行列式的計(jì)算方法 畢業(yè)論文

1、行列式的計(jì)算方法摘要 行列式最早是由解線性方程而引進(jìn)的，時(shí)至今日，行列式已不止如此，在許多方面都有廣泛的應(yīng)用。本文，我們學(xué)習(xí)行列式的定義、性質(zhì)，化為“三角形”行列式，利用行列式的性質(zhì)，使行列式化簡或化為“三角形”行列式計(jì)算。利用拉普拉斯展開定理，按某一行(列)或某幾行(列)展開，使行列式降級(jí)，利用范德蒙行列式的計(jì)算公式，利用遞推關(guān)系等，在計(jì)算行列式中最常用的是利用行列式的性質(zhì)，和按某行(列)展開行列式，而某些方法是針對(duì)于某些特殊類型的行列代而言，對(duì)一般的級(jí)行列式的計(jì)算，往往要利用行列式的性質(zhì)和拉普拉斯展開定理，導(dǎo)出一個(gè)遞推公式，化為2級(jí)或3級(jí)行列式，以及化為“三角形”行列式來計(jì)算。關(guān)鍵詞 計(jì)算

2、方法 線性方程組 行列式引 言解方程是代數(shù)中一個(gè)基本問題，特別是在中學(xué)代數(shù)中，解方程占有重要地位。因此這個(gè)問題是讀者所熟悉的。譬如說，如果我們知道了一段導(dǎo)線的電陰r，它的兩端的電位差v，那么通過這段導(dǎo)線的電流強(qiáng)度i，就可以由關(guān)系式，求出來。這就是通常所謂解一元一次方程的問題。在中學(xué)所學(xué)代數(shù)中，我們解過一元、二元、三元以至四元一次方程組。而n元一次方程組，即線性方程組的理論，在數(shù)學(xué)中是基本的也是重要的內(nèi)容。在中學(xué)代數(shù)課中學(xué)過，對(duì)于二元線性方程組：當(dāng)二級(jí)行列式時(shí)，該方程組有唯一解，即，對(duì)于三元線性方程組有相仿的結(jié)論。為了把此結(jié)果推廣到n元線性方程組的情形。我們首先要掌握n級(jí)行列式的相關(guān)知識(shí)。定義

3、n級(jí)行列式等于取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和，這里是的一個(gè)排列，每一項(xiàng)安下列規(guī)則帶有符號(hào)，當(dāng)是偶排列時(shí)，則該項(xiàng)帶正號(hào)，當(dāng)是奇排列時(shí)，則該項(xiàng)帶負(fù)號(hào)。這一定義可以寫成這里表示對(duì)所有n級(jí)排列求和。一 基本理論（一）n級(jí)行列式的性質(zhì)：性質(zhì)1：行列互換，行列式不變。即：性質(zhì)2：一個(gè)數(shù)乘以行列式的某一行，等于該這個(gè)數(shù)乘以此行列式性質(zhì)3：如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這個(gè)行列式除這一行外全與原來行列式的對(duì)應(yīng)的行一樣。性質(zhì)4：如果行列式中有兩行相同，那么行列式為為零。所謂兩行相同就是說兩行的對(duì)應(yīng)元素相等。性質(zhì)5：如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零。性質(zhì)6：把一行的

4、倍數(shù)加到另一行，行列式不變。性質(zhì)7：對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào)。（二） 基本理論1其中為元素代數(shù)余式。2降階定理345非零矩陣k左乘行列式的某一行加到另一行上，則新的分塊行列式與原來相等。（三）幾種特殊行列式的結(jié)果1 三角行列式(上三角行列式)(下三角行列式)2 對(duì)角行列式3對(duì)稱與反對(duì)稱行列式滿足，d稱為對(duì)稱行列式滿足，d稱為反對(duì)稱行列式。若階數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，則d=04二 行列式的計(jì)算（一）定義法例：計(jì)算行列式解：由行列式定義知，且， 所以d的非零項(xiàng)j，只能取2或3，同理由，因而只能取2或3，又因要求各不相同，故項(xiàng)中至少有一個(gè)必須取零，所以d=0。（二）化成三角形行列式法將行列式化為上三

