等腰三角形判定講解

1、樂博思等腰三角形（基礎(chǔ)）知識講解責(zé)編：張強 【學(xué)習(xí)目標】1. 掌握等邊三角形的有關(guān)概念、性質(zhì)，利用這些性質(zhì)進行推理、證明、計算和作圖2. 理解并掌握等腰三角形、等邊三角形的判定方法及其證明過程. 通過定理的證明和應(yīng)用，初步了解轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.4. 理解反證法并能用反證法推理證明簡單幾何題.【要點梳理】要點一、等邊三角形的定義1.等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.要點詮釋：（1）等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角

2、（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.a1802b，bc .（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.要點二、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個三角形中，等角對等邊. 要點詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形2.等邊三角形的判定定理三個角相等的三角形是等邊三角形.有一個

3、角是60的等腰三角形是等邊三角形.3. 含有30角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點四、反證法在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過逐步推導(dǎo)論證，最后推出與學(xué)過的概念、基本事實，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明命題的方法叫做反證法.要點詮釋：反證法也稱歸謬法，是一種間接證明的方法，一般適用于直接證明有困難的命題一般證明步驟如下：（1） 假定命題的結(jié)論不成立； （2） 從這個假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出與學(xué)過的概念、基本事實，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛

4、盾的結(jié)果； （3）由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說明命題的結(jié)論是正確的.【典型例題】類型一、等腰三角形的判定5、如圖1，在abc中，bo平分abc，co平分acb，過點o作debc，交ab于點d，交ac于點e（1）試找出圖中的等腰三角形，并說明理由；（2）若bd=4、ce=3，求de的長；（3）若 ab=12、ac=9，求ade的周長；（4）若將原題中平行線de的方向改變，如圖2，odab，oeac，bc=16，你能得出什么結(jié)論呢？【思路點撥】（1）運用兩三角形兩底角相等得出等腰三角形；（2）由等腰三角形兩腰相等求解；（3）由ade的周長=ad+do+oe+ae=ab+ac求解；（4）由o

5、dab，oeac，bo平分abc，co平分acb，得出bdo和eco是等腰三角形，利用等腰三角形兩腰相等得出ode的周長等于bc的長度【答案與解析】解：（1）dbo和eoc是等腰三角形bo平分abc，dbo=cbo，debc，cbo=dob，dbo=dob，db=do，dbo是等腰三角形，同理eoc是等腰三角形；（2）bd=4、ce=3，由（1）得出do=4，eo=3，de=do+oe=4+3=7；（3）ade的周長=ad+do+oe+ae；do=db，oe=ec，ade的周長=ab+ac，ab=12、ac=9，ade的周長=ab+ac=12+9=21；（4）odab，oeac，bo平分abc

6、，co平分acb，bdo和eco是等腰三角形，bd=do，ce=oe，bc=16，ode的周長為16即ode的周長等于bc的長度【總結(jié)升華】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的兩角相等或兩邊相等舉一反三【變式】如圖，abc中，d、e分別是ac、ab上的點，bd與ce交于點o給出下列四個條件：ebd=dco；beo=cdo；be=cd；ob=oc上述四個條件中，哪兩個條件可判定abc是等腰三角形，選擇其中的一種情形，證明abc是等腰三角形【答案】；都可以組合證明abc是等腰三角形；選為條件證明abc是等腰三角形；證明：在ebo和dco中，ebodc

7、o（aas），bo=co，obc=ocb，ebo+obc=dco+ocb，即abc=acb，ab=ac，abc是等腰三角形類型五、 含有30角的直角三角形6. 如圖所示，abc中，acb=90，cdab，垂足是d，a=60.求證：bd=3ad. 【答案與解析】證明：cdab，adc=90，又a=60，acd=30在rtacd中，ad=ac，又acb=90，在rtacb中，b=30，ac=ab ad= ab，則ad=bd，即bd=3ad.【總結(jié)升華】根據(jù)直角三角形中30角所對的邊是斜邊的一半可得到bc=2bd，ab=2bc，從而可推出ab=4bd，從而不難證得bd與ad的數(shù)量關(guān)系此題主要考查含3

8、0角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半舉一反三：【變式】如圖，已知，在四邊形abcd中，adbc，bd平分abc，a=120，cd=4cm，abc=dcb，求bc的長【答案】解：adbc，a=120，abc=180120=60，bd平分abc，dbc=abc=60=30，又abc=dcb=60，bdc=1803060=90，bc=2cd=24=8cm類型六、反證法7. 求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60?！敬鸢浮恳阎篴bc 求證：abc中至少有一個內(nèi)角小于或等于60證明： 假設(shè)abc中沒有一個內(nèi)角小于或等于60則a60,b60,c60a+b+c60+60+60=180即a+b+c180，這與三角形的內(nèi)角和為180度矛盾假設(shè)不成立abc中至少有一個內(nèi)角小于或等于60【總結(jié)升華】本題結(jié)合三角形內(nèi)角和定理考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟反證法的步驟是： （1）假設(shè)結(jié)論不成立； （2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾； （3）假設(shè)的結(jié)論不成立，則原題中的結(jié)論成立 在假設(shè)結(jié)論不