湖南省高考試題(數(shù)學(xué)理)解析版

1、一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共J0分.左每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 -項(xiàng)是符合題目孌求的.1. 已知篥合 = 123, y=2,3.4.則2A.匚N.B. N匚【2IC MDN二2,3D. AfUN二1,4卩J/n.V=L2,3n2,3.4=2t3選6【答案】C【解析】HCI.V二1,2,3CI2,3,4 =2,3故選 C*【命!S意圖】本題肴查篥合的交第與子篥的運(yùn)算，廉容易題*2. 下列命題中的假命題是 A. VxeR, 2r-l0. B. VxeN*, （x-l）20*C 3xeR, lgYlD. ix R, tan x = 2【答案】B【解析】對(duì)于B選項(xiàng)x=l時(shí)，（x-l）

2、=O,故選B*【命題意圖】本題考查邏輯語(yǔ)言與指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)酗、正切函數(shù)的值域:屬容易題*3. 極坐標(biāo)方程p = cos和參數(shù)方程X = !（為參數(shù)）所表示的圖形分別是y=2 + 3tA.圓、直線B.直線、圓 C.圓、區(qū)ID.直線、直線卩【答案】AP【解析】極坐標(biāo)方程p = cos&化為普通方程為：x:+y2=x,工+/=x為圓的方程fx r參數(shù)方程廠一，J化為普通方程為：3x+v + 1 = 053x + v + 1=0為的直線的方程，故選 y = 2+3tA【命題意圖】本題考查圓的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程與互化晉通方程的：屬容易題34. 在Rtb毎C中，ZC =90 JC=4,則

3、五疋等于門A. -16【答案】AB. 8C. 8【解析】因?yàn)閆C = 90s,所以ACCB=所以 ABAC = (AC-hCByAC = (AC)2 +ACCB = 16 f 故選【命題意圖】本題考查向量的加法的運(yùn)算，向量的數(shù)量積：屬中檔題亠5. 等于卩 VA. -2In2B. 2In2C. -In2. D. In2【答案】Ek【解析】因?yàn)?nx/ = -, “X所以 f -dx = lnx|2 = ln4-ln 2 =ln 2 ,故選2 x【命題意圖】本題考查基本定理徴積分，常用對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù):屬容易。本題為教材選修2-2, 第53頁(yè)，例1第一小題改編而來(lái).原題為：計(jì)算定積分Axa6. 在中，角

4、4 B, C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為g b, c.若ZC = 120 cd，則A. abB. a07aba +b因?yàn)閐0上0V所以a-b- 0：所以a 方，故選Aa + b【命題意圖】本題考查余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，不等式的性質(zhì)，比較法，屬中檔題.7-在某種信息傳輸過(guò)程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字也許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同捷 列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位苴上的數(shù)字相 同的信息個(gè)數(shù)為心A. 10B.llC.12D.15【答案】B，【解析】與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：a第一類：與信息0110有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位宣上的數(shù)字相同有C；

5、=6 （個(gè)片 第二 與值息0110有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C4 （個(gè)）“ 第三類：fflMOllO沒(méi)有一個(gè)對(duì)應(yīng)位上的數(shù)字相同1 （個(gè)）“ 與信M0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)宇相同的信息有6+4+1=11 （個(gè)）故選氏2【命題意圖】本題考査組合問(wèn)題與分類加法計(jì)數(shù)原理慝中檔題.卩&用m in a, b表示a上兩數(shù)中的最小值.若I/(x)=min|x|,| x+r |)的圖象關(guān)于直線X二一丄對(duì)稱，則r的值為22A. -2B.2C.-lD. 12【答案】I1【解析】由下圖可以看出庚便/（x）=min|x|Jx+r|的圖象關(guān)于對(duì)稱，則【命題意圖】本題通過(guò)新定義考察學(xué)生的創(chuàng)新能力，考察函數(shù)的圖象，

