-隱函數(shù)求導公式[章節(jié)練習]

1、第5節(jié)：隱函數(shù)的求導公式教學目的：掌握由一個方程和方程組確定的隱函數(shù)求導公式，熟練計算隱函數(shù)的導函數(shù)。教學重點：由一個方程確定的隱函數(shù)求導方法。教學難點：隱函數(shù)的高階導函數(shù)的計算。教學方法：講授為主，互動為輔教學課時：2教學內容：一、一個方程的情形 在第二章第六節(jié)中我們已經提出了隱函數(shù)的概念，并且指出了不經顯化直接由方程 =0 (1) 求它所確定的隱函數(shù)的方法?，F(xiàn)在介紹隱函數(shù)存在定理，并根據(jù)多元復合函數(shù)的求導法來導出隱函數(shù)的導數(shù)公式.隱函數(shù)存在定理1 設函數(shù)在點的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數(shù)，且，, ，則方程=0在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 （2

2、） 公式（2）就是隱函數(shù)的求導公式這個定理我們不證?，F(xiàn)僅就公式(2)作如下推導。將方程(1)所確定的函數(shù)代入，得恒等式 ,其左端可以看作是的一個復合函數(shù)，求這個函數(shù)的全導數(shù)，由于恒等式兩端求導后仍然恒等，即得 由于連續(xù)，且，所以存在(x0,y0)的一個鄰域，在這個鄰域內，于是得 如果的二階偏導數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式(2)的兩端看作的復合函數(shù)而再一次求導，即得 例1 驗證方程在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個單值且有連續(xù)導數(shù)、當=0時，的隱函數(shù)，并求這函數(shù)的一階和二階導數(shù)在=0的值。解 設，則,.因此由定理1可知，方程在點(0,1)的某鄰域內能唯一確定一個單值且有連續(xù)導數(shù)、當=0時，的

3、隱函數(shù)。下面求這函數(shù)的一階和二階導數(shù) =， ; = 。隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù).既然一個二元方程(1)可以確定一個一元隱函數(shù)，那末一個三元方程 ()=0 (3)就有可能確定一個二元隱函數(shù)。與定理1一樣，我們同樣可以由三元函數(shù)()的性質來斷定由方程()=0所確定的二元函數(shù)=的存在，以及這個函數(shù)的性質。這就是下面的定理。隱函數(shù)存在定理2 設函數(shù)()在點的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數(shù)，且，則方程()=0在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 =,=. (4)這個定理我們不證.與定理1類似，僅就公式(4)作如下推導.由于 (, )0,將上式兩端分別對和

4、求導，應用復合函數(shù)求導法則得 +=0, +=0。因為連續(xù)，且,所以存在點的一個鄰域，在這個鄰域內0，于是得 =,=。 例2 設，求解 設 () =，則=2, =.應用公式(4)，得 =。再一次對求偏導數(shù)，得二、方程組的情形下面我們將隱函數(shù)存在定理作另一方面的推廣。我們不僅增加方程中變量的個數(shù)。而且增加方程的個數(shù)，例如，考慮方程組 (5)這時，在四個變量中，一般只能有兩個變量獨立變化，因此方程組(5)就有可能確定兩個二元函數(shù)。在這種情形下，我們可以由函數(shù)、的性質來斷定由方程組(5)所確定的兩個二元函數(shù)的存在，以及它們的性質。我們有下面的定理。隱函數(shù)存在定理3 設函數(shù)、在點的某一鄰域內具有對各個變

5、量的連續(xù)偏導數(shù)，又，,且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可比(Jacobi)式): =在點不等于零，則方程組，在點的某一鄰域內恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 (6) 這個定理我們不證.與前兩個定理類似，下面僅就公式(6)作如下推導。由于 ,0, ,0,將恒等式兩邊分別對求導，應用復合函數(shù)求導法則得 這是關于, 的線性方程組，由假設可知在點的一個鄰域內，系數(shù)行列式 從而可解出, ，得 , . 同理，可得 , .例3 設，求,和.解 此題可直接利用公式(6)，但也可依照推導公式(6)的方法來求解。下面我們利用后一種方法來做。將所給方程的兩邊對求導并移項，得 在的條件下， 將所給方程的兩邊對求導，用同樣方法在的條件下可得 例4 設函數(shù)在點()的某一鄰域內連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)，又 (1)證明方程組 (7)在點的某一鄰域內唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)。(2)求反函數(shù)對的偏導數(shù)。解 (1)將方程組(7)改寫成下面的形式 則按假設 由隱函數(shù)存在定理3，即得所要證的結論。(2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)代入（7），即得 將上述恒等式兩邊分別對求偏導數(shù)，得 由于0，故可解得 同理，可得 小結：本節(jié)在前面已提出隱函數(shù)概念的基礎上，根據(jù)多元