2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第9講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積課件 理

1、第第9 9講空間幾何體的三視圖、表面積講空間幾何體的三視圖、表面積 與體積與體積 總綱目錄 考點(diǎn)一 空間幾何體的三視圖 考點(diǎn)二 空間幾何體的表面積與體積 考點(diǎn)三 多面體與球的切、接問題 考點(diǎn)一空間幾何體的三視圖 一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面,長度與正(主)視圖的長度一樣,側(cè) (左)視圖放在正(主)視圖的右面,高度與正(主)視圖的高度一樣,寬 度與俯視圖的寬度一樣.即“長對正、高平齊、寬相等”. 1.圖1所示的是一個(gè)棱長為2的正方體被削去一個(gè)角后所得到的 幾何體的直觀圖,其中DD1=1,AB=BC=AA1=2.若此幾何體的俯視 圖如圖2所示,則可以作為其正視圖的是()

2、 答案答案 C由直觀圖和俯視圖知,正視圖中點(diǎn)D1的射影是B1,所 以正視圖是選項(xiàng)C中的圖形.A中少了虛線,故不正確. 2.(2018課標(biāo)全國,3,5分)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起 來.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的 小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬 合成長方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是() 答案答案 A本題考查空間幾何體的三視圖. 兩個(gè)木構(gòu)件咬合成長方體時(shí),小長方體(榫頭)完全嵌入帶卯眼的 木構(gòu)件,易知俯視圖可以為A.故選A. 3.(2018北京,5,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè) 面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為()

3、A.1 B.2 C.3 D.4 答案答案 C本題考查空間幾何體的三視圖和直觀圖,空間線、 面的位置關(guān)系. 由三視圖得四棱錐的直觀圖如圖所示. 其中SD底面ABCD,ABAD,ABCD,SD=AD=CD=2,AB=1.由 SD底面ABCD,AD,DC,AB底面ABCD,得SDAD,SDDC,SD AB.SDC,SDA為直角三角形.又ABAD,ABSD,AD, SD平面SAD,ADSD=D,AB平面SAD.又SA平面SAD, ABSA,即SAB也是直角三角形,從而SB=3. 又BC=,SC=2,BC2+SC2SB2.SBC不是直角三 角形.故選C. 222 SDADAB 22 2152 三視圖還原

4、為直觀圖的原則是“長對正、高平 齊、寬相等”,另外,在將三視圖還原為直觀圖時(shí),借助于正方體 或長方體能使問題變得具體、直觀、簡單. 方法技巧方法技巧 方法歸納方法歸納 由三視圖還原直觀圖的思路 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面. (2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特 征,調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱的位置. (3)確定幾何體的直觀圖形狀. 考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積 1.柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式 (1)S柱側(cè)=ch(c為底面周長,h為高); (2)S錐側(cè)=ch(c為底面周長,h為斜高); (3)S臺側(cè)=(c+c)h(c,c分別為上、下底面的周長,h為斜高). 1

5、2 1 2 2.柱體、錐體、臺體的體積公式 (1)V柱體=Sh(S為底面面積,h為高); (2)V錐體=Sh(S為底面面積,h為高); (3)V臺=(S+S)h(S,S分別為上、下底面面積,h為高)(不要求 記憶). 1 3 1 3 SS 3.球的表面積和體積公式 (1)S球表=4R2(R為球的半徑); (2)V球=R3(R為球的半徑). 4 3 命題角度一空間幾何體的表面積命題角度一空間幾何體的表面積 例例1(1)(2017課標(biāo)全國,7,5分)某多面體的三視圖如圖所示,其 中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的 邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干 個(gè)

6、是梯形,這些梯形的面積之和為() A.10 B.12 C.14 D.16 (2)(2018課標(biāo)全國,16,5分)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成 角的余弦值為,SA與圓錐底面所成角為45.若SAB的面積為5 ,則該圓錐的側(cè)面積為 . 7 8 15 答案答案(1)B(2)40 2 解析解析由多面體的三視圖還原直觀圖如圖. 該幾何體由上方的三棱錐A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1構(gòu) 成,其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,則梯形的面積之和為2 =12.故選B. (2)因?yàn)槟妇€SA與圓錐底面所成的角為45,所以圓錐的軸截面為 等腰直角三角形.設(shè)底面圓的半徑為r,則母線長l=r.

