一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與易錯(cuò)題

1、元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)考點(diǎn)一、一元二次方程1、元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。2、元二次方程的一般形式:ax2+bx + c=O(a hO)，它的特征是：等式左邊一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次 項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)?？键c(diǎn)二、一元二次方程的解法 1、直接開平方法： 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適 用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x + a是b的平方根，當(dāng)b0 時(shí)，x+a=7E， x = -

2、a7b，當(dāng)b0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;II當(dāng) =0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根;III當(dāng) 0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根?？键c(diǎn)四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 如果方程ax?+bx+c =0（a工0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是Xi，x?，那么xi x? =-b， xix。也就是aa說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù) 所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商?？键c(diǎn)五、一元二次方程的二次函數(shù)的關(guān)系 二次函數(shù)（即拋物線）了，對(duì)他也有很深的了解，好像解法，在圖象中表示等等，其實(shí)一元 次方程也可以用二次函數(shù)來(lái)表示，其實(shí)一元二次方程也是

3、二次函數(shù)的一個(gè)特殊情況，就是當(dāng) 的0的時(shí)候就構(gòu)成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐標(biāo)系中表示出來(lái)，一元二次方程就 是二次函數(shù)中，圖象與X軸的交點(diǎn)。也就是該方程的解了二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)、二次函數(shù)概念:21.二次函數(shù)的概念：一般地，形如 yxx +bx+c（ a，b，c是常數(shù)，aHO ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)aH0，而b，c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)。22. 二次函數(shù)yxx + bx+c的結(jié)構(gòu)特征:X的最咼次數(shù)是2.c是常數(shù)項(xiàng). 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量 X的二次式,a，b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù),、二次函數(shù)的基本形式2

4、1. 二次函數(shù)基本形式：y=ax的性質(zhì): a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a aO向上(0 ,0)y軸xaO時(shí)，y隨X的增大而增大；x0時(shí)，y隨X的增大而減??；X =0時(shí)，y有最小值0 .a 0向下(0，0)y軸xiO時(shí)，y隨X的增大而減?。粁0向上(0 ,c)y軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨X的增大而減小；X =0時(shí)，y有最小值c .a C0向下(0，c)y軸XAO時(shí)，y隨X的增大而減??；x0向上(h，0)X=hXM時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減?。籜 = h時(shí)，y有最小值0 .a c0向下(h ,0)X=hXAh時(shí)，y隨X的

5、增大而減??；Xh時(shí)，y隨X的增大而增大；X =h時(shí)，y有最大值0 .24. y=a(x-h)+k 的性質(zhì):a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a :0向上(h , k)X=hXAh時(shí)，y隨X的增大而增大；xh時(shí)，y隨X的增大而減?。粁=h時(shí)，y有最小值k.a c0向下(h，k)X=hxAh時(shí)，y隨X的增大而減??；xch時(shí)，y隨X的增大而增大；X =h時(shí)，y有最大值k .三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟:2方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h ）+k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)（h ,k ）； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到（h，k）處，具體平移方法如下:y=aX向上岡【或向下0】平移個(gè)

6、單位1ly=aX+k向J上0）【或下0】平移個(gè)單位向右0）【或左0） 平移k個(gè)單位向右0）【或左0） 平移k個(gè)單位向上00）1或下0） 平移個(gè)單位向右0）【或左0） 平移k個(gè)單位y=ax-h2yyiOx-k2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加 右減，上加下減”.方法二：2 2 2y=ax +bx+c沿y軸平移：向上（下）平移m個(gè)單位，y = ax +bx+c變成y = ax bx+c + m2(或 y = ax +bx+c m)2 2y x +bx +c沿軸平移：向左（右）平移m個(gè)單位，y-ax + bx + c變成2 2y =a(x

