天一專(zhuān)升本高數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、第一講函數(shù)、極限、連續(xù)1、基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像，尤其是圖像包含了函數(shù)的所有信息。2、函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性、有界性奇函數(shù):f(-x)=-f(x), 圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。偶函數(shù):f (-X)= f(x), 圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)3、無(wú)窮小量、無(wú)窮大量、階的比較設(shè)a, 3是自變量同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小量，則a(3高階的無(wú)窮小量。(1)若lim 一 = 0，則a是比3則a與3是同階無(wú)窮小量a（2）若 lim = C （不為 0）,3特別地，若lim =1，則3a與3是等價(jià)無(wú)窮小量0的速度快，誰(shuí)就趨向于 0的本領(lǐng)高。a(3)若 lim =3記憶方法：看誰(shuí)趨向于4、兩個(gè)重要極限，貝y a與3是低階無(wú)

2、窮小量sinxX ,（1）lim T X=lim=1XT。si nx使用方法:拼湊lfm*Tm。*=0，一定保證拼湊sin后面和分母保持一致 lim1lim（1+xleXX丿XT。1時(shí)卩Le使用方法1后面一定是一個(gè)無(wú)窮小量并且和指數(shù)互為倒數(shù)，不滿足條件得拼湊。Pn(X)5、lim =X*Qm（X ）,n = mbo0,n V mV-巳(X )的最高次幕是n,Qm(x )的最高次幕是 m.,只比較最高次幕，誰(shuí)的次幕高，誰(shuí)的頭大，趨向于無(wú)窮大的速度n A m,分子以更快的速快。n = m,以相同的比例趨向于無(wú)窮大；n m，分母以更快的速度趨向于無(wú)窮大;度趨向于無(wú)窮大。7、左右極限左極限:lim f

3、 (X) = AX_-右極限:lim f (X) = AX十lim f(X)= A充分必要條件是 lim f (x) = lim f (x) = AX01X0+注：此條件主要應(yīng)用在分段函數(shù)分段點(diǎn)處的極限求解。8連續(xù)、間斷連續(xù)的定義：lim ；y =1四f(X0 + Ax)- f(X0)=0或 lim f(X)= f (x0)x_3X0間斷：使得連續(xù)定義lim f(X)= f (x0)無(wú)法成立的三種情況f (X0)不存在，f(X0)無(wú)意義 lim f (x)不存在X30lim f(X)H f (X0)記憶方法：1、右邊不存在 2、左邊不存在 3、左右都存在，但不相等9、間斷點(diǎn)類(lèi)型(1 )、第二類(lèi)

4、間斷點(diǎn):lim_f(X)、limJ (x)至少有一個(gè)不存在X) 一3X0(2)、第一類(lèi)間斷點(diǎn):lim f(X)、lim f(x)都存在IX)一1X0 +可去間斷點(diǎn):跳躍間斷點(diǎn):lim_f (x)=1X0 lim f (x)1X0-lim f (x)XTX0 十limf (x)1x0，左右只要有一個(gè)不存在，就是第二類(lèi)”然后再判斷是不是第注：在應(yīng)用時(shí)，先判斷是不是“第二類(lèi)間斷點(diǎn)”一類(lèi)間斷點(diǎn)；左右相等是“可去”，左右不等是“跳躍”10、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1) 最值定理：如果 f(x) 在a,b上連續(xù)，則f(X)在Ia,b上必有最大值最小值。(2)E零點(diǎn)定理：如果f(x)在a,b上連續(xù)，且f (

5、a) f (bp： 0，則f(x)在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)1、羅爾定理如果函數(shù)y= f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b I上連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3) f(a)= f (b)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)匕，使得f (匕)=o 記憶方法：腦海里記著一幅圖：t2、拉格朗日定理如果y = f (x)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；匸、f(b)-f(a)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) 匕，使得f () = b a腦海里記著一幅圖:ab(*)推論1 :如果函數(shù) y= f(x) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且廠(口三0, 那么在(a,