6、考察考生數(shù)形結(jié)合的 能力，屬中檔題.3二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分.把答案域在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫 線上?！?已知一種材料的最佳加入量在110g到210g之間，若用0.618法安拄試驗(yàn)，則第一次試點(diǎn) 的加入童可以杲屮【答案】171.8或148.2【解析】根據(jù)0.618法，第一次試點(diǎn)加入量為Q110+ (210-110) x0.618=171.8 210- (210-110) x0.618=14&加【命題意圖】本題考奈優(yōu)選法的0.618法，慝容易題.卩10如圖I所示，過(guò)00夕卜一點(diǎn)P作一條亶線與00交于A, B兩點(diǎn),已知PA=2,點(diǎn)P到00的切線長(zhǎng)PT =4,脈AB的長(zhǎng)為 【

7、答案】2【解析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理。PTPAPB、PB 二務(wù)呂=2所以 AB = PB PA = 8 2 = 6 卩【命題意圖】本題考察平面幾何的切線長(zhǎng)定理.屬容易題11.在區(qū)間卜U上陌機(jī)取一個(gè)數(shù)X,則|X|1的概率為 【答案】亠3【解析】P (|x|0）的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于兩點(diǎn)，在x軸上的正射影分別為0C.若梯形肋CD的面積為120,則a【答案】2卩I【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F （0,斗），則過(guò)焦點(diǎn)斜率為1的直線方程為尸x+斗，a設(shè)人（耳比）（乞宀）（呂X）,由題意可知y 0s v2 0由X+ 2，消去 y 得 x2 -2px-2p2 =0, a x1 = 2pv由豐達(dá)定理得，

8、Xi + 呂 =2p5x1x2 =-p2所以梯形ABCD的面積為：“s = +乃X七一不）=* 3 +呂+卩）（呂一不）=+昭打+七尸一牡內(nèi)=斗3Pj4p2 + 4p2“所以3y/2p1 =2忑又p 0：所如=2a【命題意圖】本題考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線的方程，直線與拋物線的位貫關(guān)系，考察考 生的運(yùn)算能力:屬中檔題卩15.若數(shù)列滿足：對(duì)任意的從N只有有限個(gè)正整數(shù)力使得ajCn成立，記這樣的加的個(gè)數(shù)為（dj，則得到一個(gè)新數(shù)列（%）例如，若數(shù)列qj是123，么，則數(shù)列（%）是0丄2，已知對(duì)任意的xN， = 則（a5X =,()=【答案】2,宀【解析】因?yàn)橐?,而冬=/,所以m=12所以(5)=2

9、屮 因?yàn)?GIO,(a2)- = L(a3)- = l5(a4)- = LST = 2)=2仏)=2,(遜)=2仏)=2,o = 3 1)=3：(如)=3=3： (%) = 3： (% ) = 3= (q J = 3：所以(Si) = l,(勺丁廣二亠(他)=9, (0)=16, “猜想3)丁 =宀【命題意圖】本題以數(shù)列為背秦，通過(guò)新定義考察學(xué)生的自學(xué)能力、創(chuàng)新能力、探究能力, 屬難題。a三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算犧.a16.(本小題満分12分)卩已知函f (x) = y/3 sin 2x-2 sin: x. a(I) 求函數(shù)/(x)的最大值；“(

10、ID求函數(shù)/(x)的零點(diǎn)的集合卩【解析】(I )因?yàn)?/(x) = -3 sin 2x- (1 - cos 2x) =2sin(2x+) 6所以，當(dāng)2x+蘭=2上；r+蘭，即乂= Qr+壬(上eZ)Bj，函數(shù)/(x)取最大值1*6 2 6(II) 解法 1由(I )及/(x)= 0sin(2x+-) = A,所以卩6 22x+ = 2/ct+, 或2x+ =2k7r+t 即x=Qr.或x=Qr+蘭66663故求函數(shù)/(X)的零點(diǎn)的集合為X | x=Ar迅或X =fKS 2 由 f(x)=02y/3 sin xcosx= 2sin: x,：sin x = 05l!$/3 cosx = sinx-

11、HP tan x =歷 a 由sinx = 0可知尸Qr,即tan x = V3可知,故求函數(shù)/(x)的零點(diǎn)的集合為X |x=Qr,或X =后+彳,M Z卩【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的恒等變形，簡(jiǎn)單三角方程，二倍角公式、兩角和差的正余 弦公式，考察學(xué)生三角運(yùn)算能力，屬中檔題217.（本小題滿分12分）a圖4是某城市通過(guò)抽樣得到的居民某年的月 平均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖.a（I）求直方圖中X的值；“（II）如將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取心 3位居民（看作有敢回的抽樣），求月均用水量在心 3至4噸的居民數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.“卩【解析】a(I )依題意及頻率分布直方圖知，0.

