完整2017 2018期末隨機過程試題及答案推薦文檔

1、隨機過程期末考試卷1.設(shè)A,B,C為三個隨機事件，證明條件概率的乘法公式:P(BC A)=P(B A)P(C AB) o1.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為 的泊松分布，則X的特征函數(shù)為2.設(shè)隨機過程X(t)=Acos( t+ )，- t 其中為正常數(shù)，A和是相互獨 立的隨機變量，且A和服從在區(qū)間0,1上的均勻分布，則X(t)的數(shù)學(xué)期望為3. 強度為入的泊松過程的點間間距是相互獨立的隨機變量，且服從均值為 的同一指數(shù)分布。4. 設(shè) Wn,n 1是與泊松過程X(t),t 0對應(yīng)的一個等待時間序列，則 Wn服 從 分布。5. 袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回, t對每一個確定

2、的t對應(yīng)隨機變量X(t) 3te ,如果t時取得紅球，則這個隨機過如果t時取得白球2.設(shè)X(t), t 0是獨立增量過程,且X(0)=0,證明X(t), t 0是一個馬爾科夫 過程。共6頁第1頁共6頁第2頁程的狀態(tài)空間n步轉(zhuǎn)移矩陣P(P(jn)，二者之間6 .設(shè)馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=(Pj)，的關(guān)系為07.設(shè)Xn,n 0為馬氏鏈，狀態(tài)空間I，初始概率PiP(X0=i)，絕對概率Pj(n)P Xn j，n步轉(zhuǎn)移概率pjn),三者之間的關(guān)系為是泊松過程，且對于任意t2 t10則PX(5)6|X(3)43.設(shè)Xn,n 0為馬爾科夫鏈，狀態(tài)空間為I，則對任意整數(shù)n 0,1 l n和 i, j I

3、，n步轉(zhuǎn)移概率p(jn)p(k)py)，稱此式為切普曼一科爾莫哥洛夫方程,p(k)p kTk I9.更新方程K t H t證明并說明其意義。得分評卷人10 .記EXn,對一切atK t s dF s解的一般形式為 00,當(dāng) t 時，M t+a M t、證明題(本大題共4道小題，每題8分，共32 分)4.設(shè)N(t),t 0是強度為的泊松過程，Yk,k=1,2,L是一列獨立同分布隨機變N(t)量，且與 N(t),t 0獨立，令X(t)= 丫k,t 0,證明：若E(Y12v )，則k=12.設(shè)顧客以每分鐘2人的速率到達，顧客流為泊松流，求在 客不超過3人的概率。2分鐘內(nèi)到達的顧E X(t) tE 丫

4、1。得分評卷人三、計算題(本大題共4道小題，每題8分，共32分)3.設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)。 而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為又設(shè)今天下雨；規(guī)定有雨天氣為1.設(shè)齊次馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P1/31/302/301/302/3，求其平穩(wěn)分布。2/3狀態(tài)0,無雨天氣為狀態(tài)1。設(shè) 0.7,0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。共6頁第4頁共6頁第4頁得分評卷人四、簡答題(本題6分)簡述指數(shù)分布的無記憶性與馬爾科夫鏈的無后效性的關(guān)系。4.設(shè)有四個狀態(tài)1= 0,1,2,3的馬氏鏈，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣12 P二 %0(1) 畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖;(2) 對狀

5、態(tài)進行分類;(3) 對狀態(tài)空間I進行分解。共6頁第5頁共6頁第6頁1.為 e (eit-1)2._1(sin( t+1)-sin t)。3. _-4.It, 2lL;e,e2L 。6 . P(n)Pn。337 . Pj(n)Pi pjn)。i I8.18e6tH t K t sdM s 10.01.證明題P(ABC) P(AB)P(AB) P(A)P(C AB)P(BA)=右邊2.證明：當(dāng)0 t1 t2 Ltn t 時,P(X(t) x X(t1)=X1,X(t 2)=X2,L X(tn)=Xn) =P(X(t)-X(t n) X-Xn X(t1)-X(0)=X 1,X(t 2)-X(0)=x

6、 2,L X(t n)-X(0)=X n)=P(X(t)-X(t n) X-Xn)，又因為P(X(t) XX(tn)=Xn)= P(X(t)-X(tn)X-Xn X(tn)=Xn )=P(X(t)-X(t n) X-Xn)，故P(X(t)XX(t1)=X1,X(t 2)=X2,L X(tn)=Xn)= P(X(t) XX(tn)=Xn)3.證明:Pj(n)P X(n)=j|x(0)=iP X(n)=j，uX(l)=k|X(0)=ik IP X(n)=j,X(l)=k X(0)=ik I= P X(l)=k X(0)=i gP X(n)=j X(l)=k,X(0)=ik I移概率可以用較低步數(shù)的

7、轉(zhuǎn)移概率來表示。4.證明：由條件期望的性質(zhì)E X(t) E E X(t) N(t)N(t)E X(t)|N(t) n E Yi| N(t) ni=1n=EY N(t) n =Ei=1nYi =nE(Y1)，所以 E X(t)i=1三.計算題(每題10分,1.解：共 50 分)解方程組解得12.解：設(shè)PPpT，其意義為n步轉(zhuǎn)tE Y,。N(t),t1，即47，故平穩(wěn)分布為是顧客到達數(shù)的泊松過程,N(2)=k翌 e-4，則k!P N(2)=0 +P N(2)=1 +P N(2)=2 +P N(2)=3e-4 4e-4 8e-4 里e-4371 -4 一 e3共6頁第8頁共6頁第8頁3解：由題設(shè)條件,得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=P10兀7，于是Pii 0.4 0.6PPP二 &0.52,四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P0.48p（2）p（2）0.57490.56680.4251,從0.4332共6頁第9頁而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率為Poo 0.5749 04.解：（1）圖略;（2） P331,而P30, P31, P32均為零，所以狀態(tài)3構(gòu)成一個閉集,它是吸收態(tài), 記&= 3 ; 0, 1兩個狀態(tài)互通，且它們不能到達其它狀態(tài)，它們構(gòu)成一個閉集，