6、b)內(nèi)f (x) =c恒為常數(shù)。記憶方法：只有常量函數(shù)在每一點(diǎn)的切線斜率都為o。(*)推論2:如果f (x),g(x)在a,b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，且f(X)三 g(x),x忘(a,b)，那么 f(X)= g(x) + c3、駐點(diǎn)滿足 f(X) =0的點(diǎn)，稱(chēng)為函數(shù) f(x) 的駐點(diǎn)。幾何意義：切線斜率為 0的點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)切線為水平線4、極值的概念設(shè)f(X)在點(diǎn)xo的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)f (x)的極大值，x0稱(chēng)為極大值點(diǎn)。X,有 f (X) 設(shè)f(x)在點(diǎn)Xo的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)V f (xo)，則稱(chēng)f (xo)為函數(shù)f(x) 的極小值，x

7、0稱(chēng)為極小值點(diǎn)。記憶方法：在圖像上，波峰的頂點(diǎn)為極大值，波谷的谷底為極小值。 拐點(diǎn)的概念連續(xù)曲線上，凸的曲線弧與凹的曲線弧的分界點(diǎn)，稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn)。5、6、單調(diào)性的判定定理設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)：0，則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加;如果f (X)C 0，則f (x)在 (a,b) 內(nèi)單調(diào)減少。記憶方法：在圖像上凡是和右手向上趨勢(shì)吻合的，是單調(diào)增加,f(x)0 ；在圖像上凡是和左手向上趨勢(shì)吻合的，是單調(diào)減少,f(x”0 ；7、取得極值的必要條件可導(dǎo)函數(shù)f(X)在點(diǎn)x0處取得極值的必要條件是f (X0)=0取得極值的充分條件 第一充分條件：設(shè)f(X)在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)

8、，且f(X)在x0處連續(xù)，則如果XCX0時(shí)，f(X)A 0; X A X0時(shí)，f(x)v0,那么f(x)在x0處取得極大值fX)；如果xx0時(shí)，f(x)A0，那么f (x)在x0處取得極小值f(x0)；如果在點(diǎn)x0的兩側(cè)，f (X)同號(hào)，那么f(X)在x0處沒(méi)有取得極值;記憶方法：在腦海里只需記三副圖，波峰的頂點(diǎn)為極大值，波谷的谷底為極小值。 第二充分條件：設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)X0的某鄰域內(nèi)具有一階、二階導(dǎo)數(shù)，且f &0)= 0，f (X0)H 0則(1)如果f(x0)v0，那么f (x)在x0處取得極大值f (x0)；(2)如果 f (X。) 0，那么f (x)在x0處取得極小值f (x0)

9、 設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，(1)如果(x) A 0,x忘(a,b)，那么曲線 f(x) 在 (a,b) 內(nèi)凹的;9、凹凸性的判定(2)如果f “(X) 0,x珂a,b)，那么f (x)在(a,b)內(nèi)凸的。10、圖像表現(xiàn):：凸的表現(xiàn)凹的表現(xiàn)漸近線的概念11、0曲線f(x)在伸向無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，能夠逐步逼近的直線，稱(chēng)為曲線的漸近線。垂直漸近線：若存在點(diǎn) x0, lim f(X)=處，則y = f (x)有垂直漸近線x = x。(2)-ax=b，貝y y = ax + b為其斜漸近線。遇到如果遇到幕指函數(shù),需用f(x)蟲(chóng)把函數(shù)變成“ 0”第二講導(dǎo)數(shù)與微分1、導(dǎo)數(shù)的定義2、3、4、(1)

