word完整版專題基本不等式常見題型歸納教師版推薦文檔

1、專題函數(shù)常見題型歸納三個(gè)不等式關(guān)系:(1) a, b R, a2+ b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取等號(hào).（2） a, b r+, a+ b2何，當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取等號(hào).a2+ b2 a亠 b（3） a, b R,空廠w（號(hào)）2,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取等號(hào).上述三個(gè)不等關(guān)系揭示了 a2+ b2 , ab , a + b三者間的不等關(guān)系.a + b其中，基本不等式及其變形：a, b r+, a + b ab（或ab b!且2log a b 3logb a 7，則1的最小值為a b21第6頁共27頁【解析】 a b1 且 2log a b 3logb a7 /. 2log a b3logab7，

2、解得 loga b1 2loga b 3 , ab1 /. logab - ,即卩 a b . a 21b2 1 a=12Ja 1 a 13.練習(xí)：1.（南京市、鹽城市2015屆高三年級(jí)第一次模擬10）若實(shí)數(shù)X, y滿足x y2 2且 log 2 X log 2 y 1，則-一乞的最小值為X y22,、2c一一一 X y (X y) 2xy解析：由 log2x+log2y=1 可得 log2xy=1=log22，則有 xy=2，那么 x y = X y =( xy)+=嚇X y) 1=4,當(dāng)且僅當(dāng)(X-y) =d，即 x1, M - 1時(shí)等號(hào)成立，故2 2的最小值為4.y2.（蘇北四市（徐州、

3、淮安、連云港、宿遷）2017屆高三上學(xué)期期末）若實(shí)數(shù)X, y滿足xy3x 3(0 X丄），則3丄的最小值為2 X y 33.(無錫市2017屆高三上學(xué)期期末）已知a 0,b0,c2 ,且ab 2，則acbc c75ab 2 c 2的最小值為【典例2】（南京市2015屆高三年級(jí)第三次模擬-12）已知X, y為正實(shí)數(shù)，則4x y+4x+ y x+ y的最大值為解析：由于224x y 4x(x y) y(4x y) 4x 8xy y- + = = 224X+ y X+ y(4x y)(x y) 4x 5xy y=1 + 3 w 1 +3=4,2 L2 x yI 34 - - 52 4- -y5y x

4、V y X=1 +4x2 5xy y當(dāng)且僅當(dāng)4- = 乂，即y=2x時(shí)等號(hào)成立.y X【典例3】若正數(shù)a、b滿足ab ab 3,則a b的最小值為解析：由 a,b R，得 ab a b 3（旦b 22廠)，(a b) 4(ab) 120,解得 a b 6（當(dāng)且僅當(dāng)a b且ab a b 3,即ab 3時(shí),取等號(hào)）.變式:1.若 a, bR ,且滿足a2b2ab,則a b的最大值為解析:因?yàn)閍,b R ,所以由2 .2abaaba2b2(a b)22-,(a b)2(ab)0，解得02（當(dāng)且僅當(dāng)b 且 a2 b2b,即a b 1時(shí),取等號(hào)）.2.設(shè) X 0,2y 2xy 8，則2y的最小值為3.設(shè)

5、 X, yR , 4x22y xy 1,則 2x4.（蘇北四市（淮安、足1 9腹5, a b宿遷、連云港、徐州）則ab的最小值為2怖52017屆高三上學(xué)期期中）已知正數(shù) a , b滿y的最大值為【題型二】含條件的最值求法【典例4】（蘇州市 2017屆高三上期末調(diào)研測試）已知正數(shù)X, y滿足x y1，則1的最小值為y 1練習(xí)1.（江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)期末.14）已知正數(shù)X, y滿足1X4x則上1X 19yy 1的最小值為1 1解析：對于正數(shù) X, y,由于丄+丄日,X y4x則知x1, y1，那么4x化）1+山）（X y4x X 1 丄 I 4y y 1 1 =玄2=25，當(dāng)且僅當(dāng)4xX 1時(shí)等