5、角形行列式計(jì)算步驟，如果第一行第一個(gè)元素為零，首先將第一行(或第一列)與其它任一行(或列)交換，使第一行第一個(gè)元素不為零，然后把第一行分別乘以適當(dāng)數(shù)加到其它各行，使第一列除第一個(gè)元素外其余元素全為零，再用同樣的方法處理除去第一行加第一列余下的低階行列式依次做下去，直至是它或?yàn)樯先切涡辛惺剑@時(shí)主對(duì)角線上元素的乘積就是行列式的值。例：計(jì)算行列式解：各行加到第一行中去 例：計(jì)算行列式解：從倒數(shù)第二行(-1)倍加到第n行（三）遞推法例：計(jì)算行列式解：按第一行展開得： (1)按遞推關(guān)系 (2)由(1)式又可推導(dǎo)出：，按逆推關(guān)系得 (3)由(2)(3)解得例：計(jì)算解：計(jì)算 由遂推公式得例：n階范德蒙

6、(vandermonde)行列就是采用遂推來求解。它利用初等變換把轉(zhuǎn)化為遞推關(guān)系式：從而得出。（四）降階法：將行列式的展開定理與行列式性質(zhì)結(jié)合使用，即先利用性質(zhì)將行列式的某一行(或某一列)化成僅含一個(gè)非零元素，然后按此行(列)展開，化成低一階的行列式，如此繼續(xù)下云去，直到化為三階或二階行列式直接計(jì)算出結(jié)果。左邊例：計(jì)算行列式，其中，解： （五）升階法：此法多采用的形式為加邊法。例：計(jì)算行列式，其中in是單位陣，為n維實(shí)列向量，且解：將行列式升為(n+1)階行列式。 (由)（六）分解之和法例：解：左邊=右邊例：解：第2行乘(-1)加到第1行，第3行乘(-1)加到2行，依次行乘(-1)加行最后一行

7、拆成2行 例：計(jì)算行列式解：將左上角的改寫成，于是可以寫成兩個(gè)行列式的和 因關(guān)于與是對(duì)稱的，所以又有由此兩式即可得例：計(jì)算行列式解：將表成兩個(gè)行列式之和 在第二個(gè)行列式中，于第行和第列都提出公因子，再用乘第行加到第行上去，易得得例：計(jì)算行列式：解： 其中例：計(jì)算行列式：解： （七）分解之積法：計(jì)算行列式：解： 例：計(jì)算行列式：證明：例：證明：證明：（八）換元法例：計(jì)算行列式解：把視為中每個(gè)元素加上x所得，因此（九）數(shù)學(xué)歸納法例：證明：當(dāng)時(shí)，命題成立。假設(shè)對(duì)于階行列式命題成立，即則按第1列展開：所以對(duì)于階行列式命題成立。例：計(jì)算行列式解： 猜想：證明：(1)當(dāng)時(shí)驗(yàn)證成立(2)假設(shè)時(shí)成立，即有當(dāng)時(shí)

8、，有 當(dāng)時(shí)成立 猜想成立（十）線性因子法計(jì)算行列式(1) (2)解：(1)由各列加于第一列可見，行列式d可被整除。由第二列加到第一列，并減去第三、四列可見，可被整除，由第三列加于第一列，并減去第二、四列可見，被整除。最后由第四列加于第一列，并減去第二、三列可見，可被整除。我們把視為獨(dú)立未知量，于是上述四個(gè)線性因子式是兩兩互素的，因此，可被它們的乘積整除。此乘積中含有一項(xiàng)：，而中含有一項(xiàng)：所以(2)將行列式的前兩行和兩列分別對(duì)換，得如果以代替，又得原來形式的行列式。因此，如果含有因式，必含有因式，由于當(dāng)時(shí)，有兩列相同，故確有因式，從而含有因式。同理又含有因式，而的展開式中有一項(xiàng)：，從而計(jì)算行列式

9、：解：由階行列式定義知，的展開式是關(guān)于的首項(xiàng)系數(shù)為的次多項(xiàng)式當(dāng)時(shí)，因此有個(gè)互異根0，1、2由因式定理得 故 （十一）輔助行列式法計(jì)算行列式 其中為次數(shù)的數(shù)域f上多項(xiàng)式為f中任意個(gè)數(shù)。解：若中有兩個(gè)數(shù)相等，則若互異，則每個(gè)階行列式 是的線性組合，據(jù)題的次數(shù)因而的次數(shù)但 這說明至少有個(gè)不同的根，故所以即（十二）應(yīng)用范得蒙行列式進(jìn)行計(jì)算例：解：第列提出公因子得再將第1行加于第2行，將新的第2行加于第3行，將新的第行加于第行，得例：解，第行提出公因子得例： 解： 例：計(jì)算行列式解：最后一行依次與前行調(diào)換位置經(jīng)過次,再將第行依次與前行調(diào)換位置共次共經(jīng)過次變換。原式（十三）階循環(huán)行列式算法例：計(jì)算行列式其