10、、fg 唧 gE/f(X0 7x)f(X0) = O(2)、倫)=,叭3(3)、f(X0)詢(xún) fgg j X - x0注：使用時(shí)務(wù)必保證 Xo后面和分母保持一致，不一致就拼湊。導(dǎo)數(shù)幾何意義：f (X0)在X = X0處切線斜率法線表示垂直于切線，法線斜率與f(xj乘積為一1導(dǎo)數(shù)的公式，記憶的時(shí)候不僅要從左到右記憶，還要從右到左記憶。 求導(dǎo)方法總結(jié)(1 )、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(U 中 V )+ v(U 2)，= U V u叮 _uV-vuIv 丿V2(2)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：y = f b(x )】是由y = f (u)與u = 9(x)復(fù)合而成，則dy dy du=* dx du dx(3 )、隱

11、函數(shù)求導(dǎo)對(duì)于 F(x,y)=O， 遇到y(tǒng),把y當(dāng)成中間變量U,然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法。(4)、參數(shù)方程求導(dǎo)儀_9(t)確定一可導(dǎo)函數(shù)(t)y = f (x)，則dxdydy _ dt _ 9 (t) dx屮址) dtd2ydx2d(dX)dxd(黑dxdtdxdt(5)、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先對(duì)等號(hào)兩邊取對(duì)數(shù)，再對(duì)等號(hào)兩邊分別求導(dǎo) (6 )、幕指函數(shù)求導(dǎo)幕指函數(shù)y =u(x)心，利用公式a =elnaI / X v ( X ) y= elnu(x)v（x） In u（x）e然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法對(duì)指數(shù)單獨(dú)求導(dǎo)即可。先對(duì)等號(hào)兩邊取對(duì)數(shù)，再對(duì)等號(hào)兩邊分別求導(dǎo)第二種方法可使用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,注：優(yōu)選選擇第二種

12、方法。5、高階導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù) f（x） 多次求導(dǎo)，直至求出。6、微分7、dy = y dx記憶方法：微分公式本質(zhì)上就是求導(dǎo)公式，后面加 可微、可導(dǎo)、連續(xù)之間的關(guān)系可微二可導(dǎo)可導(dǎo)=連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)可導(dǎo)與連續(xù)的區(qū)別。腦海里記憶兩幅圖dx，不需要單獨(dú)記憶。2y = X在x=0既連續(xù)又可導(dǎo)。X在x=0只連續(xù)但不可導(dǎo)。所以可導(dǎo)比連續(xù)的要求更高。第四講不定積分、原函數(shù)與不定積分1、原函數(shù)：若F（X）= f（X），則F（X）為f（X）的一個(gè)原函數(shù);2、不定積分：f（X）的所有原函數(shù)F（x）+c叫做f（X）的不定積分，記作J f（x）dx=F（x） +C二、不定積分公式記憶方法：求導(dǎo)公式反著記就是不定積分公

13、式三、不定積分的重要性質(zhì)1、Jfgdx】=f (x)或d Jf(x)dx = f (x)dx2、Jf (x)dx = f(X) + c注：求導(dǎo)與求不定積分互為逆運(yùn)算。四、積分方法1、基本積分公式2、第一換元積分法（湊微分法）把求導(dǎo)公式反著看就是湊微分的方法，所以不需要單獨(dú)記憶。3、第二換元積分法Jax + b,令 t = Jax扁三角代換4 jx22-x22-aVx2 + a2令 X = asint 令 x = asect 令 x = ata nt2 2 2 2三角代換主要使用兩個(gè)三角公式：sin t+ cos t = 1,1 + tan t = sec t4、分部積分法Judv = uv J

14、vdu第五講定積分1、定積分定義ba f (x)dx=歸送 fG工x如果f(x)在a,b】上連續(xù)，則f(x)在a,b上一定可積。理解：既然在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上形成的就是一個(gè)封閉的曲邊梯形，面積存在所以一定可積，因?yàn)?面積是常數(shù)，所以定積分如果可積也是常數(shù)。2、定積分的幾何意義(1)如果f (x)在a,b】上連續(xù)，且f(x)A0，貝y a f(x)dx表示由f(x)，x=a,x=b,x軸所圍成的b曲邊梯形的面積。S= f( x)dx。(2)如果f (x)在a,b 上連續(xù)，且f(X) 0 ,bS= - a f (x)dx。3、定積分的性質(zhì)：bbakf(x)dx = k f(x)dxbbf

