元二次方程知識點總結(jié)

1、21章一元二次方程知識點一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等號兩邊是整式，含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高 次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程。注意：（1）一元二次方程必須是一個整式方程；（2）只含有一個未知數(shù)；（3） 未知數(shù)的最高次數(shù)是2 ；（ 4）二次項系數(shù)不能等于02、 一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0），它的特征是：等式左邊是 一個關于未知數(shù)x的二次三項式，等式右邊是零，其中 ax2叫做二次項，a叫做 二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。注意：（1）二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項都包括它前 面的符號。（2）要準確找出一個一元二

2、次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須把它先化為一般形式。（3） 形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，當且僅當 a 0時是一元二次 方程。二、一元二次方程的解使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如：當x 2時，2 2x 3x 20所以x 2是x 3x 20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有兩個根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接開平方法：直接開平方法理論依據(jù)：平方根的定義。利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。根據(jù)平方根的定義可知，x a是b的平方根，當b 0時，x a b，x a b，當b0時，方程

3、沒有實數(shù)根。三種類型：（1） x2 a a 0的解是x a ；(2)x mn n 0的解是x 、n m ；2. c n(3) mx n c m 0,且 c 0 的解是 x m2、配方法:配方法的理論根據(jù)是完全平方公式 a2 2ab b2 (a b)2，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有x2 2bx b2 (x b)2。(一)用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的步驟:(1) 把一元二次方程化成一般形式(2) 在方程的左邊加上一次項系數(shù)絕對值的一半的平方，再減去這個數(shù);(3) 把原方程變?yōu)閤 m 2 n的形式。(4) 若n 0，用直接開平方法求出x

4、的值，若n 0(2) 方程有兩個相等的實數(shù)根b2 4ac =0(3) 方程沒有實數(shù)根b2 4ac v 0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二 次項系數(shù)不為0這一條件。四、一元二次方程根與系數(shù)的關系(韋達定理)如果方程ax2 bx c 0(a 0)的兩個實數(shù)根是捲，x2,那么Xix2b-,X1X2a 在一元二次方程的一般形式中要注意，強調(diào)a0因當a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程.應用求根公式解一元二次方程時應注意：先化方程為一般形式再確定a，b，c的值；若b24acv 0，則方程無解. 利用因式分解法解方程時，方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數(shù)的代 數(shù)式.

5、如一2(x + 4)2=3 (x + 4)中，不能隨便約去x+ 4。 注意：解一元二次方程時一般不使用配方法(除特別要求外)但又必 須熟練掌握，解一元二次方程的一般順序是：開平方法一因式分解法一公式 法.6.元二次方程解的情況個相等的實數(shù)根；b2 - 4ac 1510【考題1】（2009、深圳南山區(qū)）課外植物小組準備利用學校倉庫旁的一塊空地，開辟一個 面積為130平方米的花圃（如圖 1 2 1）,打算一面利用長為 15米的倉庫墻面，三面 利用長為33米的舊圍欄，求花圃的長和寬. X 2不合題意，舍去 x 答：花圃的長為13米，寬為10米. 【考題2】（2009、襄樊）為了改善居民住房條件，我市

6、計劃用未來兩年的時間，將城鎮(zhèn)居 民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10平方米提高到平方米， 若每年的增長率相同，則年增 長率為（） % C. 11% 解：設年增長率為x,根據(jù)題意得 10（1+x） 2=, 解得 x1 = , x2 =. 因為增長率不為負，所以x=。故選D。 【考題3】（2009、?？冢┠乘l(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果如果每千克盈利 10元，每天 可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷依題意得X 33 2x130132x233x 1300x1 10X22又當x110時，33 2x13解：設與墻相接的兩邊長都為x售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每

7、天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？解：設每千克水果應漲價x元，依題意，得(500 2 0 x) (10+x) =6000.整理，得 x2 15x+ 50=0.解這個方程，x1=5, x2 =10.要使顧客得到實惠，應取 x=5 .答：每千克應漲價 5元.點撥：此類經(jīng)濟問題在設未知數(shù)時，一般設漲價或降價為未知數(shù)；應根據(jù)“要使顧客得到實惠”來取舍根的情況.【考題4】如圖，在 ABC中，/ B=90 , AB=5, BC=7,點P從A點開始沿AB邊向點B點以1cm/s的速度移動，點 Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動(1) 如果點P、Q分別從A、B兩點同

