九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圖形相似5相似三角形判斷定理證明新版北師大版

1、 如圖所示如圖所示, ,為了估算河的寬度為了估算河的寬度, ,我們可以在河我們可以在河 對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A A, ,再在河的這一邊選再在河的這一邊選 定點(diǎn)定點(diǎn)B B和和C C, ,使使ABABBCBC, ,然后選點(diǎn)然后選點(diǎn)E E, ,使使ECECBCBC, ,用視用視 線確定線確定BCBC和和AEAE的交點(diǎn)的交點(diǎn)D.D.此時(shí)如果測(cè)得此時(shí)如果測(cè)得BD=BD=140 140 m,m,DC=DC=70 m,70 m,EC=EC=60 m,60 m,就得出了兩岸間的大致距就得出了兩岸間的大致距 離離ABAB, ,即河的寬度是即河的寬度是120 m120 m. .你知道他們這

2、樣做的你知道他們這樣做的 道理嗎道理嗎? ? ABD和ECD之間存在什么關(guān)系?如何 求AB的值? 如圖所示,1=2,添加一個(gè)條件: ,使得ADEACB. 學(xué)學(xué) 習(xí)習(xí) 新新 知知 已知:在ABC和ABC中,A=A, B=B. 求證:ABCABC. 定理：定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似 【思路提示】在ABC的邊AB上截取 AD=AB,過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線,交AC于點(diǎn)E,過(guò) 點(diǎn)D作AC的平行線,交BC于點(diǎn)F,證明四邊形 DFCE是平行四邊形,再得到三組成比例線段, 最后由定義得出兩個(gè)三角形相似的結(jié)論. 檢測(cè)反饋檢測(cè)反饋 證明:在ABC的邊AB(或它的延 長(zhǎng)線)上截取A

3、D=AB,過(guò)點(diǎn)D作 BC的平行線,交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D 作AC的平行線,交BC于點(diǎn)F, 則ADE=B,AED=C, . ADCF ABAC . CD CF AC AE DEBC,DFAC, 四邊形DFCE是平行四邊形. DE=CF. . . BC DE AC AE AB AD CB DE AC AE ADE ABC. ABCABC. 而ADE=B,DAE=BAC,AED=C, ADEABC. A=A,ADE=B=B,AD=AB, 當(dāng)給出的已知條件以角為主時(shí),?？紤]使用 “兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”的判定方 法判定兩個(gè)三角形相似. 如圖所示,若A=D, B=E,則ABCDEF. 使用這個(gè)條件

4、時(shí),“兩角對(duì)應(yīng)相等”中的 “對(duì)應(yīng)”二字是可以去掉的,只要一個(gè)三角形 的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別相等, 那么這兩個(gè)三角形就一定相似. 定理：定理：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形 相似相似 已知:在ABC和ABC中,A=A, . CA AC BA AB 求證:ABCABC. A=A, ADE ABC. 證明:在ABC的邊AB上截取AD=AB,在 AC上截取AE=AC,連接DE. ., AE AC AD AB CA AC BA AB DEBC, ADEABC, ABCABC. 定理：定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似三邊成比例的兩個(gè)三角形相似 已知:在ABC和

5、ABC中, . CA AC CB BC BA AB 求證:ABCABC. 證明:在在ABCABC的邊的邊ABAB, ,ACAC( (或或 它們的延長(zhǎng)線它們的延長(zhǎng)線) )上分別截取上分別截取 AD=ABAD=AB, ,AE=ACAE=AC, ,連接連接DE.DE. . ,;, AE AC AD AB CAAEBAAD CA AC BA AB 而BAC=DAE, ABCADE(兩邊成比例且?jiàn)A 角相等的兩個(gè)三角形相似). . DE BC AD AB CB BC AD AB BAAD CB BC BA AB ,又 CB BC DE BC DE=BC.ADE ABC. ABCABC. 檢測(cè)反饋檢測(cè)反饋

6、1.下列各組圖形有可能不相似的是() A.有一個(gè)角等于50的兩個(gè)直角三角形相似 B.有一個(gè)角等于60的兩個(gè)等腰三角形相似 C.有一個(gè)角等于50的兩個(gè)等腰三角形相似 D.有一個(gè)角等于120的兩個(gè)等腰三角形相似 解析解析:有一個(gè)角等于50的兩個(gè)直角三角形相似,符合 判定定理1,故選項(xiàng)A正確;有一個(gè)角等于60的兩個(gè)等 腰三角形相似,符合判定定理1,故選項(xiàng)B正確;有一個(gè)角 等于50的等腰三角形,可能頂角是50,也可能底角 是50,故不一定相似,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;有一個(gè)角等于 120的兩個(gè)等腰三角形相似,符合判定定理1,故選項(xiàng)D 正確.故選C. C 2.如圖所示,D是ABC的邊AB上一點(diǎn)(D不 與A,B重合

7、),在條件： (1)ACD=B,(2)AC2=ADAB,(3)AB邊上與 點(diǎn)C距離相等的點(diǎn)D有兩個(gè),(4)B=ACB中, 一定使ABCACD的個(gè)數(shù)是() A.1 B.2 C.3 D.4 B (1)ACD=B,CAD=BAC, ABCACD; 解析： .)2( 2 AB AC AC AD ABADAC， 又CAD=BAC,ABCACD; (3)AB邊上與點(diǎn)C距離相等的點(diǎn)D有兩 個(gè),CD長(zhǎng)不確定,那么符合條件的點(diǎn)有很多,不 固定,那么ACD的形狀也無(wú)法確定,也就無(wú)法 證明ACDABC; (4)B=ACB,ABC是等腰三角形,而 ACD不一定是等腰三角形,故兩三角形不一 定相似.故選B. 3.從下面

8、這些三角形中,選出相似的三角形. 相似相似,相似相似,相似相似. 4.如圖所示,已知ABDACE,求證 ABCADE. 解析:由于ABDACE,因此 BAD=CAE,因此BAC=DAE, .則問(wèn)題得證,如果進(jìn)果進(jìn)一步 AE CA AD BA 又BAC=BAD+DAC, DAE=DAC+CAE, 證明:ABDACE,BAD=CAE. BAC=DAE. , AD AB ACE,ABD AE AC 在ABC和ADE中, AE AC AD AB ADE,=BAC ABCADE. 如圖所示,1=2,添加一個(gè)條件: ,使得ADEACB. 當(dāng)給出的已知條件以角為主時(shí),?？紤]使用 “兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”的判定方 法判定兩個(gè)三角形相似. 如圖所示,若A=D, B=E,則ABCDEF. 使用這個(gè)條件時(shí),“兩角對(duì)應(yīng)相等”中的 “對(duì)應(yīng)”二字是可以去掉的,只要一個(gè)三角形 的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別相等, 那么這兩個(gè)三角形就一定相似. (1)ACD=B,CAD=BAC, ABCACD; 解析： .)2( 2 AB AC AC AD ABADAC， 又CAD=BA