專題16 幾何最值之阿氏圓知識(shí)精講-沖刺2020年中考幾何專項(xiàng)復(fù)習(xí)

1、幾何最值之阿氏圓知識(shí)精講在平面上，到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上，即對(duì)于平面內(nèi)的定點(diǎn)a、b，若平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)p滿足pa:pb1，則p點(diǎn)軌跡為一條直線（即線段ab的垂直平分線），如果這個(gè)比例不為1，p點(diǎn)的軌跡又會(huì)是什么呢？?jī)汕Ф嗄昵暗陌⒉_尼斯在其著作平面軌跡一書中，便已經(jīng)回答了這個(gè)問題。接下來，讓我們站在巨人的肩膀上，一起探究pa：pbk（k1）時(shí)p點(diǎn)的軌跡。對(duì)于平面內(nèi)的定點(diǎn)a、b，若在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)p且p滿足pa：pbk（k1），則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡就是一個(gè)圓，這個(gè)圓被稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱“阿氏圓”，如圖所示：借助畫板工具我們發(fā)現(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)p在運(yùn)動(dòng)過程中，pa、pb的長(zhǎng)度都在變化，但是

2、pa：pb的比值始終保持不變，接下來我們?cè)谏钊胙芯恳幌?！若，設(shè)，如圖所示：由圖可以發(fā)現(xiàn)在ab上存在點(diǎn)c使得，在ab延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)d使得，也就是說，當(dāng)點(diǎn)p與點(diǎn)c、d重合時(shí)，符合條件；當(dāng)點(diǎn)p不與點(diǎn)c、d重合時(shí)，對(duì)于任意一點(diǎn)p，連接pa、pb、pc，可得，所以pc為pab一條內(nèi)角平分線，再連接pd，可得，所以pd為pab一條外角平分線，所以pcpd，即cpd90，所以點(diǎn)p的軌跡是以cd為直徑的一個(gè)圓.當(dāng)我們遇到平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)之比為定值且不為1的情況時(shí)，可以在過兩定點(diǎn)的直線上按定比確定內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，并以之為直徑做圓從而確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡.如何具體證明p點(diǎn)的軌跡就是一個(gè)完整的圓呢？分別取線段ab的內(nèi)

3、外分點(diǎn)c、d，再取cd中點(diǎn)o，可得，設(shè)，則，由線段位置關(guān)系可得acbcbdad，則，解得，.又，即，整理得，即，當(dāng)點(diǎn)p在一個(gè)以o為圓心，r為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖所示：易證：boppoa，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)p都有.對(duì)于任意一個(gè)圓，任意一個(gè)k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線上，在同側(cè)適當(dāng)?shù)奈恢眠x取a、b點(diǎn)，則需，就可以構(gòu)造出上述的a字型相似（詳見本專輯的相似模型）.例1、如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)為4，圓b的半徑為2，點(diǎn)p是圓b上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ，的最大值為 .【解答】最小值為5，最大值為5【解析】在bc上取一點(diǎn)g，使得bg1，連接pg、dg，如圖所示：pbgpbc，pbgcbp，在pdg中，dppgdg，當(dāng)d、g、p共線時(shí)，的值最小，最小值為；當(dāng)點(diǎn)p在dg的延長(zhǎng)線時(shí)，的值最大，如圖所示：此時(shí)最大值也是dg，最大值為5.例2、如圖，半圓的半徑為1，ab為直徑，ac、bd為切線，ac1，bd2，點(diǎn)p為弧ab上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【解答】【解析】當(dāng)a、p、d三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小.連接pb、co，ad與co相交于點(diǎn)m，如圖所示：abbd2,bd是o的切線,abd90,badd45,ab是o直徑,apb90,pabpba45,papb,poab,ac是o的切線,acab,acpo,cao90acpo1,四邊形aopc是平行四邊形,而oao