第08講-正方形的性質與判定-學案

1、第08講 正方形的性質與判定一、平行四邊形的性質與判定1、 平行四邊形的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。2、 平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。3、 平行四邊形的判別方法：平行四邊形中有4條判定定理：簡記為一組兩組兩條一組（對邊平行且相等）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形兩組（對邊平行、對邊相等）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩條（對角線相互平分）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形二、菱形的性質與判定：1、 菱形的定義： 有一組鄰邊相等的平行四邊形

2、叫做菱形，菱形是特殊的平行四邊形。2、 菱形的性質：（1）對邊平行，四邊相等。（2）對角相等，鄰角互補。（3）對角線互相垂直平分且每一條對角線平分一組對角。四邊形abcd是菱形ab=bc=cd=daacbd 四邊形abcd是菱形3、菱形的判定：（1） 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（2） 對角線互相垂直的平行四邊形。平行四邊形abcd四邊形abcd是菱形acbdb（3） 四條邊都相等的四邊形。ab=bc=cd=daabcd是菱形（4） 菱形的面積=邊長高=對角線的乘積的一半。三、矩形的性質與判定：矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（矩形是特殊的平行四邊形）。矩形的性質：矩形具有平

3、行四邊形的一切性質。（1） 邊：對邊平行且相等。（2） 角：四個角都是直角。（3） 對角線：互相平分且相等。矩形的判定：（1） 有一個角是直角的平行四邊形。（2） 對角線相等的平行四邊形。（3）有三個角是直角的四邊形。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 典例分析例1、下列說法正確的是（）a對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形b對角線互相垂直平分的四邊形是正方形c對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形d對角線相等且互相平分的四邊形是矩形例2、已知：如圖，mon=45，oa1=1，作正方形a1b1c1a2，面積記作s1；再作第二個正方形a2b2c2a3，面積記作s2；繼續(xù)作第三個正方形a3b3

4、c3a4，面積記作s3；點a1、a2、a3、a4在射線on上，點b1、b2、b3、b4在射線om上，依此類推，則第6個正方形的面積s6是（）a256b900c1024d40963例3、如圖，正方形abcd的對角線ac與bd相交于點o，acb的角平分線分別交ab、bd于m、n兩點，若am=2，則正方形的邊長為（）a4b3c2+d例4、如圖，正方形aefg的頂點e，g在正方形abcd的邊ab，ad上，連接bf，df則be：cf的值為例5、如圖，正方形abcd中，以對角線bd為邊作菱形bdfe，使b，c，e三點在同一直線上，連接bf，交cd與點g（1） 求證：cg=ce；（2） 若正方形邊長為4，求

5、菱形bdfe的面積 舉一反三1、 如圖，在平面直角坐標系中，正方形a1b1c1d1、d1e1e2b2、a2b2c2d2、d2e3e4b3、a3b3c3d3，按圖示的方式放置，其中點b1在y軸上，點c1、e1、e2、c2、e3、e4、c3，在x軸上，已知正方形a1b1c1d1的邊長為1，b1c1o=60，b1c1b2c2b3c3，則正方形a2016b2016c2016d2016的邊長是（）2016d（）20152、 如圖，在正方形abcd中，e、f分別是邊bc、cd上的點，eaf=45，ecf的周長為4，則正方形abcd的邊長為（）a2b3c4d553、 如圖，四邊形abcd是正方形，以cd為邊

6、作等邊三角形cde，be與ac相交于點m，則amd的度數是（）a75b60c54d67.54、 如圖，在平面直角坐標系中，點a的坐標是（0，3），點b的坐標是（4，0），以ab為邊作正方形abcd，連接od，db則dob的面積是5、 如圖，設四邊形abcd是邊長為1的正方形，以正方形abcd的對角線ac為邊作第二個正方形acef，再以第二個正方形的對角線ae為邊作第三個正方形aegh，如此下去，記正方形abcd的邊長a1=1，依上述方法所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，, 則an=6、 如圖，四邊形abcd是邊長為a的正方形，點g、e分別是邊ab、bc的中點，aef=90，且ef交正方