6、號(hào)成立.X2. (2013-2014學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查-11 ）已知正數(shù)X, y滿足X 2y 2 ，則y的最小值為xy解析：gxyX 2y2當(dāng)且僅當(dāng)業(yè)時(shí)，取等號(hào).2y X故答案為:3.（南通市2015屆高三第一次調(diào)研測試12)已知函數(shù)ax b（b 0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（1,3），如下圖所示，則a 111的最小值為解析：由題可得 a+b=3，且a1，那么 4+1 = 1 (a 1+b)(a 1 b 2n) =1( 4+邑Ja 1 b 2 b4b+a 1+1 ) 1 (224b9d +5) =9，當(dāng)且僅當(dāng)a 12a 1b4b竺時(shí)等號(hào)成立.a 14 .（江蘇省蘇北四市2015屆高三第一

7、次模擬考試12)己知 a, b為正數(shù)，且直線ax by 60與直線 2x(b 3)y50互相平行，則2a+3b的最小值為【解析】由于直線ax+by- 6=0與直線2x+ （ b 3） y+5=0互相平行，則有a亠，即2 b 33a+2b=ab,那么 2a+3b= (2a+3b)3a : ab6a 6b+13=25，當(dāng)且僅當(dāng)覚選，即b a2b3 2 6a 6b=(2a+3b)( b+- nr,132Yb aa=b時(shí)等號(hào)成立.a 2 b 15.常數(shù)a,b和正變量x,y滿足ab= 16,? + 丫=2若x+ 2y的最小值為64,則ab=答案：64;（考查基本不等式的應(yīng)用).6.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足1

8、2a b b2b1，貝y ab的最大值為答案：2乎【題型三】代入消元法【典例5】（蘇州市2016屆高三調(diào)研測試已知ab-,a,b (0,1),4最小值為解析：由ab丄得a44b令7b 17b4b2 5b 14b4b 149t4b212b 24b2 5b 14t227t 1849184t 一 27t7b 14b2 5b 1 4忑3當(dāng)且僅當(dāng)2等號(hào)成立.14第8頁共27頁練習(xí)1.（江蘇省揚(yáng)州市2015屆高三上學(xué)期期末 12）設(shè)實(shí)數(shù)X, y滿足X2+ 2xy 1= 0,則x2 + y2的最小值是2 2 2解析：由X2+ 2xy 1 = 0可得y=W，那么 x2+ y2= x2+ 專=興第5頁共27頁1

9、4x2 1_遲2= 25當(dāng)且僅當(dāng)5x2=414x2，即/=丄時(shí)等號(hào)成立.5蘇州市 2014屆高三調(diào)研測13）已知正實(shí)數(shù)X , y滿足，則x + y的最小值為第11頁共27頁(0解析：正實(shí)數(shù)X, y滿足xy+2x+y=4,.x+y=x+x+1第 12 頁 共 27 頁時(shí)取等號(hào).二x+y的最小值為故答案為第 8 頁 共 27 頁3.(南通市2014屆高三第三次調(diào)研測試-9)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足(x 1)(y 1)16，則 x y的最小值為/正16實(shí)數(shù) x , y 滿足(x - 1 ) ( y+1 ) =16 ,/ x y 11 ,二 x+y=16162 ( y 1 8，當(dāng)且僅當(dāng)y=3, (x=5)

10、時(shí)取等號(hào)./ x+yV y 1的最小值為&故答案為:4.(揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期中)若a 0,b 2，且a b 3,則使得-a1取得b 2最小值的實(shí)數(shù)a=5.設(shè)實(shí)數(shù)X、y滿足x2 + 2xy 1 = 0,貝U x+ y的取值范圍是2 2 26.已知x, y,zR，且x y z 1 , x y z 3，求xyz的最大值為【題型四】換元法【典例6】(南京市、鹽城市 2016屆高三年級(jí)第二次模擬考試-13 )已知函數(shù)f(x)= ax2 + xb(a, b均為正數(shù))，不等式f(x)0的解集記為 P,集合Q = x| 2-1xv 2+t.若1 1對于任意正數(shù)t, Pn QM，則1-1的最大值是【解

