數論篇小升初

1、名校真題 測試卷10 （數論篇一）時間：15分鐘 滿分5分姓名 測試成績 1 （ 05年人大附中考題）有個四位數滿足下列條件：它的各位數字都是奇數；它的各位數字互不相同；它的每個數字都能整除它本身。2（ 05年101中學考題）9倍，問這個兩位數如果在一個兩位數的兩個數字之間添寫一個零，那么所得的三位數是原來的數的 是 。3 (05年首師附中考題)120250513131313+ + 21 2121 212121 212121214 （04年人大附中考題）甲、乙、丙代表互不相同的 3個正整數，并且滿足：甲X甲=乙+乙=丙乂 135.那么甲最小是5 （02年人大附中考題）下列數不是八進制數的是 （

2、）A 125 B 、 126 C 、 127 D 、 128【附答案】1【解】:62【解】:設原來數為 ab,這樣后來的數為 a0b,把數字展開我們可得：100a+b=9X (10a+b),所以我們可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原來的兩位數為 45。125133 【解】：周期性數字，每個數約分后為+=121 21 21 214 【解】：題中要求丙與135的乘積為甲的平方數，而且是個偶數（乙 +乙），這樣我們分解135=5 X 3X 3X 3,所以丙最小應該是 2X 2X 5X 3,所以甲最小是：2X 3X 3X 5=90。5 【解】：八進制數是由除以8的余數得來的，不可能出現 8

3、,所以答案是 Db第十講小升初專項訓練 數論篇(一)、小升初考試熱點及命題方向數論是歷年小升初的考試難點，各學校都把數論當壓軸題處理。由于行程題的類型較多，題型多樣，變化眾多，所以對學生來說處理起來很頭疼。數論內容包括：整數的整除性，同余，奇數與偶數，質數與合數,約數與倍數，整數的分解與分拆等。 作為一個理論性比較強的專題，數論在各種杯賽中都會占不小的比重，而且數論還和數字謎，不定方程等內容有著密切的聯系，其重要性是不言而喻的。二、2007年考點預測2007年的小升初考試將繼續(xù)以填空和大題形式考查數論，命題的方向可能偏向小題考察單方面的知識點， 大題則需綜合運用數的整除，質數與合數，約數倍數以

4、及整數的分拆等方法，希望同學們全面掌握數論的 幾大知識點，能否在考試中取得高分解出數論的壓軸大題是關鍵。三、基本公式1) 已知 b|c,a|c,則a,b|c, 特別地，若(a,b)=1,則有 ab|c。講解練習:若3a75b能被72整除，問a=,b=.(迎春杯試題)2) 已知 c|ab , (b,c)=1,則 c|a。3) 唯一分解定理：任何一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即n= pl a1 x p2 a2 x . Xp kak (#)其中p1p2.bcd那么從小到大的第5個就是dacb,它是5的倍數，因此b=0或5,注意到bcd,所以b=5; 從大到小排列的第2個是abdc,它是

5、不能被4整除的偶數；所以c是偶數，cv b=5, c=4或2 從小到大的第二十個是 adbc,第五個是dacb,它們的差在3000-4000之間，所以a=d+4;因為ab,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24,它是4的 倍數，和條件矛盾。因此 d=3,從而a=d+4=3+4=7。這24個四位數中最大的一個顯然是abcd,我們求得了 a=7,b=5,c=4,d=3所以這24個四位數中最大的一個是7543?！纠?】（） 一個5位數，它的各個位數字和為 43,且能被11整除，求所有滿足條件的 5位數？思路:現在我們有兩個入手的選擇，可以選擇數字和

6、，也可以選擇被11整除，但我們發(fā)現被11整除性質的運用要具體的數字，而現在沒有，所以我們選擇先從數字和入手【解】：5位數數字和最大的為 9X 5=45，這樣43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8, 8。這樣 我們接著用11的整除特征，發(fā)現符合條件的有99979, 97999, 98989符合條件?！纠?】（）由1, 3, 4, 5, 7, 8這六個數字所組成的六位數中，能被11整除的最大的數是多少?【解】：各位數字和為1+3+4+5+7+8=28所以偶數位和奇數位上數字和均為14為了使得該數最大，首位必須是8，第2位是7, 14-8=6那么第3位一定是5，第5位為1該

7、數最大為 875413。拓展:一個三位數，它由 0, 1, 2, 7, 8組成，且它能被9整除，問滿足條件的總共有幾個?【例4】（） 一個學校參加興趣活動的學生不到100人，其中男同學人數超過總數的4/7，女同學的人數超過總數的2/5 。問男女生各多少人？【來源】：06年理工附入學測試題【解】：男生超過總數的 4/7就是說女生少個總數的 3/7，這樣女生的范圍在 2/53/7之間，同理可得 男生在4/73/5之間，這樣把分數擴大，我們可得女生人數在28/7030/70之間，所以只能是 29人,這樣男生為41人。2 質數與合數（分解質因數）【例5】（）2005 X 684 X 375 X 最后4

