（天津專用）2020屆高考數(shù)學一輪復習 第九章 直線和圓的方程 9.2 直線、圓的位置關系課件

1、統(tǒng)一命題、省統(tǒng)一命題、省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組 五年高考 1.(2018課標,6,5分)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則ABP 面積的取值范圍是() A.2,6B.4,8 C.,3D.2,32222 答案答案A本題考查直線與圓的位置關系. 由圓(x-2)2+y2=2可得圓心坐標為(2,0),半徑r=,ABP的面積記為S,點P到直線AB的距離記為 d,則有S=|AB|d.易知|AB|=2,dmax=+=3,dmin=-=,所以2S6, 故選A. 2 1 2 2 22 |202| 11 22 22 |202| 11 22 方法總結

2、方法總結與圓有關的最值問題的解題方法 (1)與圓有關的長度或距離的最值問題,一般利用圓的幾何性質求解. (2)與圓上點(x,y)有關的代數(shù)式的最值的常見類型及解法.形如u=的最值問題,可轉化為 過點(a,b)和點(x,y)的直線的斜率的最值問題;形如t=ax+by的最值問題,可轉化為動直線的截 距的最值問題;形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題. yb xa 2.(2016山東,7,5分)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a0)截直線x+y=0所得線段的長度是2.則圓M與圓 N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關系是() A.內切B.相交 C.

3、外切D.相離 2 答案答案B由題意知圓M的圓心為(0,a),半徑R=a,因為圓M截直線x+y=0所得線段的長度為2 ,所以圓心M到直線x+y=0的距離d=(a0),解得a=2,又知圓N的圓心為(1,1),半徑r =1,所以|MN|=,則R-rR+r,所以兩圓的位置關系為相交,故選B. 2 | 2 a 2 2a 22 思路分析思路分析利用直線被圓所截得的線段的長度構造關于a的方程,從而求出圓M的圓心及半徑, 根據(jù)兩圓圓心距及兩圓半徑和與差的大小關系判斷兩圓的位置關系. 3.(2015安徽,8,5分)直線3x+4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切,則b的值是() A.-2或12B.2或-

4、12C.-2或-12D.2或12 答案答案D易知圓心坐標為(1,1),半徑r=1, 直線與圓相切, =1,解得b=2或b=12. 22 |34| 34 b 評析評析本題考查直線與圓的位置關系及點到直線的距離公式. 4.(2015重慶,8,5分)已知直線l:x+ay-1=0(aR)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對稱軸.過點A(-4,a)作 圓C的一條切線,切點為B,則|AB|=() A.2B.4C.6D.2 210 答案答案C圓C的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=22,圓心為C(2,1),半徑r=2, 由直線l是圓C的對稱軸,知直線l過點C, 所以2+a1-1=0,a=-1,所以

5、A(-4,-1), 于是|AC|2=40,所以|AB|=6. 故選C. 22 |2AC404 5.(2018課標,15,5分)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點,則|AB|=. 答案答案2 2 解析解析將圓x2+y2+2y-3=0化為標準方程為x2+(y+1)2=4,則圓心坐標為(0,-1),半徑r=2, 圓心到直線x-y+1=0的距離d=, |AB|=2=2=2. 2 2 2 22 rd 22 2( 2)2 方法歸納方法歸納求解圓的弦長的常用方法: (1)幾何法:l=2(其中l(wèi)為圓的弦長,r為圓的半徑,d為弦心距); (2)代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程,結合根與系數(shù)的關系

6、及弦長公式|AB|=|x1-x2|= 或|AB|=|y1-y2|=(k0)求解. 22 rd 2 1 k 2 1 k 2 1212 ()4xxx x 2 1 1 k 2 1 1 k 2 1212 ()4yyy y 6.(2016課標,15,5分)設直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點,若|AB|=2,則圓C的 面積為. 3 答案答案4 解析解析把圓C的方程化為x2+(y-a)2=2+a2,則圓心為(0,a),半徑r=.圓心到直線x-y+2a=0的 距離d=.由r2=d2+,得a2+2=+3,解得a2=2,則r2=4,所以圓的面積S=r2=4. 2 2a | 2 a

7、 2 | 2 AB 2 2 a 評析評析本題考查了直線與圓的位置關系,考查了圓的方程和點到直線的距離公式,利用弦長的 一半,圓心到直線的距離及半徑構成的直角三角形求解是關鍵. 7.(2016課標,15,5分)已知直線l:x-y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與 x軸交于C,D兩點.則|CD|=. 3 答案答案4 解析解析圓心(0,0)到直線x-y+6=0的距離d=3,|AB|=2=2,過C作CEBD于E, 因為直線l的傾斜角為30,所以|CD|=4. 3 6 13 2 1233 | cos30 CE | cos30 AB 2 3 3 2 解后反思解后反思本題涉

