的殘差序列命名。 y =c(1)+sv1*x1+ename=e1 state sv1=sv1(-1)+ename=e2 (2) 其次，需要鍵入由關鍵字其次

37、，需要鍵入由關鍵字“”后接一個誤差的方差或兩后接一個誤差的方差或兩 個誤差之間的協(xié)方差的賦值語句。個誤差之間的協(xié)方差的賦值語句。 evar cov(e1,e2)=c(2) evar var(e1)=exp(c(3) evar var(e2)=exp(c(4)*x 32 可以在單個狀態(tài)空間方程中合并命名誤差和直接方差表達式：可以在單個狀態(tài)空間方程中合并命名誤差和直接方差表達式： state sv1=sv1(-1)+ename=e1,var=exp(c(3) evar cov(e1,e2)=c(4) evar方程的語句結(jié)構可以進行自我辨別。簡單的辨別有：該項方程的語句結(jié)構可以進行自我辨別。簡單的辨

38、別有：該項 是方差還是協(xié)方差，指定誤差，記入方差和協(xié)方差的指定。在每一個是方差還是協(xié)方差，指定誤差，記入方差和協(xié)方差的指定。在每一個 希望指定的命名誤差方差或協(xié)方差之間要分行指定。如果誤差項被命希望指定的命名誤差方差或協(xié)方差之間要分行指定。如果誤差項被命 名，但沒有相應的名，但沒有相應的“var=”或或evar說明，分別地，缺少的方差或協(xié)說明，分別地，缺少的方差或協(xié) 方差的默認值為方差的默認值為“na”或或“0”。 用用 “ename =”語句定義的誤差項只能存在于語句定義的誤差項只能存在于evar賦值語句中，賦值語句中， 而不能直接進入狀態(tài)或量測方程中。而不能直接進入狀態(tài)或量測方程中。 33

39、 設設 y 表示收入，表示收入，yd 表示個人可支配收入，是居民戶在得表示個人可支配收入，是居民戶在得 到政府的轉(zhuǎn)移支付到政府的轉(zhuǎn)移支付(tr)和向政府納稅和向政府納稅(tax)后可用于支出的凈后可用于支出的凈 收入，即收入，即 (11.27) 設稅收在收入中所占的比例為設稅收在收入中所占的比例為 t ，則則 tax=ty，消費函數(shù)消費函數(shù) 可寫為可寫為 (11.28) 式中式中 是自發(fā)消費，是自發(fā)消費，c 是邊際消費傾向，是邊際消費傾向， 。構造。構造 消費方程的變參數(shù)模型，消費方程的變參數(shù)模型， gdpeat 是年度支出法的是年度支出法的gdp，pt 是是 消費價格指數(shù)，消費價格指數(shù)，cs

40、t 是居民消費。是居民消費。 taxtryyd ytcaytcctrccydcc)1 ()1 ( cctrca 34 量測方程：量測方程： (11.29) 狀態(tài)方程：狀態(tài)方程： (11.30) (11.31) 按前面的規(guī)則在空白的文本窗口上直接鍵入如下語句：按前面的規(guī)則在空白的文本窗口上直接鍵入如下語句： signal csp = c(1) + sp1*(1-t)*gdpea/p + var = exp(c(2) state sp1 = c(3)+c(4)*sp1(-1)+ var = exp(c(5) param c(1) 442.7 c(2) 14.48 c(3) 0.155 c(4) 0

41、.82 c(5) 7.53 其中量測方程中的其中量測方程中的 是是c(1)，狀態(tài)方程的一階自回歸的系數(shù)，狀態(tài)方程的一階自回歸的系數(shù) 0， 1 是是 c(3) 和和 c(4) ，模型的方差，模型的方差 u2， 2 由參數(shù)由參數(shù)c(2)，c(5)確定，確定， 方差被限制為參數(shù)的非負函數(shù)，協(xié)方差方差被限制為參數(shù)的非負函數(shù)，協(xié)方差 g = 0。 t t u 2 2 0 0 g g n u , ttttttt upgdpeatcapcs/)(/1 ttt cc 110 a 35 也可以寫成下面的形式，當協(xié)方差也可以寫成下面的形式，當協(xié)方差 g 0 時時, 要這樣寫要這樣寫: signal csp = c