7、在SAB 中,cosASB=,所以sinASB=.因?yàn)镾AB的面積為5,即 (24)2 2 2 7 8 15 8 15 SASBsinASB=rr=5,所以r2=40.故圓錐的側(cè) 面積為rl=r2=40. 1 2 1 2 22 15 8 15 22 疑難突破疑難突破 利用底面半徑與母線的關(guān)系,以及SAB的面積值 求出底面半徑是解題的突破口. 例例2(1)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為,D 為BC的中點(diǎn),則三棱錐A-B1DC1的體積為() A.3 B. C.1 D. (2)(2018福建福州質(zhì)檢)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí) 線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾

8、何體的體積為() 3 3 2 3 2 命題角度二空間幾何體的體積命題角度二空間幾何體的體積 A.+6 B.+6 C.+6 D.+2 2 3 3 3 答案答案(1)C(2)C 解析解析(1)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,易知AD平面B1DC1. =AD =2=1.故選C. (2)由三視圖可知,該幾何體是由直四棱柱與半圓錐組成,因?yàn)閂直四 11 A B DC V 1 3 11 B DC S 1 3 1 2 33 棱柱=(1+2)22=6,V半圓錐=,所以該幾何體的體 積為V=V直四棱柱+V半圓錐=6+,故選C. 1 2 1 2 2 1 12 3 3 3 方法歸納方法歸納 求解幾何體的表面

9、積及體積的技巧 (1)三棱錐的體積:等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法. (2)求不規(guī)則幾何體的體積:常用分割或補(bǔ)形的思想,將不規(guī)則幾 何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體. (3)求表面積:關(guān)鍵思想是空間問題平面化. 1.(2016課標(biāo)全國,6,5分)如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相 等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是 ,則它的表面積是() A.17B.18C.20D.28 28 3 答案答案 A由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)球被截去后剩下 的部分.設(shè)球的半徑為R,則該幾何體的體積為R3,即= R3,解得R=2.故其表面積為422+322=17.選A. 1 8 7 8 4 3 28 3 7 8 4

10、3 7 8 1 4 2.(2018河南開封定位考)某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視 圖為扇形,則該幾何體的體積為() A.4B.2C. D. 4 3 答案答案 B由題意知,該幾何體的直觀圖如圖所示,該幾何體為 圓柱的一部分.設(shè)底面扇形的圓心角為,由tan =,得=. 故底面面積為22=,該幾何體的體積為3=2. 3 1 3 3 1 23 2 3 2 3 3.(2018湖北八校聯(lián)考)九章算術(shù)中,將底面是直角三角形的 直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的三棱柱)稱之為“塹堵”,將底面為 矩形,一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”.已知某“塹 堵”與某“陽馬”組合而成的幾何體的三視圖如圖所示,則該幾 何

11、體的體積為() A. B. C. D. 5 3 6 7 3 6 2 3 3 3 3 2 答案答案 A由三視圖知,該幾何體的左側(cè)為“塹堵”,其底面是 直角邊長分別為,1的直角三角形,高為1;右側(cè)為“陽馬”,一條 長為的側(cè)棱垂直于底面,且底面是邊長為1的正方形,如圖所示, 所以該幾何體的體積V=11+11=.故選A. 3 3 1 2 3 1 3 3 5 3 6 考點(diǎn)三多面體與球的切、接問題 與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時(shí)要 認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān) 系,并作出合適的截面圖. 例例 (2018課標(biāo)全國,10,5分)設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為

12、4的球的 球面上四點(diǎn),ABC為等邊三角形且其面積為9,則三棱錐D- ABC體積的最大值為() A.12 B.18 C.24 D.54 3 3333 答案答案 B 解析解析設(shè)ABC的邊長為a,則SABC=aasin 60=9,解得a=6 (負(fù)值舍去).ABC的外接圓半徑r滿足2r=,得r=2,球心到 平面ABC的距離為=2.所以點(diǎn)D到平面ABC的最大距 離為2+4=6.所以三棱錐D-ABC體積的最大值為96=18. 故選B. 1 2 3 6 sin60 3 22 4(2 3) 1 3 33 方法歸納方法歸納 多面體與球接、切問題的求解策略 涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí),一般過球心及多面體中的

13、 特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問 題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫內(nèi) 接、外切的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(或 直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解. 1.(2018福建福州質(zhì)檢)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面積為, 一個(gè)側(cè)面的周長為6,則正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積 為() A.4B.8C.16D.32 3 3 4 3 答案答案 C如圖所示,設(shè)底面邊長為a,則底面面積為a2=. 所以a=.又一個(gè)側(cè)面的周長為6,所以AA1=2.設(shè)E,D分別為 上、下底面的中心,連接DE,設(shè)DE的中點(diǎn)為O,則點(diǎn)O即為正三棱 柱ABC-A1B1C1的外接球的球心,連接OA1,A1E,則OE=,A1E= =1.在RtOEA1中,OA1=2,即外接球的半徑R=2. 所以外接球的表面積S=4R2=16.故選C. 3 4 3 3 4 333 33 3 2