7、+m) +b(x+m)+c (或 y=a(x-m) + b(x-m)+c)2 2四、二次函數(shù)y=a（x-h）+k與yxx +bx+c的比較2 2從解析式上看，y =a（x -h ） +k與y X +bx+c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到y(tǒng)#+口前者，即 I 2a丿+屮 h,k=g4a ，其中 2a4a五、二次函數(shù)+bx+c圖象的畫法2 2五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y=ax + bx+c化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h） +k ,確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、 與y軸的交點(diǎn)（，c）、以及，c）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)a，c

8、）、與x軸的交點(diǎn)（X1,0 ）,（X2,0 ）（若X軸的交點(diǎn),與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與六、二次函數(shù)2yax +bx+c的性質(zhì)1.當(dāng)a0時(shí),bX = 拋物線開口向上，對(duì)稱軸為2af-，頂點(diǎn)坐標(biāo)為I 2a4ac-b24abX 2a時(shí),bX =y隨X的增大而增大；當(dāng)2a時(shí)，y有最4ac -bbX -y隨x的增大而增大；當(dāng)2a時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)七、二次函數(shù)解析式的表示方法 1. 一般式：y-aJ+bx+c（ a , b , c 為常數(shù)，a 丸）；22.頂點(diǎn)式：y=a（x-h） +k（ a , h , k 為常數(shù)，0）； 小值

9、 4a2.當(dāng)a0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然aHO當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小,開口越大;當(dāng)ao，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè). 在xo的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)0時(shí)，一盤0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸02a，即拋物線對(duì)稱軸=0右側(cè)；當(dāng)b=0時(shí)，2a ，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；當(dāng)b 0，在y軸的右側(cè)則ab W 0，概括的說(shuō)就是“左同右異”3. 常數(shù)項(xiàng)C 當(dāng)CAO時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在X軸上方，即拋物線與y

10、軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;當(dāng)c=o時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0； 當(dāng)c0時(shí)，圖象與X軸交于兩點(diǎn)Ap1，0B（X2，0）（為如），其中的xi，x2是一元二次2AB =|x2 -Xi| =方程ax +bx+c=0（aH0 ）的兩根.這兩點(diǎn)間的距離a、b、當(dāng)也=0時(shí),當(dāng)A 0時(shí),圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);圖象與x軸沒有交點(diǎn).圖象落在x軸的上方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有圖象落在x軸的下方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y 0拋物線與x軸有兩二次三項(xiàng)式的值可正、可元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根個(gè)交點(diǎn)零、可負(fù)也=0拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根也

11、0拋物線與x軸無(wú)交占八、二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式2ax +bx+ c（aHO）本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a aO時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系:圖像參考:22-3【例題經(jīng)典】由拋物線的位置確定系數(shù)的符號(hào)例1（ 1）二次函數(shù)y =ax2 +bx壯的圖像如圖1,則點(diǎn)MQ；）在（）A.第一象限B .第二象限 C.第三象限D(zhuǎn) .第四象限(2)已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c (0)的圖象如圖2所示，？則下列結(jié)論：a b同號(hào); 當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；4a+b=0;當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.

12、其中正確的個(gè)數(shù)是i廠V Jy/,V達(dá)A. 1 個(gè) B . 2 個(gè) C.3個(gè) D . 4個(gè)【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線的位置與系數(shù) a, b, c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵.例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2 , O)、(x1 , 0)，且1x12,與y軸的 正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(O, 2)的下方.下列結(jié)論：abO4a+cO,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D . 4個(gè) 答案：D 會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 例3.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個(gè)根為x=-2 ,且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=2,則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)

13、為()(3 , 2)A(2, -3)B.(2, 1)C(2, 3) D答案：C例4、(煙臺(tái)市)如圖(單位：m，等腰三角形 直到AB與CD重合.設(shè)x秒時(shí)，三角形與正ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動(dòng),方形重疊部分的面積為ym2(1)寫出y與x的關(guān)系式；(2)當(dāng)x=2, 3.5時(shí)，y分別是多少?(3)當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，三角形移動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸.例5.已知：二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(4，10)，交x軸于A(xi,0)，B(x2，0)兩點(diǎn)(Xi *2)，交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，且滿足3AO=OB(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在