8、及直線和圓的位置關系,要充分利用圓的性質及數(shù)形結合的思想方法求解. 8.(2015江蘇,10,5分)在平面直角坐標系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(mR)相 切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為. 答案答案(x-1)2+y2=2 解析解析由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,易知該直線過定點(2,-1),從而點(1,0)與直線mx-y-2m-1= 0的距離的最大值為=,故所求圓的標準方程為(x-1)2+y2=2. 22 (2 1)( 10) 2 9.(2017課標,20,12分)在直角坐標系xOy中,曲線y=x2+mx-2與x軸交于A,B兩點,點C的

9、坐標為 (0,1).當m變化時,解答下列問題: (1)能否出現(xiàn)ACBC的情況?說明理由; (2)證明過A,B,C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 解析解析(1)不能出現(xiàn)ACBC的情況,理由如下: 設A(x1,0),B(x2,0),則x1,x2滿足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2. 又C的坐標為(0,1),故AC的斜率與BC的斜率之積為=-,所以不能出現(xiàn)ACBC的情況. (2)證明:證法一:BC的中點坐標為,可得BC的中垂線方程為y-=x2. 由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂線方程為x=-. 聯(lián)立得+mx2+2y-1=0, 1 1 x 2 1 x 1 2 2 1 , 22 x

10、 1 2 2 2 x x 2 m 2 2 , 2 1 , 22 m x x yxx 2 2 x 又由+mx2-2=0,可得 所以過A,B,C三點的圓的圓心坐標為, 半徑r=. 2 2 x , 2 1 , 2 m x y 1 , 22 m 2 9 2 m 故圓在y軸上截得的弦長為2=3,即過A,B,C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 證法二:設ABC的外接圓與y軸的另一個交點為D,則根據(jù)相交弦定理得|AO|BO|=|CO|DO|, 又|AO|BO|=|x1|x2|=2,|CO|=1, 則|DO|=2,D點坐標為(0,-2),|CD|=3,所以ABC的外接圓在y軸上截得的弦長為定值. 2 2 2

11、 m r 思路分析思路分析(1)令y=0,將拋物線與x軸交點的橫坐標轉化為一元二次方程的兩根,應用根與系數(shù) 的關系,可得直線AC與直線BC的斜率之積為-,從而說明AC,BC不垂直. (2)證法一:根據(jù)圓的性質,求出ABC外接圓的圓心坐標和外接圓在y軸上截得的弦 長,并證明弦長為定值. 證法二:設ABC的外接圓與y軸的另一個交點為D.由相交弦定理求出DO的長,得出D點坐標, 再求出弦CD的長,從而ABC的外接圓在y軸上截得的弦長為定值. 1 2 1 , 22 m 10.(2015課標,20,12分)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點. (1

12、)求k的取值范圍; (2)若=12,其中O為坐標原點,求|MN|. OM ON 解析解析(1)由題設,可知直線l的方程為y=kx+1. 因為l與C交于兩點,所以1. 解得k0,則C, 圓C的方程為+(y-a)2=+a2, 由得 =(5-a,-2a)=+2a2-4a=0,a=3或a=-1,又a0,a=3,點A的橫 坐標為3. 5 , 2 a a 2 5 2 a x 2 (5) 4 a 2 2 22 5(5) (), 24 2 , aa xyaa yx 1, 2, D D x y AB CD 3 ,2 2 a a 2 215 2 aa 一題多解一題多解由題意易得BAD=45. 設直線DB的傾斜角為

13、,則tan=-, tanABO=-tan(-45)=3,kAB=-tanABO=-3. AB的方程為y=-3(x-5), 由得xA=3. 1 2 3(5), 2 , yx yx 3.(2017江蘇,13,5分)在平面直角坐標系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點P在圓O:x2+y2=50上.若 20,則點P的橫坐標的取值范圍是. PA PB 答案答案-5,1 2 解析解析解法一:設P(x,y), 則由20可得, (-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20, 即(x+6)2+(y-3)265, 所以P為圓(x+6)2+(y-3)2=65上或其內部一點. 又點P在圓x2+y2=50上,