15、(x)g(x)dx=.a f(x)dxbcb(1)b (g(x)dx(4)(6)a f(x)dx = f(x)dx+ Cg(x)dxba門(mén)dx=b -a J f(x)dx=0 f(x)dx = - / f (x)dxaaDabb如果 f(X)蘭 g(x)，則 a f (x)dx 蘭(g(x)dx設(shè)m,M分別是f (x)在a,b】的 min, max,貝Um(b - a)b蘭(f (x)dxw M (b a)記憶：小長(zhǎng)方形面積蘭曲邊梯形面積蘭大長(zhǎng)方形面積(7)積分中值定理如果f (x)在a,b】上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)巴a,b】，使得Ja f(x)dx= f(E)(b a)4、5、6、7、記憶：總

16、可以找到一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢茫淹钩鰜?lái)的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲邊梯形變 成一個(gè)長(zhǎng)方形。稱(chēng) 一F f (x)dx為f (x)在a,bI上的平均值。 b-a a積分的計(jì)算(1)、變上限的定積分X(a f(t)dt) f(x)x注：由此可看出來(lái) 9(X)= a f (t)dt是f (x)的一個(gè)原函數(shù)。而且變上限的定積分的自變量只有一個(gè)是X而不是t(2)、牛頓一萊布尼茲公式設(shè)f(X)在a,b 上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(X)的一個(gè)原函數(shù),由牛頓公式可以看出，求定積分，本質(zhì)上就是求不定積分，只不過(guò)又多出一步代入積分上下限，所以求定積分也有四種方法。r基本積分公式|第一換元積分法(湊微I第二換元積

17、分法i分部積分法奇函數(shù)、偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分(1)、若f(X)在L a,a 上為奇函數(shù)，則(2)、若f(x)在-a,a上為偶函數(shù)，則注：此方法只適用于對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分。廣義積分(1)無(wú)窮積分-beabL-be分法)aL f(x) = obb則f(x)dx=F(x)a = F(b)-F(a)aL f(x) = 2j0 f(x)dxcf(x)dx=jjmaf(x)dxbf (x)dx = lim f(x)dxc-bef (x)dx= Lf(x)dx+ f (x)dx定積分關(guān)于面積計(jì)算g(x)面積S = f【f (x)-g(x)dx， 記憶：面積等于上函數(shù)減去下函數(shù)在邊界a,b上的定積分。i

18、 dhx=0(kt = 6c(y)面積S= c 班y)-9(y)dy記憶方法:把頭向右旋轉(zhuǎn)90就是第一副圖。8、旋轉(zhuǎn)體體積(1)(2 )、曲線f(X)繞:VxX軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積陰影部分繞繞 X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積:Vx(x)-g2(x)dxX =日(y)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積：Vy =兀d陰影部分繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積：Vy =兀鏗 2(y)r2(y)dy（二八 直線與平面的相關(guān)考試內(nèi)容一、二元函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)z= f （X, y）在點(diǎn)（人$0）某鄰域有定義（但（x0,y0）點(diǎn)可以除外），如果當(dāng)點(diǎn)（x,y）無(wú)論沿著任何途徑趨向于（x0,y0）時(shí)，z= f （x,

19、y）都無(wú)限接近于唯一確定的常數(shù)A，則稱(chēng)當(dāng)點(diǎn)（X,y）趨向于（x0,y0）時(shí)，z=f（x,y） 以A為極限，記為lim f（X, y） = A（x,y）T（xo,yo） 八二、二元函數(shù)的連續(xù)性若 lim f （x, y） = f （x。，y。），則稱(chēng) z= f （x, y）在點(diǎn)（x。）連續(xù)。（x,y）Txo，yo）注：Z= f（x,y） 的不連續(xù)點(diǎn)叫函數(shù)的間斷點(diǎn)，二元函數(shù)的間斷點(diǎn)可能是一些離散點(diǎn)，也可能是一條或多條曲線。ex（x,yTjmf（x5，y）-f（x，y）oz7(x,y)%f(x,y*-f(x,y)三、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)四、偏導(dǎo)數(shù)求法由偏導(dǎo)數(shù)定義可看出，對(duì)哪個(gè)變量求偏導(dǎo)就只把哪個(gè)變量當(dāng)成

