《巧破圓錐曲線小題的幾個(gè)實(shí)用定理》一文中定理的證明

1、巧破圓錐曲線小題的幾個(gè)實(shí)用定理一文中定理的證明定理1：若點(diǎn)P是“有心圓錐曲線”的弦 AB的中點(diǎn)，其中 AB不平行于對(duì)稱軸且不過曲線 中心O，則kABkOp二e2 -1.（圓的垂徑定理的推廣）證明：在橢圓中，設(shè)22X1y1A(X1, yj, B(X2, y2), P(xo, y),則一2a b22-y| =1，兩式相a2b22X12 2 2 -X2y1 y272ab=0，(x1- x2) * 2xo（% 一力“馬0.所以b2(% -丫2)yob2（人-X2）所以，kAB *kopXob22a2 -1同理可推導(dǎo)雙曲線。定理2 :若AB為“有心圓錐曲線”的直徑，點(diǎn)P為曲線上異于代B的任一點(diǎn)，則2可知

2、 kPB *kOM 二 kPB kPA =e -1，2kPAkPB =e -1.（圓周角定理的推廣）證明：如圖，取 PB中點(diǎn)M ,則kOM =kPA由定理1，同理可推導(dǎo)雙曲線。20）上一點(diǎn)P滿足一 F1 PF2 =：，其中F1和F2是其焦點(diǎn)，則 F1PF2的面積為batan 2證明：由橢圓定義可知PR十PF? =2a，在APF1F2中由余弦定理得F1F2PF22Ph PF2 COSG = ( PF+| PF2 )2 _ 2 PF* PF2 (1 +CO曲)二 PF12 2(2a) -(2c)2b22(1 cos ： )1 cos :i二 S告FiF2 =2pFi PF2i2b2sin : si

3、n ： - b2 *2s%c陀2cos2 22:=b tan22 2 定理4 :設(shè)H a b= 1(a0,b 0)上一點(diǎn)P滿足.FiPF2二：，其中Fi和F2是其焦點(diǎn),則厶f,pf2的面積為證明：過程類比定理2王b cot .23證明.定理5：圓錐曲線(雙曲線需同支)中共線焦半徑分別為ri，r2,通徑為L(zhǎng)，則丄丄證明：設(shè)I是傾斜角為二且過橢圓2 X 2 a牙1的焦點(diǎn)F(c,0)的直線與橢圓交于A(xyj Bg, y2)(yi 一0, y2 乞0)兩點(diǎn)，不妨設(shè)AF=G BF =d，則直線I的方程可表示為 x = my c 或=0,當(dāng)直線I滿足y = 0時(shí),顯然,BFr2 =a c.此時(shí),rir2

4、a -c2a 4b2 2b2當(dāng)直線I滿足x二my c時(shí),-sin 丁ri2 2 x_ y_ 聯(lián)立a2b2yii_yi y2m2iy2 一 yiy2 一 yiBFy2(i)二 i2，消元整理得(a2b2m2)y2 2mcb2 y b2c2 _a2b2 = 02-2mcbyi y2 =由根與系數(shù)關(guān)系2 ,2 2a b m2/2 2、b (c -a )yiY2 二b4a2 b2m2a2 b2m2(yi - y2)2 =(%y?)2 -4畑二4a2b4(m2 i)(a2b2m2)22 ； 2yiy22ab m 12i22a b m將代入整理得111yi2a 421 2. m2 1y1 y2b L同理可

5、推得對(duì)于雙曲線，拋物線上述結(jié)論依然成立。定理6：( 1)若極點(diǎn)P在曲線丨上，則極線丨就是曲線丨在點(diǎn)P處的切線；(2)若過極點(diǎn)P 可作曲線丨的兩條切線， M, N為切點(diǎn)，則直線 MN就是極線.證明：(1)設(shè)極點(diǎn)為 P(x0, y0),則極線 l : Ax0x Cy0y D(x - x0) - E(y y0) F = 0根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則，方程 Ax2亠Cy2亠2Dx亠2Ey亠F = 0兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得到Ax DAx DAx Cyy D Ey =0，所以y，所以k0，故圓錐曲線在點(diǎn)P處Cy + ECy + E的切線方程為y-y。= -Ax D (x_x。)，到點(diǎn)P在曲線上，所以有Cy。+E2 2A