14、 聯(lián)立得解得或 即P為圓x2+y2=50的劣弧MN上的一點(如圖), PA PB 22 22 50, (6)(3)65, xy xy 1, 7 x y 5, 5, x y 易知-5x1. 解法二:設P(x,y),則由20,可得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20,即x2+12x+y2-6y20, 由于點P在圓x2+y2=50上, 故12x-6y+300,即2x-y+50, 點P為圓x2+y2=50上且滿足2x-y+50的點,即P為圓x2+y2=50的劣弧MN上的一點(如圖), 同解法一,可得N(1,7),M(-5,-5), 易知-5x1. 2 PA PB 2 4.(2015重慶,12

15、,5分)若點P(1,2)在以坐標原點為圓心的圓上,則該圓在點P處的切線方程為 . 答案答案x+2y-5=0 解析解析設圓的方程為x2+y2=r2,將P的坐標代入圓的方程,得r2=5,故圓的方程為x2+y2=5. 設該圓在點P處的切線上的任意一點為M(x,y), 則=(x-1,y-2). 由(O為坐標原點), 得=0, 即1(x-1)+2(y-2)=0, 即x+2y-5=0. PM OP PM OP PM 5.(2015湖南文,13,5分)若直線3x-4y+5=0與圓x2+y2=r2(r0)相交于A,B兩點,且AOB=120(O為 坐標原點),則r=. 答案答案2 解析解析過O作OCAB于C,則

16、OC=1, 在RtAOC中,AOC=60,則r=OA=2. 22 |5| 3( 4) cos60 OC 6.(2015湖北,14,5分)如圖,圓C與x軸相切于點T(1,0),與y軸正半軸交于兩點A,B(B在A的上方),且| AB|=2. (1)圓C的方程為; (2)過點A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點,下列三個結論: =;-=2;+=2. 其中正確結論的序號是.(寫出所有正確結論的序號) 標準 | | NA NB | | MA MB | | NB NA | | MA MB | | NB NA | | MA MB 2 答案答案(1)(x-1)2+(y-)2=2(2) 2 解析

17、解析(1)設圓心C(a,b),半徑為r,圓C與x軸相切于點T(1,0),a=1,r=|b|, 又圓C與y軸正半軸交于兩點, b0,則b=r. |AB|=2,2=2,r=, 故圓C的標準方程為(x-1)2+(y-)2=2. (2)設N(x,y),而A(0,-1),B(0,+1), 則=, 又x2+y2=1, =(+1)2, =+1,同理,=+1. =,且-=+1-=2, +=+1+=+1+-1=2, 2 1r 2 2 22 2 2 | | NB NA 22 22 (21) (21) xy xy 22 22 2( 21)32 2 2( 21)32 2 xyy xyy 2 2 | | NB NA 4

18、2 22( 21) 42 22( 21) y y 21 21 2 22 2 22 y y 2 | | NB NA 2 | | MB MA 2 | | NA NB | | MA MB | | NB NA | | MA MB 2 1 21 | | NB NA | | MA MB 2 1 21 222 故正確結論的序號是. 7.(2012天津,12,5分)設m,nR,若直線l:mx+ny-1=0與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,且l與圓x2 +y2=4相交所得弦的長為2,O為坐標原點,則AOB面積的最小值為. 答案答案3 解析解析由題意得m,n0,原點到l的距離為,則=,即m2+n2=,因為A,B

19、, 所以SAOB=,而2|m|n|m2+n2=,當且僅當|m|=|n|時取等號, 所以SAOB=3, 即當|m|=|n|=時,(SAOB)min=3. 3 22 1 mn 3 1 3 1 ,0 m 1 0, n 1 2 1 m 1 n 1 2| |mn 1 3 1 2| |mn 6 6 評析評析本題考查直線和圓的位置關系、點到直線的距離公式、利用基本不等式求最值等基 礎知識,考查運算求解能力、綜合分析問題的能力. 8.(2014課標,20,12分)已知點P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段 AB的中點為M,O為坐標原點. (1)求M的軌跡方程;

20、(2)當|OP|=|OM|時,求l的方程及POM的面積. 解析解析(1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16, 所以圓心為C(0,4),半徑為4. 設M(x,y),則=(x,y-4),=(2-x,2-y). 由題設知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于點P在圓C的內部, 所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心,為半徑的圓. 由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上,又P在圓N上,從而ONPM. 因為ON的斜率為3,所以l的斜率為-, CM MP CM MP 2