12、02+0.1 + x+0.37 + 0.39 = LW#x = 0.12(II)由題意知，X 3(3,0.1), a因此 aP(X = 0) Y x 0.93 = 0:729,埶 X = l) = Cix O.lxO.92 = 0:243“P(- = 2) = q:x0.12x0.9 = 0!027lP( = 3) = Cfx0.13=0!001故隨機(jī)變量X的分布列為卩XP322p32P90.7230.24390.027P0.002X的數(shù)學(xué)期望為EX=3xOl=O3v【命題意圖】本題考查頻率分布直方圖、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望。 屬中檔題卩18(本小題滿分12分)a如圖5所示

13、，在正方體ABCD-AjBiCiD】中，E是棱DD】的中點(diǎn)?！?I )求直線BE與平面ABBiAi所成的角的正弦值；3圖5a(II)在棱C】D上杲否存在一點(diǎn)F,使BF平面A】BE?【解析】3解法1設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為b如圖所示，以 嘰辺申 為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.3(I )依題意,得 B (1, 0, 0), E (0, 1, -), A (0, 0, 0), D (0, 1, 0),所以a 25 = (-1, lsi),LW = (0,ls0),在正方體 ABCD-ABiCiDi 中，因?yàn)?AD丄平面 ABBiAp所以而是平面ABBiAi的一個(gè)法向量.“設(shè)直線BE與平面ABBiAi所成

14、的甬為&,則卩.BE-AD 12sin 6 = -=s I = = 3IHI 2x1 32即直線BE與平面ABBA】所成的角的正弦值為2. a3亠 1(II)依題意，得 A】(0, 0, 1), 54 = (-L0sl)r5 = (-LL-).設(shè)n= (xy;z)杲平面ABE得一個(gè)法向量，則由= 得卩一 x+z = 0x+j+r=0所以x = zsy = iz,取z=2：得n=(2丄2)屮設(shè)F是棱GD】上的點(diǎn),貝IJF (t,l,l) (OWtWl),又Bi (1, 0, 1),所以卩F = （r-1丄0）：而B(niǎo)f（z平面A】BE,于是亠BF/平面AjBE BpF.n= 0 （r-1,1,0）

15、（2丄2） = 0 o 2（z-1） +1 = 0a0 2斗0尸為C】D的中點(diǎn)。這說(shuō)明在在棱C】D上是否存在一點(diǎn)F （CP的中點(diǎn)），使 B）F 平面 AiBEv解法2如圖（a）所示，取AAi的中點(diǎn)1,連結(jié)EI, BM,阪為E是DD】的中點(diǎn)，四邊 形ADD】 A】為正方形，所以EM AD卩又在正方體ABCD-AiBiCiDj中。AD丄平面ABBiAp所以ELLABB】Ai，從而B(niǎo)I為 直線BE在平面ABBiAi上的射影，ZEBM直線BE與平面ABB】A】所成的角*設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則EI=AD=2, BE= j2：+2】+l：=3,于杲aEf在 RTABEM 中，sin 乙EBI = = -B

16、E 3即直線BE與平面ABBiAi所成的角的正弦值為2. a3（II）在棱GD上存在點(diǎn)F,使B】F平面AiBE。a事實(shí)上，如圖（b）所示，分別取C】D和CD的中點(diǎn)F,G,連樂(lè)EG, BG, CD】，F(xiàn)G因AjDi BA. BC,且ADi=BC,所以四邊形A】BCDi為平行四辺形，因此DC A】B,又fE,G分別為DiD, CD的中點(diǎn)，所以EG DiC,從而EG A）B,這說(shuō)明A】，B, G, E共面， 所以BGU平面AiBE因四辺形CCDDi與BiBCC皆為正方形,F,G分別為C】D】和CD的中點(diǎn)，所以FG C】C BiB, 且FG=C1C=B1B,因此四辺形BBGF為平行四邊形，所以B】F