8、位都是0,請問里最小是幾 ？【解】：先分析1X 2X 3X 4XX 10的積的末尾共有多少個 0。由于分解出2的個數比5多，這樣我們可以得 出就看所有數字中能分解出多少個5這個質因數。而能分解出5的一定是5的倍數。注意：5的倍數能分解一個5, 25的倍數分解出2個5, 125的倍數能分解出3個5最終轉化成計數問題，如5的倍數有10/5=2個。2005=5X 401684=2 X 2X171375=3 X 5X 5X 5前三個數里有2個質因子2, 4個質因子5,要使得乘積的最后4位都是0 應該有4個質因子2和4個質因子5，還差2個質因子。因此里最小是 4。拓展:2005 X 684 X 375

9、X 最后4位都是0，且是7的倍數，問里最小是 【例6】（） 03年101中學招生人數是一個平方數，04年由于信息發(fā)布及時，04年的招生人數比03年多了 101人，也是一個平方數，問04年的招生人數？【解】：看見兩個平方數，發(fā)現跟平方差相關，這樣我們大膽的設03年的為A2 , 04年的為B2，從中我們發(fā)現04年的比03年多101人，這樣我們可以列式子B2- A 2 =101此后思路要很順，因為看見平方差只有一種方法那就是按公式展開，所以B2- A2= （A+B） （ A-B） =101，可見右邊的數也要分成2個數的積，還得考慮同奇偶性，但101是個質數，所以101只能分成101 X 1,這樣A+

10、B=101, A-B=1，所以A=50, B=51,所以04年的招生人數為 51 X 5仁2601。拓展:一個數加上10,減去10都是平方數，問這個數為多少？（清華附中測試題）3 約數和倍數【例7】（）從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如 果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷的重復，最后剪得的正方形的邊長是多少毫米？(2002,847)=77【解】：邊長是2002和847的最大公約數，可用輾轉相除法求得輾轉相除示例：2002 - 847=2308847 - 308=2231308 - 231=

11、1 77231 - 77=3所以最后剪得的正方形的邊長是 77毫米。求2個數的最大公約數，就用大數除以小數 用上一個式子的除數除以余數一直除到除盡為止用上一個式子的除數除以余數一直除到除盡為止 最后一個除盡的式子的除數就是兩個數的最大公約數【例8】（） 一根木棍長100米，現從左往右每6米畫一根標記線，從右往左每 5米作一根標記線，請 問所有的標記線中有多少根距離相差4米？【解】：100能被5整除，所以每5米作標記線從左往右還是從右往左都是一樣的。這樣我們都以從左往右作，可見轉化成討論5, 6的最小公倍數中的情況，畫圖可得有2根距離為4米，所以30, 60 , 90里各有2條,但發(fā)現最后96和

12、100也是距離4米，所以總共2 X 3+仁7。拓展:在一根長木棍上，有三種刻度線第一種刻度線將木棍分成十等份；第二種將木棍分成十二等份；第三種將木棍分成十五等份 如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段？2以外都是奇數質因數，可見我【例9】（） 1、2、3、42008這2008個數的最小公倍數等與多少個2與一個奇數的積？【解】：最小公倍數就是分解質因數中共有的最多因數，這樣我們發(fā)現除們只要找需要多少個2,所以只要看12008中2 v n誰最大，可見2 v 10=1024,所以為10個2。【例101（ ）有15位同學，每位同學都有編號，它們是1號到15號。1號同學寫了一個自然數，2號

13、說：“這個數能被2整除”，3號說“這個數能被3整除”，依次下去，每位同學都說，這個數能 被他的編號數整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學說得不對，其余同學都對，問：（1）說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數？（2）如果告訴你，1號寫的數是五位數，請求出這個數。（寫出解題過程）【解】：1）首先可以斷定編號是 2, 3, 4, 5, 6, 7號的冋學說的一定都對。不然，其中說的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學說的不對”不符合。因此，這個數能被2, 3, 4, 5, 6, 7都整除。其次利用整除性質可知，這個數也能被2 X 5, 3X 4

14、, 2 X 7都整除，即編號為10, 12, 14的同學說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9。2）這個數是 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15的公倍數由于上述十二個數的最小公倍數是60060因為60060是一個五位數，而十二個數的其他公倍數均不是五位數，所以1號同學寫的數就是 60060。4 數論的綜合題型【例11】（）某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1, 2,12.他們的電話號碼依次是12個連續(xù)的六位自然數，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，已知這些電話號碼的首位數字 都小于6,并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被

