方向?qū)?shù)與梯度（經(jīng)典實(shí)用）

1、方向?qū)?shù)與梯度 第七第七 節(jié)節(jié) 一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度 方向?qū)?shù)與梯度 l ),(yxP 一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 定義定義: 若函數(shù)若函數(shù)),(yxf f 0 lim 則稱則稱 l f l f 為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn) P 處沿方向處沿方向 l 的的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù). ),(),( lim 0 yxfyyxxf 在點(diǎn)在點(diǎn) ),(yxP 處處 沿方向沿方向 l (方向角為方向角為 ) , 存在下列極限存在下列極限: 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1 P 記作記作 . 22 1 yxP

2、P 記記 方向?qū)?shù)與梯度 處處在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)),(),(yxPyxf ),(yxP l 定理定理: 則函數(shù)在該點(diǎn)則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在 , f l f 0 lim coscos y f x f l f .,的方向角的方向角為為其中其中l(wèi) 證明證明: 由函數(shù)由函數(shù)),(yxf )( oy y f x x f f coscos y f x f 且有且有 )( o 在點(diǎn)在點(diǎn) P 可微可微 , 得得 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 P 故故 coscos y f x f ,可可微微 方向?qū)?shù)與梯度 ),(yxf二二元元函函數(shù)

3、數(shù) l f coscos y f x f 的的方方向向角角為為方方向向其其中中l(wèi) , x f l f 特別特別: : 當(dāng)當(dāng) l 與與 x 軸同向軸同向 有有時時, 2 ,0 當(dāng)當(dāng) l 與與 x 軸反向軸反向 有有時時, 2 , x f l f 方向?qū)?shù)與梯度 解解: 1 )0, 1( 2 )0, 1( y e x z 22 )0, 1( 2 )0, 1( y xe y z cos2cos1 l z 2 2 1, 1 PQl即即為為方方向向 , 2 1 cos , 2 1 cos l f coscos y f x f 方向?qū)?shù)與梯度 例例2. 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量

4、沿向量zyxu 2 3), 1,2( l 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) . , 14 2 cos P l u )1, 1, 1( 14 6 , 14 1 cos 14 3 cos 14 2 2 zyx 14 1 2 zx 14 3 2 yx 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解: 向量向量 l 的方向余弦為的方向余弦為 l f coscoscos z f y f x f 方向?qū)?shù)與梯度 例例2. 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線沿曲線 22 3yyxz1 2 xy 朝朝 x 增大方向的方向?qū)?shù)增大方向的方向?qū)?shù). 解解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為將已知曲線用參數(shù)方

5、程表示為 2 )2, 1 ( x x Pl z 它在點(diǎn)它在點(diǎn) P 的的切向量為切向量為 , 17 1 cos 17 60 xo y 2 P 1 2 xy xx 17 1 6xy 17 4 )23( 2 yx )3,2( )4, 1 ( 17 4 cos 1 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 方向?qū)?shù)與梯度 例例2. 設(shè)設(shè) 是曲面是曲面n在點(diǎn)在點(diǎn) P(1, 1, 1 )處處 指向外側(cè)的法向量指向外側(cè)的法向量, 解解: 方向余弦為方向余弦為 , 14 2 cos , 14 3 cos 14 1 cos 而而 P x u , 14 8 P y u 14 P z u P n

6、u 同理得同理得 )1,3,2(2 632 222 zyx 方向方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù). P zyx)2,6,4( 14 6 7 11 1143826 14 1 P yxz x 22 86 6 z yx u 22 86 在點(diǎn)在點(diǎn)P 處沿處沿求函數(shù)求函數(shù) 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 n n 方向?qū)?shù)與梯度 問題問題：一塊長方形的金屬板，四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是：一塊長方形的金屬板，四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個 火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的 溫度與該

7、點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一處有一 個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快 到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？ 問題的問題的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向 （即梯度方向）爬行（即梯度方向）爬行 ?沿沿哪哪一一方方向向變變化化率率最最大大函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) P 方向?qū)?shù)與梯度 二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)公式方向?qū)?shù)公式 coscoscos z f y f x f l f 令向量令向量 這說明這說明 方向：方向：f 變化率最大的方向變化率最大的方向 模模 : f 的最大變化率

8、之值的最大變化率之值 方向?qū)?shù)取最大值：方向?qū)?shù)取最大值： 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 z f y f x f G, )cos,cos,(cos 0 l ),cos( 00 lGlG )1( 0 l 0 lG l f , 0 方向一致時方向一致時與與當(dāng)當(dāng)Gl :G G l f max 方向?qū)?shù)與梯度 1. 定義定義 ,adrgf即即 fadrg 同樣可定義二元函數(shù)同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxP y f x f j y f i x f f,grad 稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (P) 在點(diǎn)在點(diǎn) P 處的梯度處的梯度 z f y f x f ,k z f j

9、y f i x f 記作記作 (gradient), 在點(diǎn)在點(diǎn)處的梯度處的梯度 G 向量向量 變變化化最最快快的的方方向向方方向向就就是是 fgradf 最最大大變變化化率率的的值值就就是是 fgradf 方向?qū)?shù)與梯度 解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得 ),(),( z u y u x u zyxgradu )6, 24, 32(zyx 故故kjigradu 1225)1, 2, 5()2 , 1 , 1( 方向?qū)?shù)與梯度 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 二元函數(shù)二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP ), 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為 coscos y f x f l f

10、沿方向沿方向 l (方向角為方向角為 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 三元函數(shù)三元函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(zyxP沿方向沿方向 l (方向角方向角 ), 為為的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為 coscoscos z f y f x f l f 方向?qū)?shù)與梯度 2. 梯度梯度 二元函數(shù)二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP處的梯度為處的梯度為 ),(grad yx fff 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 三元函數(shù)三元函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(zyxP處的梯度為處的梯度為 z f y f x f f,grad 方向?qū)?shù)與梯度 練

11、習(xí)練習(xí) 1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z yxzyxf 2 ),( (1) 求函數(shù)在點(diǎn)求函數(shù)在點(diǎn) M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線處沿曲線 12 3 2 tz ty tx 在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù)在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù); (2) 求函數(shù)在求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的處的梯度梯度與與(1)中中切線方向切線方向 的夾角的夾角 . 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 方向?qū)?shù)與梯度 ,),( 2z yxzyxf曲線曲線 12 3 2 tz ty tx 1. (1)在點(diǎn)在點(diǎn) )3,4, 1 ( 1d d , d d , d d tt z t y t x )1 , 1 , 1( coscoscos zyx M fff l f 26 6 解解: 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 函數(shù)沿函數(shù)沿 l 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) l M (1,1,1) 處切線的方向向量處切