17、BG.而B(niǎo)iFg平面A】BE, BGU 平面 ABE,故 BiF/平面 AiBEa圖(a)圖(b*【命題意圖】本題考查直線與平面所成的角，直線與平面平行，考察考生探究能力、空間想 象能力?！?9.（本小題滿分13分）卩為了肴察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基 地.視冰川面為平面形，以過(guò)方兩點(diǎn)的直線為x軸，線段.拐的垂直平分線為3軸建立 平面直角坐標(biāo)系（圖6）在直線“2的右側(cè)，考察范圍為到憨的距離不超過(guò)等山的 區(qū)域；在直線x = 2的左側(cè)，考察范圍為到.4, B兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)4$km的區(qū)域.卩（I ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；“（II）如圖6所示，設(shè)線段

18、召珂，冬瑪是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊畀線沿與其垂直的方向朝若察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km,以后每年移動(dòng)的 距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間.卩【解析】（I ）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（兀0 當(dāng)心2時(shí)，由題意知（4）2+八學(xué)當(dāng)xv2時(shí)，由|PA|+|PB|=4h點(diǎn)P在以A焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4的橢圓上。此時(shí)短半軸長(zhǎng)b = q(2躬y _4： =2,因而其方程為- + = 1204故考察區(qū)域邊界曲線(如圖)的方程為“Cj：(x-4)2 + y2 = (x 2)和：:(x-4)2 +y2 = (x 2)卩,5的方程分別為a設(shè)直線/平行于

19、直線/1，其方程為p =代入橢圓方程務(wù)】，消去y,得，16x: + 10V3wx+5(w: -4) = 0,3由厶=100x3w2-4xl6x5(m2-4) = 0s解得m=8,或m=-8.從圖中可 以看出川 當(dāng)力=時(shí)，直線/與C：的公共點(diǎn)到直線/1的距離最近，此時(shí)直線/的方程為二辰+8,I與人之間的距離為d =|14一8|又直線Z到c：和6的最短距離(1=6 竽而d、3,所以考察區(qū)域辺界到冰川邊界的最短S巨離為3彳設(shè)冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需時(shí)間為n年，則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，得“ 噸T)遼所亦川2-1冰川邊界線移動(dòng)到肴察區(qū)域所需的最短時(shí)間為4年.【命題意圖】本題以應(yīng)用題為背景，考查考

20、察考生數(shù)學(xué)建模能力，考查圓的方程、橢圓的定義與方程、直線與圓錐曲線的位苴關(guān)系、等比數(shù)列求和。本題屬難題。卩20(本小題滿分13分)卩已知函數(shù)/(X)+bx+c(c e對(duì)任意的 x e R 恒 /(x) /(x) p(I)證明：當(dāng)xhO時(shí)，/(x)0a故當(dāng)時(shí)，W(x+c)2 -/(x) = (2c-6)x+c(c-l) 0 即當(dāng)no時(shí)，/(x)bt 當(dāng) C | 幾有M n 幾0 -f6 = L-叮rb：_b=L _bc-ZTc + b令2.則-1宀1匚2 = 2-丄：而函數(shù)(0 = 2-丄(-1b時(shí)，Moo)的取值集合為斗，+oo)a當(dāng) C= I bl 時(shí)，)由(I )易知，b=2tc = 2/

21、(c) - f(b) = -8 或3從而/-/)電2一於”3綜上所述，1得最小值為斗【命題意圖】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的值域，不等式的證明，考 查考生轉(zhuǎn)化與化歸能力.本題屬難題.a21(本小題荷分13分)a T數(shù)列a (we.V*)中，a】是函數(shù)/心)=討-2(34 + /)乂2+3/%的極小值點(diǎn).a(I )當(dāng)a = 0時(shí)，求通項(xiàng) a(II)是否存在彳使數(shù)列印 是等比數(shù)列？若存在，求&的取值范圍；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由異【解析】易知 (x) = -(3 +/)x+3n& =(x-3a*)(x-/)2令 fn(x) = 05 得尸込，x=n2)(1) 若3q n2當(dāng) 0, 仗洋調(diào)遞增;a當(dāng)込vxvn時(shí)乞(x)0, (.屛調(diào)遞減;“當(dāng)x0, (x)單調(diào)遞増;卩故(x)在x=巾詞:取得極小值。卩(2) 若3an n2:仿(