15、13整除，問：這一家的電話號碼是什么數？【解】：設第一戶電話號是 x+1,第二戶x+2,.第12戶電話號x+12根據條件得 x+i是i的倍數（i=1,2,12）因此x是1, 2,.12的公倍數1,2,.12=27720 所以 x=27720m27720m+9是13的倍數，27720除以13余數為4所以4m+9是13的倍數 m=1,14,27.第一家電話號碼是 27720m+1 m取14合適；因此第一家電話號碼是27720*14+1=388081拓展:寫出連續(xù)的11個自然數，要求第1個是2的倍數，第二個是 3的倍數第11個是12的倍數？【例121（ ）有15位同學，每位同學都有編號，它們是1號到

16、15號。1號同學寫了一個自然數，2號說：“這個數能被2整除”，3號說“這個數能被3整除”，依次下去，每位同學都說，這個數能 被他的編號數整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學說得不對，其余同學都對，問：（1）說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數？（2）如果告訴你，1號寫的數是五位數，請求出這個數。（寫出解題過程）【解】：1）首先可以斷定編號是 2，3，4，5，6，7號的冋學說的一定都對。不然，其中說的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學說的不對”不符合。因此，這個數能被2，3，4，5，6，7都整除。其次利用整除性質可知，這個數也能被2 X

17、 5，3X 4，2 X 7都整除，即編號為10，12，14的同學說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9。2）這個數是 2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍數由于上述十二個數的最小公倍數是60060因為60060是一個五位數，而十二個數的其他公倍數均不是五位數，所以1號同學寫的數就是 60060。小結本講主要接觸到以下幾種典型題型:參見例1，2，3，4。參見例5，6參見例7，8，9，10參見例11，121）數的整除。2）質數與合數（分解質因數）3）約數和倍數。4）數論的綜合題型?！菊n外知識】打開另一扇心窗很久以前，在意大利的龐貝古城里，一個普通人家出生了一個

18、叫莉蒂雅的女孩。莉蒂雅自小雙目失明，但她并不怨天怨地，也沒有垂頭喪氣，反而熱愛生活，對生活充滿信心和希望。稍稍長大后，她像 常人一樣勞動，靠賣花自食其力。不久，維蘇威火山爆發(fā)，龐貝城面臨一次大的災難，整座城市被籠罩在 濃煙塵埃之中。濃密的火山灰，遮掩了太陽、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，驚慌失措的居民跌跌 撞撞地根本找不到出路，人們好像生活在人間的地獄中。莉蒂雅雖然看不見，但這些年來，她走街串巷在 城里賣花，對城市的各條道路了如指掌。她就靠自己的觸覺和聽覺找到了生路，不但救了自己的家人，還 救了許多市民。后來，莉蒂雅的事跡一直被后人所傳頌，并出現在很多的文學作品中。啟迪：莉蒂雅的不幸反而成

19、了她的大幸，她的殘疾反而成了她的財富。不要總以為自己是最倒霉的。其實,上蒼很公平。有時候，命運向你關閉這一心窗的同時，又為你開啟了另一心窗，同樣可以享受人生的快樂作業(yè)題(注：作業(yè)題-例題類型對照表，供參考)題1, 4 類型1 ;題2，6類型3;題3，5，8類型2;題7類型21. ()在1100這100個自然數中，所有不能被9整除的數的和是多少?解：1+2+100=50509+18+27+99=9 X (1+2+ +11)=495隨意1-100中所有不能被9整除的數的和是 5050-495=455512. ( )某班學生不超過60人，在一次數學測驗中，分數不低于90分的人數占-，得8089分的人

20、711數占一，得7079分得人數占，那么得70分以下的有 人。23111解：有一、一、一，說明總人數一定為 7的倍數、2的倍數、3的倍數，故為7、2、3 = 42的倍數；72 3又由于人數不超過 60人，故這班的人數只能為42人。f 111、從而70分以下的有：42X 1 一一 一一 |= 1人。I 723丿3. ( )自然數 N是一個兩位數，它是一個質數，而且N的個位數字與十位數字都是質數，這樣的自然數有個。解：枚舉法：23, 37, 53, 73,有4個4. （）三個自然數，其中每一個數都不能被另外兩個數整除，而其中任意兩個數的乘積卻能被第三個數整除，那么這樣的三個自然數的和的最小值是多少？解：這三個自然數最小是6, 10, 15 （分別是2X 3,2X 5,3X 5）和的最小值為31。5、（）五個連續(xù)偶數之和是完全平方數，中間三個偶數之和是立方數（即一個整數的三次方），這樣一組數中的最大數的最小值是多少？解：設中間一個數為 2x那么5個數的和為10x=mA2中間3個數的和為6x=nA3設 x=2Ap X 3Aq X 5Ar再根據一個數是完全平方數等價于它的各個質因子的幕都是偶數，一個數是立方數等價于他的各個質因子的幕都是3的倍數可以求得 p=5