42、(1) + se1*(1- t)*gdpea/p + ename = e1 state se1 = c(3) + c(4)*se1(-1)+ ename = e2 evar var(e1) = exp(c(2) evar var(e2) = exp(c(5) evar cov(e1, e2) = c(6) param c(1) 442.7 c(2) 14.48 c(3) 0.155 c(4) 0.82 c(5) 7.53 c(6) 0.5 36 上例中上例中c(1) , c(2) 的初值可以通過建立回歸方程的初值可以通過建立回歸方程 csp = c(1) + sp1*(1-t)*gdpea/p

43、 確定為確定為c(1)=442.7, 求方程的殘差平方和求方程的殘差平方和(rss/t)作為方差作為方差 的估計值，其對數(shù)為的估計值，其對數(shù)為 c(2)=log(1954144/26)=11.227，根，根 據(jù)經(jīng)驗，狀態(tài)方程的初值據(jù)經(jīng)驗，狀態(tài)方程的初值c(3), c(4), c(5)可先給為可先給為0.1, 0.9, -9。如果不指定。如果不指定eviews將用系數(shù)向量將用系數(shù)向量c的當前值初始化的當前值初始化 所有參數(shù)。所有參數(shù)。 可以通過指定中使用可以通過指定中使用param語句來明確指定合語句來明確指定合 適的參數(shù)值，適的參數(shù)值， 例：例： param c(1) 442.7 c(2) 1

44、1.227 c(3) 0.1 c(4) 0.8 c(5) -8 37 缺省時，缺省時，eviews將自動處置初始條件。對一些平穩(wěn)模將自動處置初始條件。對一些平穩(wěn)模 型，其穩(wěn)定狀態(tài)條件使我們能夠解出型，其穩(wěn)定狀態(tài)條件使我們能夠解出 0 和和 p0 的值。當不的值。當不 能解出初始條件時，能解出初始條件時，eviews將把初始值處理為擴散先驗的，將把初始值處理為擴散先驗的， 設置設置 0 = 0 0，給給 p0 一個任意大的正數(shù)乘單位矩陣代表其值一個任意大的正數(shù)乘單位矩陣代表其值 的不確定性。的不確定性。 可能有可能有 0 和和 p0 的先驗信息，這樣，可以使用關鍵字的先驗信息，這樣，可以使用關鍵

45、字 mprior或或vprior創(chuàng)建一個包含適當值的向量或矩陣。向創(chuàng)建一個包含適當值的向量或矩陣。向 量對象的長度必須與狀態(tài)空間的維數(shù)相匹配。其元素的順量對象的長度必須與狀態(tài)空間的維數(shù)相匹配。其元素的順 序要與指定窗口中狀態(tài)向量的順序相一致。序要與指定窗口中狀態(tài)向量的順序相一致。 mprior v1 vprior m1 38 為了幫助創(chuàng)建一個狀態(tài)空間模型，為了幫助創(chuàng)建一個狀態(tài)空間模型，eviews提供了一個提供了一個“自自 動指定動指定”工具欄，可以在對話框中為模型創(chuàng)建一個文本表示。工具欄，可以在對話框中為模型創(chuàng)建一個文本表示。 如果模型是具有固定參數(shù)、遞歸參數(shù)、及不同的隨機系數(shù)，或如果模型是

46、具有固定參數(shù)、遞歸參數(shù)、及不同的隨機系數(shù)，或 者誤差項有一般者誤差項有一般arma結(jié)構的標準回歸模型，這個工具是非常結(jié)構的標準回歸模型，這個工具是非常 有用的。有用的。 在狀態(tài)空間過程在狀態(tài)空間過程 procs 中，選擇中，選擇procs/define state space。 eviews將打開一個三標簽的對話框。將打開一個三標簽的對話框。 第一個標簽對話框第一個標簽對話框 basic regression 被用來描述模型的基被用來描述模型的基 本回歸部分。鍵入因變量和帶有固定或遞歸系數(shù)的回歸變量。本回歸部分。鍵入因變量和帶有固定或遞歸系數(shù)的回歸變量。 在建立指定時在建立指定時eviews使