21、1 3 故l的方程為y=-x+. 又|OM|=|OP|=2,O到l的距離為,|PM|=,所以POM的面積為. 1 3 8 3 2 4 10 5 4 10 5 16 5 評析評析本題考查軌跡方程的求法,直線與圓的位置關系,在解決直線與圓的相關問題時,利用圖 形的幾何性質可簡化運算. 考點直線與圓的位置關系考點直線與圓的位置關系 三年模擬 A A組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬考點基礎題組考點基礎題組 1.(2017天津河西一模,6)已知雙曲線的中心在原點,焦點在x軸上,若其漸近線與圓x2+y2-4y+3=0 相切,則此雙曲線的離心率等于() A.B.2C.D. 1 2

22、 32 答案答案B取雙曲線-=1(a0,b0)的一條漸近線y=x,即bx-ay=0. 圓x2+y2-4y+3=0,即x2+(y-2)2=1的圓心坐標為(0,2),半徑r=1. 漸近線與圓x2+y2-4y+3=0相切, =1,即3a2=b2. 該雙曲線的離心率e=2. 故選B. 2 2 x a 2 2 y b b a 22 |2 |a ba c a 2 2 c a 22 2 ab a 1 3 解題關鍵解題關鍵熟練掌握雙曲線的漸近線方程、直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式、 離心率的計算公式是解題的關鍵. 2.(2018天津一中5月月考,5)已知圓C:x2+y2+2x+2y+1=0與雙曲線-=

23、1(a0,b0)的一條 漸近線相切,則雙曲線的離心率為() A.B.C.D. 3 2 2 y a 2 2 x b 2 6 3 2 3 3 4 3 7 答案答案B圓C:x2+y2+2x+2y+1=0的標準方程為(x+1)2+(y+)2=3, 圓心坐標為(-1,-),半徑為, 易知與圓C相切的雙曲線的漸近線方程為ax+by=0, 圓心到漸近線的距離為=,得a=b, c2=a2+b2=4b2, e=. 33 33 22 |3 |ab ab 33 c a 2 3 b b 2 3 3 3.(2019天津七校聯(lián)考一模,12)已知圓C直徑為4,圓心C在第二象限且在拋物線y2=4x的準線上, 直線4x-3y+

24、2=0被圓C截得的弦長為2,則圓C的方程為. 3 答案答案(x+1)2+(y-1)2=4 解析解析由題意知拋物線的準線方程為x=-1, 設圓心坐標為(-1,y0)(y00). 由圓的直徑為4,可得圓的半徑r=2, 又直線被圓截得的弦長為2, 圓心到直線的距離d=1, =1, 解得y0=1或-(舍去), 圓C的方程為(x+1)2+(y-1)2=4. 3 22 2( 3) 0 22 |4 ( 1)32| 4( 3) y 7 3 4.(2019天津河北一模,12)圓C:x2+y2-6x-6y+10=0上的點到直線x+y=0的最短距離為. 答案答案 2 解析解析圓C的方程可化為(x-3)2+(y-3)

25、2=8, 圓C的圓心為(3,3),半徑r=2, 圓心到直線的距離d=3, dr, 所求的最短距離為3-2=. 2 22 |33| 11 2 222 5.(2019天津河東二模,11)圓心在直線x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切,圓C截x軸所得弦的 長為2,則圓C的標準方程為. 3 答案答案(x-2)2+(y-1)2=4 解析解析由題意可設圓心為C,因為圓C與y軸正半軸相切,所以a0,且圓C的半徑長為a.如 圖,由圓C截x軸所得的弦長為2,得半弦長AB為,在RtCAB中,有CB2-CA2=AB2,即a2- =3,解得a=2,所以圓C的圓心為C(2,1),半徑為2,所以圓C的標準方程為(x-2

26、)2+(y-1)2=4. , 2 a a 1 2 33 2 1 2 a 6.(2019天津河東一模,12)已知直線y=mx與圓C:(x-m)2+(y-1)2=m2-1交于A、B兩點,且ACB=60, 則圓的面積為. 答案答案6 解析解析根據(jù)題意,圓C的圓心為(m,1),半徑為, 直線y=mx與圓C交于A,B兩點,且ACB=60, ABC為等邊三角形,則圓心到直線y=mx的距離d=r, 即=, 解得m2=7,圓的半徑r=, 圓的面積S=r2=6. 故答案為6. 2 1m 3 2 2 2 |1| 1 m m 3 2 2 1m 2 1m 6 7.(2019天津十二校聯(lián)考,12)已知圓C的圓心在第四象