8、時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，PBQ的面積等于4?(2) 如果點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，PQ的長度等于5?B PA解：(1)設經(jīng)過x秒鐘， PBQ的面積等于4,則由題意得 AP=x, BP=5 x, BQ=2x,由 2 BP- BQ=4 得 2 (5 x) 2x=4 , 解得，x1=1, x 2 =4.當x=4時，BQ=2x=8 7=BC,不符合題意。故 x=1,222 小222(2)由 BP +BQ =5 得(5 x)+ (2x) =5 ,解得x仁0 (不合題意)，x2=2 .所以2秒后，PQ的長度等于5。三、針對性訓練：1.小明的媽媽上周三在自選商場花10元錢買了幾瓶酸奶，周六再

9、去買時，正好遇上商場搞酬賓活動，同樣的酸奶，每瓶比周三便宜0. 5元，結(jié)果小明的媽媽只比上次多花了2元錢，卻比上次多買了 2瓶酸奶，問她上周三買了幾瓶？2 合肥百貨大摟服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了迎接“十一”國慶節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈禾盡快減少庫存。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少？3在寬為20米、長為32米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分作為耕地，要使耕地面積為540米2,道路的寬應為多少？4小紅

10、的媽媽前年存了5000元一年期的定期儲蓄，到期后自動轉(zhuǎn)存今年到期扣除利息稅(利息稅為利息的20%，共取得5145元.求這種儲蓄的年利率.(精確到%5.如圖12-3 , ABC中，/ B=90,點P從A點開始沿 AB向點B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向C點以2cm/s的速度移動。(1)如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘，使 ABQF面積等于8cm2? 如果P、Q分別從A B同時出發(fā)，并且 P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進，Q以C后又繼續(xù)在AC邊上前進，經(jīng)幾秒鐘，使 PCQ勺面積等于cm2。解：依題意，得：2 (6-x ) 2x=8解這個方程得：x1=2, x2=4即經(jīng)過2s,

11、點P到距離B點4cm處，點Q到距離B點4cm處；經(jīng)過4s，點P到距離B點2cm 處，點Q到距離B點8cm處。故本小題有兩解。(2)設經(jīng)過x秒，點P移動到BC上，且有CP=( 14-x)cm,點Q移動到CA上，且命名 CQ= (2x-8 ) cm，過 Q作 QDL CB于 D。/ CQDA CABQD AB6(2x 8)2x 8 AC，即 QD= 10。16(2x 8)依題意，得：2 ( 14-x) 10=,解這個方程得：x仁7, x2=11經(jīng)過7s，點P在BC距離C點7cm處，點Q在CA上距離C點6cm處，使SA PCQ=經(jīng)過11s，點P在BC距離C點3cm處，點Q在CA上距離C點14cm處，

12、/ 14 0,點Q已超出CA范圍，此解不存在。故本題只有一解。例1、某種商品原價50元。因銷售不暢,3月份降價10%,從4月份開始漲價,5月份的售 價為元，則4、5月份兩個月平均漲價率為.思維點擊：由題意，3月份的售價可以用 50X( 1 10%表示，若設4、5月份兩個月 平均漲價率為x，則4月份的售價是50X( 1 10%) X (1+x ),5月份的售價是50X( 110%) X( 1 + x ) ( 1 + x )即50X( 1 10% X( 1+x ) 2，由于5月份的售價已知，所以可列出 一個方程，進而解決本題。解：設4、5月份兩個月平均漲價率為 x，由題意，得2 250X( 1 1

13、0%) X( 1 + x) 2=。整理，得(1 + x) 2=.解得：X1 0.2 20%, X22.2 (不合題意，舍去)。所以4、5月份兩個月平均漲價率為 20%解后反思：列方程解應用題，要注意求得的方程的解必須符合題意。800平方米.求截去正方例2、如圖，一塊長和寬分別為 60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為形的邊長 .思維點擊： 設截去正方形的邊長 x 厘米之后，關鍵在于列出底面(圖示虛線部分)長和 寬的代數(shù)式 . 結(jié)合圖示和原有長方形的長和寬，不難得出這一代數(shù)式 .解： 設截去正方形的邊長為 x 厘米，根據(jù)題意，