47、用系數(shù)對象代表未知參數(shù)。在底部，可使用系數(shù)對象代表未知參數(shù)。在底部，可 以指定誤差項一個以指定誤差項一個arma結(jié)構。在這里，我們?yōu)樯厦娴睦又附Y(jié)構。在這里，我們?yōu)樯厦娴睦又?定一個說明。定一個說明。 39 40 第二個標簽對話框第二個標簽對話框stochastic regressors被用來加帶有隨被用來加帶有隨 機系數(shù)的回歸變量。在四個編輯區(qū)域中鍵入合適的回歸變量。機系數(shù)的回歸變量。在四個編輯區(qū)域中鍵入合適的回歸變量。 eviews允許定義具有如下五項組合的回歸變量：無系數(shù)、固允許定義具有如下五項組合的回歸變量：無系數(shù)、固 定均值系數(shù)、定均值系數(shù)、ar(1)系數(shù)、隨機游動系數(shù)、帶有漂移的

48、隨機游系數(shù)、隨機游動系數(shù)、帶有漂移的隨機游 動系數(shù)。例動系數(shù)。例11.3是是ar(1)系數(shù)的形式。系數(shù)的形式。 41 最后，最后， eviews允許選擇狀態(tài)空間模型的基本方差結(jié)構。點允許選擇狀態(tài)空間模型的基本方差結(jié)構。點 擊第三個標簽對話框擊第三個標簽對話框variance specification， 為量測方程或狀態(tài)為量測方程或狀態(tài) 方程選擇方差矩陣類型：單位矩陣（方程選擇方差矩陣類型：單位矩陣（identity）、共同對角矩陣）、共同對角矩陣 （common diagonal，對角元素是共同的方差）、一般對角矩陣，對角元素是共同的方差）、一般對角矩陣 （diagonal）、無限制矩陣（）

49、、無限制矩陣（unrestricted）。對話框還允許為）。對話框還允許為 量測方程和狀態(tài)方程選擇非零的誤差協(xié)方差陣。量測方程和狀態(tài)方程選擇非零的誤差協(xié)方差陣。 42 一旦已經(jīng)指定了一個狀態(tài)空間模型，并且驗證模型定義一旦已經(jīng)指定了一個狀態(tài)空間模型，并且驗證模型定義 是正確的，打開估計對話框估計模型，點擊工具菜單的是正確的，打開估計對話框估計模型，點擊工具菜單的 esimate按鈕或者選擇按鈕或者選擇procs/estimate。 43 在選擇各選項并點擊在選擇各選項并點擊ok以后，以后，eviews在狀態(tài)空間窗口在狀態(tài)空間窗口顯顯 示協(xié)方差示協(xié)方差 g = 0 時的估計結(jié)果時的估計結(jié)果(方程記

50、為方程記為csp_1): 44 協(xié)方差協(xié)方差 g 0 時的估計結(jié)果時的估計結(jié)果(方程記為方程記為csp_2): 45 eviews提供了一系列專門的工具用來指定和檢提供了一系列專門的工具用來指定和檢 驗狀態(tài)空間模型。與其他的估計對象相比較，狀態(tài)驗狀態(tài)空間模型。與其他的估計對象相比較，狀態(tài) 空間對象提供了附加的視窗和過程來檢驗估計結(jié)果，空間對象提供了附加的視窗和過程來檢驗估計結(jié)果， 處理推斷和指定檢驗，并且提取結(jié)果到其他處理推斷和指定檢驗，并且提取結(jié)果到其他eviews 對象中去。對象中去。 46 狀態(tài)空間模型是比狀態(tài)空間模型是比 較復雜的。為了幫助檢驗模型定義，較復雜的。為了幫助檢驗模型定義，