14、二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn) M使銳角/ MCOZ A CO若存在,請(qǐng)你求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由.(1)解：如圖拋物線交x軸于點(diǎn)A(x1 , 0) , B(x2 , O),則 x1 x2=3vo,又 x10, x1vO, / 30A=OB. x2=-3x1 . x1 x2=-3x12=-3 . x12=1.x10, x1=-1 . x2=3.點(diǎn)A(-1 , O), P(4, 10)代入解析式得解得a=2 b=3 二次函數(shù)的解析式為y-2x2-4x-6 . 存在點(diǎn)M使/ MC0N ACO解：點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A (1 , O),直線A, C解析式為y=6x-6直線AC與

15、拋物線交點(diǎn)為(0 ,-6),(5 , 24) 符合題意的x的范圍為-1x0或0VXV5當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)滿足-1x0或0VXV5時(shí),/ MCONACO一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(3-弱，0).5y = 一，令x=3代入解析式，得 2所以拋物線125y =-x -3x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(32)，所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，號(hào)等等。函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑(圖象、解析式等)了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。元二次方程易錯(cuò)題1、選擇題若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x 2+5x+nn-3m+2=0有一個(gè)

16、根為0 ,貝U m的值等于()A . 1 B . 2 C2、巴中日?qǐng)?bào)訊：今年我市小春糧油再獲豐收，全市產(chǎn)量預(yù)計(jì)由前年的45萬(wàn)噸提升到50萬(wàn)噸,設(shè)從前年到今年我市的糧油產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為x ,則可列方程為()45(1 + 2x) =50A . 45 +2x=50 B . 45(1 +x)2 =50 C . 50(1-x)2 =45 D.3、已知a, b是關(guān)于x的一元二次方程X2+ nx1=0的兩實(shí)數(shù)根,則的值是（）a b4、A . n2 +22 2B.-n +2C.n -22D.-n -2已知a、b、c分別是三角形的三邊，則（a + b）x2 + 2cx + （a+ b） = 0的根的情況是（A

17、.沒有實(shí)數(shù)根B.可能有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根已知m,n是方程X2 -2x-1 =0的兩根，且（7m2 -14 m + a）（3 n2 -6 n- 7） = 8，則a的值等于6、A. 5B.5C.-9D.9已知方程+bx+a=0有一個(gè)根是-a（aH0），貝U下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（7、a -bA. abx2 -2x -2 =0的一較小根為X1,下面對(duì)X1的估計(jì)正確的是（）A . 一2 c % c -1B . 一1 為 0C. 0 c Xj c1D . 1 x 28、關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是X1、X2，且 X： +

18、X； = 7，貝Ua -X2）2的值是（）A. 1B . 12C . 13D . 259、中江縣20XX年初中畢業(yè)生診斷考試）某校九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送了 2450張相片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意,列出方程為（）A. x(x-1)=2450 B. x(x+1)=2450 C. 2x(x+1)=2450 D. X(1 2450210、設(shè)a，b是方程x2 +x-2009 =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值為（） 11、對(duì)于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a工0），下列說(shuō)法:A. 2006B. 2007C. 2008D. 2009若a+c=0,方程ax2+bx+c=0必有實(shí)數(shù)根；若b +4ac0,則方程ax2+bx+c=0 定有實(shí)數(shù)根; 若a-b+c=0，貝U方程ax2+bx+c=0 一定有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根; 若方程ax2 +bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則方程cx2 +bx+a=0一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.其中正確的是()A . B . C . D .、填空題 1、若一元二次方程x5、在等腰 ABC中，三邊分別為a, b, c,其中a=5,若關(guān)于x的方程x +(b+2