廣東省汕頭市金山中學(xué)2015-2016學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（理科）

1、汕頭市金山中學(xué)20152016學(xué)年度高二第二學(xué)期期末考試數(shù) 學(xué)（理 科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）1已知集合，則（ ） A B C D2復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知（），則的值為（ ） A B C D4已知，且 則的值為（ ） A0 B4 C D5 為大力提倡“厲行節(jié)儉，反對(duì)浪費(fèi)”，某高中通過隨機(jī)詢問100名性別不同的學(xué)生是否做到“光盤”行動(dòng)，得到如下列聯(lián)表及附表做不到“光盤”行動(dòng)做到“光盤”行動(dòng)男4510女30150.100.050.0252.7063.8415.024經(jīng)計(jì)算：，參考附表，得到的

2、正確結(jié)論是（ ）A.有的把握認(rèn)為“該學(xué)生能否做到光盤行到與性別有關(guān)”B.有的把握認(rèn)為“該學(xué)生能否做到光盤行到與性別無關(guān)”C.有的把握認(rèn)為“該學(xué)生能否做到光盤行到與性別有關(guān)”D.有的把握認(rèn)為“該學(xué)生能否做到光盤行到與性別無關(guān)”6“數(shù)列成等比數(shù)列”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件7某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的的值為（ ） A1 B C D8設(shè)，則的值為（ ） A. B. C. D. 9設(shè)F1、F2是雙曲線1 (a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上，若0，2ac (c為半焦距)，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. C2

3、 D.10一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的外接球半徑為 （ ） A. B. C. D.11有一個(gè)7人學(xué)校合作小組，從中選取4人發(fā)言，要求其中甲和乙至少有一人參加，若甲和乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)順序不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序有（ ） A720種 B600種 C360種 D300種12已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，且的圖象在處的切線與曲線相切，符合情況的切線（ ） A.有3條 B.有2條 C. 有1條 D.不存在二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則 14的展開式的常數(shù)項(xiàng)是 15設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比為 16在中，角所對(duì)的邊分別

4、為，且，則的最大值為 .三、解答題(本大題8個(gè)小題 ，共70分，解答須寫出文字說明、證明過程、演算步驟)17（本小題滿分12分） 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和18（本小題滿分12分） 某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額(單位：萬元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):245683040605070（）求回歸直線方程；（）試預(yù)測廣告費(fèi)支出為10萬元時(shí)，銷售額多大？（）在已有的五組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組，求至少有一組數(shù)據(jù)其預(yù)測值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值不超過5的概率。（參考數(shù)據(jù)： ，參考公式：回歸直線方程，其中 ）19 （本小題滿分12分）FC A DP MB E 如圖，在四棱錐中，

5、底面是平行四邊形，側(cè)面底面， 分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（）求證：平面； （）如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，求的值20 （本小題滿分12分） 已知直線被圓截得的弦長恰與橢圓的短軸長相等，橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）已知過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由21 （本小題滿分12分） 已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的最大值；（2）若，正實(shí)數(shù)滿足，證明： 請(qǐng)考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)22（本小題滿分10

6、分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，已知圓是的外接圓，是邊上的高，是圓的直徑.（1）求證：；（2）過點(diǎn)作圓的切線交的延長線于點(diǎn)，若，求的長.23（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同，已知曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求的直角坐標(biāo)方程；（2）直線（為參數(shù)）與曲線交于兩點(diǎn)，與軸交于，求24 （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù).（1）若，解不等式；（2）如果，求的取值范圍.參 考 答 案1-12 CDCBC BAADC BD13、； 14、； 15、3； 16、.17解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S

7、1=3； 1分 當(dāng)n2時(shí)， 經(jīng)檢驗(yàn)，n=1時(shí)，上式成立 an=4n1，nN* 4分（2）an=4log2bn+3=4n1，bn=2n16分 nN* ， 2得：，8分 10分 故12分18（）解：， 又已知 ， 于是可得：， 因此，所求回歸直線方程為： 5分（）解: 根據(jù)上面求得的回歸直線方程，當(dāng)廣告費(fèi)支出為10萬元時(shí)， (萬元) 即這種產(chǎn)品的銷售收入大約為82. 5萬元. （8分）24568304060507030.543.55056.569.5（）解： 基本事件：（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），（40，60），（40，50），（40，70），（60，50），（

8、60，70），（50，70）共10個(gè) 兩組數(shù)據(jù)其預(yù)測值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值都超過5：（60，50） 所以至少有一組數(shù)據(jù)其預(yù)測值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值不超過5的概率為FC A DP MB Ezyx19（）證明：在平行四邊形中，因?yàn)?，所?由分別為的中點(diǎn)，得， 所以 2分 因?yàn)閭?cè)面底面，且， 所以底面 又因?yàn)榈酌妫?所以 4分 又因?yàn)?，平面，平面?所以平面 5分（）解：因?yàn)榈酌?，所以兩兩垂直，故以分別為軸、軸和軸，如上圖建立空間直角坐標(biāo)系， 所以，設(shè)，則，所以，平面的一個(gè)法向量 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 由，得 令， 得 9分 因?yàn)橹本€與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等， 所以，即， 所以 ，

9、 解得，或（舍） 綜上所得： 12分20（1）則由題設(shè)可求得， 2分 又，則，所以橢圓的方程是 4分（2） 解法一：假設(shè)存在點(diǎn)，若直線的斜率存在，設(shè)其方程為， 將它代入橢圓方程，并整理得 5分 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則， 因?yàn)榧埃?所以 8分 當(dāng)且僅當(dāng)恒成立時(shí)，以為直徑的圓恒過定點(diǎn) 9分 所以，解得，此時(shí)以為直徑的圓恒過定點(diǎn) 10分 當(dāng)直線的斜率不存在，與軸重合，以為直徑的圓為也過點(diǎn) 綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)，滿足條件 12分解法二：若直線與軸重合，則以為直徑的圓為， 若直線垂直于軸，則以為直徑的圓為， 6分 由，解得，由此可知所求點(diǎn)如果 存在，只能是 事實(shí)上點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，證明如下：

10、7分 當(dāng)直線的斜率不存在，即直線與軸重合時(shí)，以為直徑的圓為， 過點(diǎn)； 當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程為， 代入橢圓方程并整理得 8分 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因?yàn)?，所以有 所以，即以為直徑的圓恒定過點(diǎn) 11分 綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件 12分21（） 因?yàn)?，所以?此時(shí)， ， 由，得， 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 故當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值，也是最大值，所以的最大值為 4分（3）當(dāng)， 由，即，5分 從而 6分 令，則由得， 8分 可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以， 10分 所以，因?yàn)椋?因此成立 12分22（1）連接則有為直角三角形，所以，又 所以，所以 即，又，故 4分（2）因?yàn)闉閳A的切線，所以 又，從而解得 6分 因?yàn)椋?所以，所以，即. 10分23（）由得， 得直角坐標(biāo)方程為，即； 4分（）將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，化簡得，點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的參 數(shù)，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)