51、eviews提供了視窗功提供了視窗功 能，允許在交互方式下查看模型文本定義，系數(shù)和協(xié)方差能，允許在交互方式下查看模型文本定義，系數(shù)和協(xié)方差 定義。點擊定義。點擊view菜單選擇菜單選擇specification，不管狀態(tài)空間，不管狀態(tài)空間 模型是否被估計，下面的指定窗口都可以被使用。模型是否被估計，下面的指定窗口都可以被使用。 47 48 注意，除了注意，除了label和模型定義（和模型定義（specification）視窗之）視窗之 外，其余的視窗只有在狀態(tài)空間模型被正確估計的情況下外，其余的視窗只有在狀態(tài)空間模型被正確估計的情況下 才可以使用。才可以使用。 49 當點擊當點擊view/si

52、gnal views，eviews顯示一個包含視窗顯示一個包含視窗 選擇的次級菜單。選擇的次級菜單。 graph signal series，可以打開一個對話框，選擇顯，可以打開一個對話框，選擇顯 示結(jié)果。示結(jié)果。 50 為了檢驗不可觀測的狀態(tài)變量，點擊為了檢驗不可觀測的狀態(tài)變量，點擊 view/state views 顯示狀態(tài)方程子菜單。顯示狀態(tài)方程子菜單。 graph state series菜單，顯示包含狀態(tài)向量信息選項菜單，顯示包含狀態(tài)向量信息選項 的對話框。的對話框。 51 可以使用可以使用eviews過程創(chuàng)建、估計、預測狀態(tài)空間模型和過程創(chuàng)建、估計、預測狀態(tài)空間模型和 從指定的狀態(tài)

53、空間模型生成數(shù)據(jù)。從指定的狀態(tài)空間模型生成數(shù)據(jù)。 （make endogenous group） （make gradient group） （make kalman filter） （make model） （update coefs from sspace） 52 53 我們分別利用動態(tài)預測，平滑預測和我們分別利用動態(tài)預測，平滑預測和1期期(n=1)向前預測三種方法在期間向前預測三種方法在期間 1978至至2003對對csp進行擬合，分別得到預測結(jié)果進行擬合，分別得到預測結(jié)果cspf_2_d、cspf_2_s、 cspf_2_1。下面是。下面是3個預測值和實際值個預測值和實際值y畫在一起的

54、圖形，可以看出動態(tài)預畫在一起的圖形，可以看出動態(tài)預 測測cspf_2_d和平滑預測和平滑預測cspf_2_s的結(jié)果重合了。的結(jié)果重合了。1期向前預測期向前預測cspf_2_1與與 實際值接近。實際值接近。 54 eviews允許創(chuàng)建序列保存各種量測變量的計算結(jié)果。只需點擊菜單就可允許創(chuàng)建序列保存各種量測變量的計算結(jié)果。只需點擊菜單就可 進入顯示結(jié)果對話框。進入顯示結(jié)果對話框。 可以選擇一步向前預測量測變量可以選擇一步向前預測量測變量 ，一步預測殘差，一步預測殘差 ，平滑量測，平滑量測 變量或量測方程擾動項估計變量或量測方程擾動項估計 或或 。eviews還允許存儲這些變量的相應的還允許存儲這些

55、變量的相應的 標準誤差（標準誤差（ ft t-1 、st 和和 對角線元素的平方根），或一步預測殘差和平滑對角線元素的平方根），或一步預測殘差和平滑 擾動項擾動項 和和 。 1tt y 1tt u t y t u t 1tt e t e 55 選擇一步向前預測量測變量選擇一步向前預測量測變量 ，則，則eviews將在工作文件將在工作文件 中用名為中用名為cspf的序列來存儲。點擊的序列來存儲。點擊csp和和cspf_2 ，建立組，可，建立組，可 以通過畫圖觀察以通過畫圖觀察csp的模擬情況：的模擬情況： 可以在編輯區(qū)通過一列變量或通配符給序列命名，生成一組可以在編輯區(qū)通過一列變量或通配符給序列