6、x0 Cy0 - 2Dx - 2Ey F =0，代入切線方程，化簡(jiǎn)得切線方程為Axx Cyy D(x x) E(y y0) F =0，極線l就是曲線-在點(diǎn)P處的切線。(2)設(shè)M (x“ yj N(X2, y2)，由(1)得曲線在點(diǎn) M處的切線方程為AX1X Cy” D(x xj E(y yj F = 0，又切線過點(diǎn) P,所以AX1X0 Cym D(x xj E(y yj F =0,同理得AX2X0 Cy2y0 D(X0 X2) E(y y?) F =0,故過直線 MN 的方程為Axx Cyy D(x x) E(y y) F =0,則直線 MN 就是極線.定理7：設(shè)AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，則過切點(diǎn)

7、代B的切線的交點(diǎn)軌跡是它的準(zhǔn)線；反過來，由拋物線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引拋物線的兩切線，切點(diǎn)為代B ,則AB為焦點(diǎn)弦證明：設(shè)拋物線y2 =2px(p 0)，過焦點(diǎn)FCp ,0)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)為 A(x1, y1)，B(x2, y2)(y豐y2且%式Q y2式0)，則點(diǎn)A b處的切線方程分別為 y = p(x + xj和y2y=p(x X2)，設(shè)交點(diǎn)為 M(X0,y)，則有 y1yo=p(xo xj，y2y = P(x x?) 這說明切點(diǎn)A(xi，yj , B(X2,y2)都在直線yoy=P(xXo)上，因此直線 AB的方程為yy二p(x - Xo),又因?yàn)橹本€ AB經(jīng)過焦點(diǎn) F(鄉(xiāng)0), 代入直線AB

8、的方程yy = p(x + X。) 后得到X。二- ,即兩切線交點(diǎn) M(X。，yo)在準(zhǔn)線I ： x = -號(hào)上 反之，設(shè)拋物線y2=2px(p . 0)，點(diǎn)A(x1, y1)， B(x2, y2)，準(zhǔn)線I : -P上任意一點(diǎn)M (-號(hào)，yo)，則拋物線在點(diǎn) A, B處的切線方程分別為 yi p(x Xi)和 y = p(x X2)， 因?yàn)榻?jīng)過M (-號(hào)，yo),所以有y。=P(-p Xi)和 歸。=p(-號(hào)x?)，這說明切點(diǎn) A(Xi, yi) ,B(X2,y2)都在直線yy=p(x號(hào))上，因此直線AB的方程為yy=p(x號(hào))， 故直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F (-p ,0),即AB為焦點(diǎn)弦.定理8拋

9、物線的二垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是它的準(zhǔn)線；反過來，由拋物線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引拋物線的兩切線必互相垂直 證明：自一點(diǎn)M(xo,y。)向拋物線y2=2px(p 0)所引的切線方程為y =k(x -X0) y(k =0),即 x = -X0，與 y2 二 2px聯(lián)立，消 x,得到k22ky -2py 2py -2pkx =0.令厶=0,得到2xk -2yk p = 0，設(shè)此關(guān)于k的方程的兩根k-i, k2，；兩切線相互垂直，.k1 *k2 = -1, x -衛(wèi).即拋物線的二垂直切線的2X02交點(diǎn)的軌跡是它的準(zhǔn)線2p反之，設(shè)拋物線y = 2px( p 0)，準(zhǔn)線上任一點(diǎn)為 M( , y),過此點(diǎn)的切線方程為y =k(x 衛(wèi))y(k = 0)