11、析】由題意可知任意正數(shù)t,集合Q=x| 2 tx 2 + t,構(gòu)成的集合Qt的交集為2 ，即f4a 2 b 0,b 4a 2 ,3a9u24u 10u41,或a 1(舍) b 0,故 a944u 10u11 11-.則11的最大值是1.2a b2181 1 1b a 4a 211，當(dāng)且僅當(dāng)u21 ,等號(hào)成立,2.(2016年江蘇省淮安、宿遷、連云港、徐州高考數(shù)學(xué)一模試卷b C滿足b+c豈，則一L*的最小值為.14)已知正數(shù)a, b, c第21頁共27頁bCM + Cb 1(越)解法一：正數(shù)a, b, c滿足b+c初,b (m 2)OC ODuuu ULU uuur ULTm(OC OB) (O

12、D OA)對任意實(shí)數(shù) a , b, c, d都成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是解析：由題意得：（ac)22(b d) (m 2)(ac bd) mbc,22,2,2 “a +c b +d m(acbdbc)2 2 2 2 a (mc)a+(c b +dmbd mbc） 0對任意實(shí)數(shù)a都成立，因此2 2 2 2(mc) 4(c b +d2 2mbd mbc) 0 , 即卩 4d 4mbd 4(c2 2b mbc) (mc) 0 對任意實(shí)數(shù)d都成立，即12 2 2 2 2(4mb)4 4(4c 4b 4mbc m c(m22 24)b 4mbc 4c2 2m c0對任意實(shí)數(shù)-b都成立，即16 0,2 2

13、2 2 2 4 240, 2(4mc) (m 4)( 4c m c )0, m 12m6 2厲，即175 m 75 1，實(shí)數(shù)m的最大值是75【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判別式法、分離參數(shù)法、換主元法.判別式法:將所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對于二次函數(shù)f(x)2axbx c(a0,x R),有1）f(x)R恒成立2）f(x)R恒成立00分離變量法：若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題 轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值。一般地有:1) f(x) g(a)(a為參數(shù))恒成立 g(a) f(x)

14、max2) f(x) g(a)(a為參數(shù))恒成立 g(a) f(x)max確定主元法：如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡化解題過程。2.（南京市2014屆高三年級(jí)第三次模擬214）設(shè)二次函數(shù)f X axbx c( a,b,c 為常數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)為fx .對任意x R,不等式f xf x恒成立,b2則2的最大a c值為2解析：/ f x axbx2 axb , 對任意xR,不等式f X f x恒成立， ax2 bx2 ax b恒成立，即ax2 b 2a xc b 0恒成立，故2b 2a 4a cb2 4a2 4ac0，且 a 0 ,2 2即 b 4ac 4a ,

15、故4b222a c4ac 4a222a c4-4a21 ca4 -1a2E 1a42/2 22，故答案為:2/2 2 【題型六】分離參數(shù)法【典例8】（2013-2014學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高三（上）期末- 14)已知x0,y 0，若不等第27頁共27頁式X3+y3沫xy （ x+y）恒成立，則實(shí)數(shù) k的最大值為 解析 x0, y0,.不等式 x3+y3 kxy(x+y)可化為，x2- xy+y2 kxy 即畀蘭+ 42由基本不等式得，y 乳 kW2 1=1,.實(shí)數(shù)k的最大值為1,故答案為：1 練習(xí)1.（江蘇省蘇北三市2016屆最后一次模擬3）已知對滿足x y 4 2xy的任意正實(shí)數(shù)x, y，都有x2xyax ay 10 ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為2解析：x 2xyax ay0