56、命名，生成一組 量測變量序列。當量測方程變量是表達式時，量測變量序列。當量測方程變量是表達式時，eviews將只輸出整將只輸出整 個表達式的結(jié)果。個表達式的結(jié)果。 1 tt y 56 打開一個對話框保存各種狀態(tài)變量的計算結(jié)果。打開一個對話框保存各種狀態(tài)變量的計算結(jié)果。 可以選擇存儲一步向前預測狀態(tài)變量估計結(jié)果可以選擇存儲一步向前預測狀態(tài)變量估計結(jié)果 at t 1 ，濾波濾波 狀態(tài)變量均值狀態(tài)變量均值 at ，平滑狀態(tài)變量平滑狀態(tài)變量 ，狀態(tài)變量擾動項，狀態(tài)變量擾動項 ，標準，標準 化的狀態(tài)擾動項，或相應的標準誤差序列化的狀態(tài)擾動項，或相應的標準誤差序列( (pt t 1 , , pt , ,

57、pt t 和和 對角線元素的平方根）。對角線元素的平方根）。 t t t 57 選擇存儲一步向前預測選擇存儲一步向前預測 狀態(tài)變量估計結(jié)果狀態(tài)變量估計結(jié)果 at t 1 ， 則消費模型中邊際消費傾則消費模型中邊際消費傾 向的變參數(shù)向的變參數(shù) t ，即狀態(tài)變即狀態(tài)變 量量se1，用，用se1f的名字存的名字存 儲在工作區(qū)里。畫圖如下。儲在工作區(qū)里。畫圖如下。 可以看到可以看到1978年以來按可年以來按可 比價格計算的我國居民邊比價格計算的我國居民邊 際消費傾向變化很大，在際消費傾向變化很大，在 0.4566 0.5714之間變動，之間變動， 收入每增加收入每增加100億元，將有億元，將有 45.

58、6657.14億元被用于居億元被用于居 民消費。民消費。pt 是以是以1978年為年為1 的年度居民消費價格指數(shù)。的年度居民消費價格指數(shù)。 58 采用量測方程和狀態(tài)方程協(xié)方差采用量測方程和狀態(tài)方程協(xié)方差 g 0 的模型的模型: 量測方程：量測方程： (11.4.5) 狀態(tài)方程：狀態(tài)方程： (11.4.6) r2=0.997 d.w.=1.73 從邊際消費傾向從邊際消費傾向 ct 的曲線圖，可以看到的曲線圖，可以看到1978年以來按年以來按 可比價格計算的我國居民邊際消費傾向變化很大，大約在可比價格計算的我國居民邊際消費傾向變化很大，大約在 0.4566 0.5714之間變動。收入每增加之間變動

59、。收入每增加100億元，將大約有億元，將大約有 4657億元被用于居民消費。并且在億元被用于居民消費。并且在1986年達到高峰，年達到高峰，1990 年年1995年出現(xiàn)了大幅的下降，年出現(xiàn)了大幅的下降，1995年達到谷底。年達到谷底。 ttttttt upgdptcpcs/)(./187478 ttt cc 1 720140. tt,2, 1 59 由于由于eviews5不顯示不顯示r2和和dw統(tǒng)計量的值可以利用公式計算：統(tǒng)計量的值可以利用公式計算： 在過程在過程proc中選擇中選擇make signal series，然后選擇然后選擇one- step-ahead中的中的prediction

60、 residual，存儲一步預測殘差，存儲一步預測殘差 ， 記為記為e_2， e_2_1 = e_2(-1)。還可以檢驗。還可以檢驗e_2是平穩(wěn)的是平穩(wěn)的. scalar tss=sumsq(csp-mean(csp) scalar r2=1-sumsq(e_2)/tss=0.997 scalar dw= sumsq(e_2 -e_2_1) / sumsq(e_2) = 1.52 其中其中sumsq是求序列平方和的函數(shù)是求序列平方和的函數(shù) ， mean是求序列均值的是求序列均值的 函數(shù)。函數(shù)。 1tt u 60 本例選用中國鋼壓延加工業(yè)銷售收入（本例選用中國鋼壓延加工業(yè)銷售收入（steelt）