2019屆高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用課件 新人教A版必修2

1、4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用直線與圓的方程的應(yīng)用 直線與圓的方程的應(yīng)用 1.一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁,暗礁分布在以小島的中心為圓心, 半徑為30 km的圓形區(qū)域.已知小島中心位于輪船正西70 km處,港 口位于小島中心正北40 km處.如果這艘輪船沿直線返港,那么它是 否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)? (1)通過(guò)怎樣的方法把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題? 提示:以小島的中心為原點(diǎn)O,東西方向?yàn)閤軸,建立如圖所示的平 面直角坐標(biāo)系. (2)如何表示受暗礁影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓的方程及輪船沿 直線返港時(shí)的直線的方程? 提示:取10 km為單位長(zhǎng)度,則受暗礁影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓 心為O的圓的方程為x2+y2=

2、9;輪船航線所在直線的方程為4x+7y- 28=0. (3) 輪船沿直線返港是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)的問(wèn)題歸結(jié)為怎樣的數(shù)學(xué) 問(wèn)題? 提示:歸結(jié)為圓與直線有無(wú)公共點(diǎn),若有公共點(diǎn)則會(huì)觸礁,若沒(méi)有 公共點(diǎn),則不會(huì)觸礁. 2.填空:用直線與圓的方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟 (1)從實(shí)際問(wèn)題中提煉幾何圖形; (2)建立直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素,將平 面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題; (3)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問(wèn)題; (4)將結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論并作答. 3.用坐標(biāo)方法解決幾何問(wèn)題的“三步曲” (1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何 元素,將平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題; (2)通過(guò)代數(shù)運(yùn)

3、算,解決代數(shù)問(wèn)題; (3)將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論. 探究一探究二思想方法 直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用 例1 已知臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移 動(dòng),離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū),城市B在A的正東40千米 處,求B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間. 思路分析:將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓相交求弦長(zhǎng)問(wèn)題. 解:如圖,以A為原點(diǎn),以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系. 射線AC為xAy的平分線,則臺(tái)風(fēng)中心在射線AC上移動(dòng), 則射線AC被以B為圓心,以30千米為半徑的圓截得的弦長(zhǎng)為 探究一探究二思想方法 反思感悟與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的求解策略 1.解決直線

4、與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用題的步驟: 2.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系應(yīng)遵循的三個(gè)原則: (1)若曲線是軸對(duì)稱圖形,則可選它的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸. (2)常選特殊點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn). (3)盡量使已知點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上. 探究一探究二思想方法 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練一艘輪船沿直線返回港口的途中,接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù) 報(bào),臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70 km處,受影響的范圍是半徑為30 km 的圓形區(qū)域,已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40 km處,如果這艘輪船不 改變航線,那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響? 解:以臺(tái)風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn),以東西方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系(如 圖),其中取10 km為單位長(zhǎng)度,則受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓 的

5、方程為x2+y2=9,港口所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4),輪船的初始位置 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,0),則輪船航線所在直線l的方程為 改變航線,不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響. 探究一探究二思想方法 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 例2 已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求: (2)y-x的最大值和最小值; (3)x2+y2的最大值和最小值. 思路分析:本題可將 和y-x轉(zhuǎn)化成與直線斜率、截距有關(guān)的問(wèn) 題,x2+y2可看成是點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(0,0)距離的平方,然后結(jié)合圖形求解. 探究一探究二思想方法 解:(1)如圖,方程x2+y2-4x+1=0表示以點(diǎn)(2,0)為圓心,以 為半徑 的圓

6、. 易知圓心(2,0)到y(tǒng)=kx的距離等于半徑時(shí),直線與圓相切,斜率取得 最大、最小值. (2)設(shè)y-x=b,則y=x+b,由點(diǎn)到直線的距離公式, 探究一探究二思想方法 (3)x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方,由平面幾何知識(shí) 知,在原點(diǎn)和圓心的連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值. 反思感悟與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的求解策略 求與圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí),常常根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特 征,尋找它的幾何意義,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成與圓的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題解決,其 中構(gòu)造斜率、截距、距離是最常用的方法. 探究一探究二思想方法 延伸探究延伸探究若把例2中實(shí)數(shù)x,y滿足的方程改為“(x-3)2+(y-3)2=6”

7、,則 的最大值與最小值分別為. 解析:設(shè)P(x,y),則P點(diǎn)的軌跡就是已知圓C:(x-3)2+(y-3)2=6. 探究一探究二思想方法 函數(shù)思想解決與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 典例若動(dòng)點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2-4x=0上,求3x2+4y2的最大值. 解圓的方程可化為(x-2)2+y2=4, 所以y2=4x-x2,x0,4. 所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64.因?yàn)閤0,4, 所以當(dāng)x=4時(shí),3x2+4y2取得最大值48. 防范措施用函數(shù)思想求與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí),一定注意不能忽 略圓上的點(diǎn)(x,y)中的x,y的限制條件,也就是說(shuō)要注意自變量的取值 范圍. 1234 1.將直線x+y=1繞點(diǎn)(1,0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后與圓x2+(y-1)2=r2(r0)相 切,則r的值是() 解析:將x+y=1繞點(diǎn)(1,0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后,所得直線的方程為x- 答案:B 1234 答案:D 1234 3.設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小 路方程可用x-y+2=0表示,則從村莊外