7、形外角的平方線cf于點f（1） 證明：ageecf；（2） 求aef的面積典例分析例1、下列說法不正確的是（）a有一個角是直角的平行四邊形是正方形b對角線相等的菱形是正方形c對角線互相垂直的矩形是正方形d一組鄰邊相等的矩形是正方形例2、如圖，在abc中，點e，d，f分別在邊ab、bc、ca上，且deca，dfba下列四個判斷中，不正確的是（）a四邊形aedf是平行四邊形b如果bac=90，那么四邊形aedf是矩形c如果ad平分bac，那么四邊形aedf是菱形d如果adbc且ab=ac，那么四邊形aedf是正方形例3、如圖，點e在正方形abcd的對角線ac上，且ec=3ae，直角三角形feg的兩

8、直角邊ef、eg分別交bc、dc于點m、n若正方形abcd的邊長為a，則重疊部分四邊形emcn的面積為例4、已知：如圖，在abc中，ab=ac，d是的bc邊的中點，deac，dfab，垂足分別是e、f（1） 求證：de=df；（2） 只添加一個條件，使四邊形edfa是正方形，并給出證明 舉一反三1、 菱形，矩形，正方形都具有的性質是（）a對角線相等且互相平分b對角線相等且互相垂直平分c對角線互相平分d四條邊相等，四個角相等2、 如圖，有一塊邊長為4的正方形塑料模板abcd，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在a點，兩條直角邊分別與cd交于點f，與cb延長線交于點e則四邊形aecf的面積是3、

9、 如圖，過正方形abcd的頂點d作deac交bc的延長線于點e（1） 判斷四邊形aced的形狀，并說明理由；（2） 若bd=8cm，求線段be的長a對角線互相垂直b對角線相等c對角線互相平分d對角相等2、如圖，正方形aefg的邊ae放置在正方形abcd的對角線ac上，ef與cd交于點m，得四邊形aemd，且兩正方形的邊長均為2，則兩正方形重合部分（陰影部分）的面積為（）a 4+4 b b4+4 c c84d d+1 3、如圖，正方形abcd的邊長為9，將正方形折疊，使頂點d落在bc邊上的點e處，折痕為gh若be：ec=2：1，則線段ch的長是（）a3b4c5d64、已知：如圖，點e，f，p，q

10、分別是正方形abcd的四條邊上的點，并且af=bp=cq=de求證：（1）ef=fp=pq=qe；（2）四邊形efpq是正方形優(yōu)學學霸1【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖，在正方形abcd的外側，作兩個等邊三角形abe和adf，連結ed與fc交于點m，則圖中adedfc，可知ed=fc，求得dmc=【拓展應用】如圖，在矩形abcd（abbc）的外側，作兩個等邊三角形abe和adf，連結ed與fc交于點m（1） 求證：ed=fc（2） 若ade=20，求dmc的度數1、如圖，正方形abgd中，ab=ad=6，梯形abcd中，dedc交ab于e，df平分edc交bc于f，連結ef（1）證明：ef=cf；套路揭密：（

11、1） 考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法；（2） 幾何圖形中，仔細分析圖形的構成并熟練掌握各種性質是解題的關鍵。1、 如圖，在正方形abcd中，e、f分別是邊bc、cd上的點，eaf=45，ecf的周長為4，則正方形abcd的邊長為（）a2b3c4d52、 如圖，四邊形abcd是正方形，以cd為邊作等邊三角形cde，be與ac相交于點m，則amd的度數是（）a75b60c54d67.53、 如圖，e是邊長為1的正方形abcd的對角線bd上一點，且be=bc，p為ce上任意一點，pqbc于點q，prbe于點r，則pq+pr的值是（）cd 4、如圖，將正方形oabc放在平面直角坐標系中，o是原點，a的坐標為（，1），則點c的坐標為（）a（，1）b（1，）c（1，）d（1，）5、 如圖，在rtabc中，abc=90，ab=6，bc=8，以斜邊ac為邊作正方形acde，連