14、得(60 2x) (40 2x) = 800.原方程可寫成： x2 50x 400 0.解這個方程，得 x1 10,x2 40.如果截去的小正方形的邊長為 40 厘米，那么左下角和右下角的兩個小正方形的邊長之和為 80 厘米，這超過了長方形鐵皮的長 60 厘米，因此 x2 40 不符合題意，應舍去。 答：截去正方形的邊長為 10 厘米。溫馨提示： 在應用一元二次方程解實際問題時，也像以前學習一元一次方程一樣，要注 意分析題意，抓住主要的數(shù)量關系，列出方程，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決 . 求得方 程的解之后，要注意檢驗是否符合題意，然后得到原問題的解答 .范例探究基礎思維探究探究點 1、與圖

15、形有關的問題例 1、為了培養(yǎng)孩子從小熱愛動物的良好品德， 在一邊靠校園 20 米的院墻， 另外三邊用55 米長的籬笆，圍起一個面積為 300m3 的矩形場地組織生物小組學生喂養(yǎng)小鳥、兔子等 小動物問這個場地的各邊長為多少？思維點擊：設與院墻垂直的邊長為 x m，則與院墻平行的邊長為(55-2x)m，根據(jù)矩形面 積公式可列出方程式解：設與院墻垂直的邊長為 x m，則與院墻平行的邊長為(55-2x)m，根據(jù)題意得：x 55 2x 300整理，得 2x2 55x 300 0 .解方程，得 x1 20,x2 15.當x= 20，即與院墻垂直的邊長為 20米時，另一邊長為 20米，即與院墻平行的邊長為

16、15 米25米由于校園的院墻長 20米，20 V 25，所以此解不合題意，應舍去.答：與院墻垂直的邊長為 20米，與院墻平行的邊長為 15米.55 x溫馨提示：若設與院墻平行的邊長為x m則與院墻垂直的邊長為竺上m 根據(jù)矩形2面積公式也可以列出方程式但出現(xiàn)了分數(shù)，不如前一種設法好.探究點2、利潤問題例2、某商場服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了迎接“六一”國際兒童節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出 8件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應

17、降價多少元？思維點擊：每天售出的童裝件數(shù)x每件童裝的利潤=每天這種童裝的總利潤。x解：設每件童裝應降價 x元，根據(jù)題意，得 20 - 8 40 X 1200.4化簡，得 x 30x 2000，解得 x120, x210。因為要盡快減少庫存，所以x應取20。答：每件童裝應降價 20元。溫馨提示：求出方程的解后，必須根據(jù)要求，對方程的解進行合理取舍。探究點3、增長率問題例3、某廠1月份生產(chǎn)零件2萬個，第一季度共生產(chǎn)零件萬個，若每月的增長率相同，求每月的增長率。思維點擊：解：設每月的平均增長率為 x，依題意，得2+2 （1+x） +2 （1+x） 2=經(jīng)整理，得100x +300x-99=0，解得X

18、1=30% 乂2=不合題意，舍去。答：每月的增長率為 30%溫馨提示：（1）解本題的關鍵是理解“萬個零件是3個月生產(chǎn)量的總和”，一定要注意審題；（2）牢記公式a 1 x n b , a為增長率（降低）前的基礎數(shù)量，x為增長率（降低率）,n為增長（降低）的次數(shù)，b為增長（降低）后的數(shù)量綜合思維探究例4、一塊矩形耕地大小尺寸如圖1所示，要在這塊地上沿東西和南北方向分別挖2條和 4 條小渠， 如果小渠的寬相等， 而且要保證余下的耕地面積為9600 米 2 ，那么水渠應挖多寬？圖 1 圖 2思維點擊： 這類問題的特點是， 挖掘所占用土地面積只與挖渠的條數(shù)， 渠道的寬度有關， 而與渠道的位置無關， 為了研究問題方便可分別把東西和南北方向的渠道移動到一起 （最好 靠一邊）。如圖2所示，那么剩余可耕的長方形土地的長為（162-2x）米，寬為（64- 4x）米。解： 設水渠應挖 x 米寬，則根據(jù)題意，得答： 水渠應挖 1 米寬。溫馨提示： 此類問題可采用“靠邊”的辦法使得圖形便于表達長、寬，主要體現(xiàn)了數(shù)學 的化歸思想 .創(chuàng)新拓展思維探究例 5、 機械加工需用油進行潤滑以減小摩擦，某企業(yè)加工一臺大型機械設備潤滑用油量 為 90 千克，用油的重復利用率為60%，按此計算，加工一臺大型機械設備的實際耗油量為36 千克。為