10、中解：設(shè)且令的個(gè)根為則由有 利用關(guān)系式 得例:設(shè)都是的可微函數(shù)證明：證明： （十四）有關(guān)矩陣的行列式計(jì)算例：設(shè)a與b為同階方陣：證明：證明：例：設(shè)a為階可逆方陣，、為兩個(gè)維列向量，則證明：例：若階方陣a與b且第列不同。證明：證明：(十五)用構(gòu)造法解行列式例：設(shè)證明：證明：構(gòu)造出多項(xiàng)式： （十六）用加邊法計(jì)算行列式計(jì)算行列式解：將原行列式加邊如下：各列減去第一列，并提出。再在所得的行列式中各行都加到第一行上去，得例：計(jì)算行例式：解：(十七)利用拉普拉斯展開：證明：級(jí)行列式證明：利用拉普拉斯展開定理，按第行展開有： 以上等式右端的級(jí)行列式均為“三角形行列式”。以上主要羅列了行列式的計(jì)算方法，大家要

11、學(xué)會(huì)仔細(xì)觀察行列式，靈活運(yùn)用各種方法計(jì)算行列式，選擇最佳計(jì)算方法。三 用多種方法解題下面用我們運(yùn)用上面的介紹的各種方法，選用多種方法解題。例1、計(jì)算：法1：將第2,3,，n行都加到第1行上去，得再將第一行通乘，然后分別加到第2,3,n行上，得法2：將2,3,n行分別減去第1行得再將第2,3,n列都加到第1列上去，便有待添加的隱藏文字內(nèi)容3法3：將添加一行及一列，構(gòu)成階行列式再將第2,3,n+1分別減去第1行，于是有令在時(shí)，顯然，在時(shí)，則法4：令將右式中第二個(gè)行列式的第2,3,n列全加到第1列上去，再利用laplace展開，所以得例2、求證證：若記，時(shí)，上述等式可簡記為證法一：把第2行乘以，第3

12、行乘以，第行乘以，全部加到第一行，再對(duì)第1行利用拉普拉斯定理展開，注意各項(xiàng)的符號(hào)應(yīng)為，得證。證法二：對(duì)用歸納法當(dāng)時(shí)，命題成立。假設(shè)對(duì)于時(shí)命題成立，那么，當(dāng)左下角單位矩陣為階(即)時(shí)，對(duì)最后一行展開，其中，而按歸納法假設(shè)證畢。證法三：利用分塊矩陣的乘法兩邊取行列式，得在演算一個(gè)問題時(shí)，需要仔細(xì)分析已給的條件，靈活運(yùn)用已經(jīng)知道的性質(zhì)和已經(jīng)掌握的技巧，不要死套公式，這樣就能很快求出答案。參考文獻(xiàn)：1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編.高等代數(shù).北京:高等代數(shù)出版社。2劉學(xué)生,譚欣,王麗燕主編，高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與解題訓(xùn)練.大連:大連理工大學(xué)出版社。3考研筆記.4楊尚驗(yàn),材家壽.高等代數(shù)重要習(xí)題詳

13、解，安徽:安徽省數(shù)學(xué)學(xué)會(huì).1982,3:3540。5石福慶,陳凱,錢輝鏡.線性代數(shù)輔導(dǎo).北京:1985。the calculate method of determinamt (department of mathematics bohai university liaoning jinzhou 121000 china)abstract he ranks are earlast but solved the linear equation and introduced, even to this day. determinant are already net only like this,

14、 there is extensive application in many aspects. we study the definition of determinant, nature, turn” triangle” determinant, in this text. utilize nature of the determinant to be a ranks petrochemical industry or turn “triangle” determinant to calculate, utilize laplaces expansion theorem, launch a

15、ccording to one delegation (arrange) or some several lines (arrange), it is the determinant, that is dernoted, utilize the calculation formula of the vandermoncle determinant, utilize and pass and push the relation to wait, the most frequently used one is to some determinants of special type, to gen

16、eral n and calculation of the determinant, will often utilize nature of the determinant and laplaces expansion theorem, this text one recurrence formula every where, turn 2,3 determinant, turn “triangle” ranks is it calculate to come.keywords the determinant; computing technology; linear equation group.目 錄引言1一 基本理論1（一） n級(jí)行列式的性質(zhì)1