27、限,直線y=-2x過圓心,且點(2,1)在圓C上, 直線x-2y=0與圓C交于A、B兩點,若ABC為等腰直角三角形,則圓C的方程為. 答案答案(x-1)2+(y+2)2=10 解析解析圓心在直線y=-2x上,且圓心在第四象限, 可設圓心C(a,-2a),a0,圓的半徑為r, ABC為等腰直角三角形, 點C到直線x-2y=0的距離為r, =r,且r=, 解得圓心C(1,-2), 圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=10. 2 2 |4 | 5 aa2 2 22 (2)( 21)aa 1, 10, a r 8.(2018天津南開中學第四次月考,13)已知圓C:(x-m)2+(y-n)2=9的圓

28、心在第一象限,直線l:x+2y+2 =0被圓C所截得的弦長為4,則的最小值為. 2mn mn 答案答案 8 3 解析解析由題意知圓心C的坐標為(m,n),半徑R=3, 圓心在第一象限, m0,n0. 直線l:x+2y+2=0被圓C所截得的弦長為4, 圓心到直線的距離d=, 即=,即m+2n+2=5, 則m+2n=3,即+=1, 則=+2=+=, 當且僅當=,即m=2n時取等號. 的最小值為. 22 2R 945 |22| 5 mn 5 3 m2 3 n 2mn mn 12 nm 2 33 mn 2 3 2 33 m n 4 3 n m 4 3 4 33 mn nm 4 3 4 3 8 3 3

29、m n 4 3 n m 2mn mn 8 3 B B組組2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組 時間:35分鐘分值:40分 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2017天津河東二模,4)若a,bR,直線l:y=ax+b,圓C:x2+y2=1.命題p:直線l與圓C相交;命題q:a ,則p是q的() A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件 2 1b 答案答案B若直線與圓相交,則圓心到直線的距離d=1,即b2b2-1,則易知充分 性不成立,必要性成立,即p是q的必要不充分條件, 故選B. 2 | 1 b a 解題分析解題

30、分析本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,直線和圓相交的條件. 2.(2018天津南開中學第三次月考,7)已知圓C:x2+(y-2)2=1與雙曲線-=1(a0,b0)的漸近線 相切,且和圓x2+y2=b2外切,則雙曲線方程為() A.x2-3y2=1B.3x2-y2=1 C.x2-=1D.-y2=1 2 2 x a 2 2 y b 2 3 y 2 3 x 答案答案B由圓C:x2+(y-2)2=1和圓x2+y2=b2外切,可得1+b=2,解得b=1,由圓C:x2+(y-2)2=1與雙曲線 -=1(a0,b0)的漸近線相切,可得=1,解得a2=,所求雙曲線方程 為3x2-y2=1. 2 2 x a

31、 2 2 y b 1 yx a 不妨取 2 |2 | 1 a a 1 3 二、填空題(每小題5分,共30分) 3.(2019天津紅橋一模,11)圓C:(x-1)2+y2=1的圓心到直線l:x-y+a=0(a0)的距離為,則a的值為 . 2 答案答案1 解析解析圓C:(x-1)2+y2=1的圓心為(1,0), 則圓C的圓心到直線l:x-y+a=0(a0)的距離d=,解得a=1或-3, 又a0,a=1. 故答案為1. |1| 2 a 2 4.(2019天津和平二模,11)過點P(3,-4)作圓C:x2+y2=9的兩條切線,切點分別為A、B,則點P到直 線AB的距離為. 答案答案 16 5 解析解析

32、如圖,連接CP交AB于點D,由題意知PCAB, 易知|PC|=5, |PA|=4, cosCPA=, 在PAD中,PDAD, cosDPA=, |PD|=. 22 (3)( 4) 22 |PCCA | | PA PC 4 5 | | PD PA | 4 PD4 5 16 5 5.(2019天津十二校聯(lián)考二模,12)已知圓C的圓心在x軸上,且圓C與y軸相切,過點P(2,2)的直線 與圓C相切于點A,|PA|=2,則圓C的方程為. 3 答案答案(x+1)2+y2=1 解析解析由題意可設圓C的圓心坐標為C(a,0), 圓C與y軸相切, 圓C的半徑等于C到y(tǒng)軸的距離, 圓C的標準方程為(x-a)2+y2=a2, 過點P(2,2)的直線與圓C相切于點A,|PA|=2, 點P(2,2)與圓心的距離為=, a2-4a+8=a2+12, a=-1, 圓C的標準方程為(x+1)2+y2=1. 3 22 (2)2a 22 (2 3)a 6.(2018天津和平第一次質量檢查,10)若直線l:x+y+1=0與圓x2+y2-2ax=0(a0)相切,則a的值 為. 3 答案答案1 解析解析圓C:x2-2ax+y2=0(a0)的圓心坐標為(a,0),半徑為a,直線l與圓C相切,圓心(a,0)到直 線l的距離d=r