20、自變量，其它的變量都當(dāng)成常數(shù)看待。czcz五、全微分：dz =dx +dyex門(mén)六、二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系二元函數(shù)可微，則必連續(xù)，可偏導(dǎo)，但反之不一定成立。 若偏導(dǎo)存在且連續(xù)，則一定可微。函數(shù)z = f（x,y） 的偏導(dǎo)存在與否，與函數(shù)是否連續(xù)毫無(wú)關(guān)系。七、二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)設(shè) z = f (u,v),u = %x,y),v=9(x, y),則徑=絲皀+竺空dXcu cXcV cXdz cz du= cy cu dycZ cV+ dv Sy注：有幾個(gè)中間變量就處理幾次，按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)處理。八、隱函數(shù)求偏導(dǎo)方程F（x,y,z）=O確定的隱函數(shù)為 z= f（X, y），則對(duì)等號(hào)兩邊

21、同時(shí)對(duì) x求導(dǎo)，遇到z的函數(shù)，把z當(dāng)成中間變量。第八講多元函數(shù)積分學(xué)知識(shí)點(diǎn)重積分的概念、性質(zhì)1、D2、性質(zhì):（1）JJ f （x,y）dxdy = Hm 2,幾何意義：代表由f （x, y），d圍成的曲頂柱體體積。JJkf (x, y)dxdy = k JJ f (x, y)dxdyDD【卩 f (x,y) + g(x, y) dxdy= JJ f (x,y)dxdy+JJg(x, y)dxdyDDD胸二DDD = D1 + D2, JJ f(X, y)dxdy= JJ f (x, y)dxdy f (x, y)dxdyDD1D2若 f (x,y) g(x,y)，則 JJ f (x, y)dx

22、dy 蘭 Ug(x, y)dxdyDD(6)若 mW f(X, y)蘭 M ,則 mD 蘭 JJ f (x, y)dxdy 蘭 MDD設(shè)f (x, y)在區(qū)域D上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)( ,n )亡D，使JJ f (x, y)dxdy = f ( J ) DD二、計(jì)算D： a 蘭 X 蘭 b,已（X）蘭 2（x）bQ(x)n f (x,y)dxdy = Jadx(x) f (x,y)dyD: C蘭y ,1（y）蘭X蘭2（y）d3(x)JJ f (X, y)dxdy = Jc dy 打 f (x, y)dyD1技巧：“誰(shuí)”的范圍最容易確定就先確定“誰(shuí)”的范圍，然后通過(guò)劃水平線和 垂直線的方法確定另

23、一個(gè)變量的范圍 極坐標(biāo)下： X = r cos 日，y = rsi n日，dxdy = rdrd 日Pr (日)JJ f(X, y)dxdy = 日 J。f (r co , r si )rdrD三、曲線積分1第一型曲線積分的計(jì)算(1)若積分路徑為L(zhǎng): y = *(x),axb，則f (x,y)ds= i f (xN(x)j1 + (釈(x)2dx(2)若積分路徑為L(zhǎng): x = w(y),cyd，則f(x, y)ds= jC f (y), y)J( (y)2dyX = %t)p,(3)若積分路為L(zhǎng) : I, a t P，則yN(t)f(X, y)ds= f f (叫t),護(hù)(t) J仲址)2 + (申 Yt)2dt2、第二型曲線積分的計(jì)算(1) 若積分路徑為L(zhǎng) : y (x)， 起