圓錐曲線定點、定直線、定值問題

1、定點、定直線、定值專題1、已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在X軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.（I）求橢圓C的標準方程：（口）若直線l:y = kx + m與橢圓C相交于A, 3兩點（A, B不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢 圓C的右頂點，求證：直線/過泄點，并求出該左點的坐標.2 2【標準答案】（I）由題意設(shè)橢圓的標準方程為二+ = （ab 0）cr(II)設(shè) A(xl9yB(x29y2)y = kx + m由0, 3+4k2 -m2 0.= x+x2 = _Smk3+ 4疋4(/7?2 -3)3+ 4/3(加 2_4/)3 +4k2y y2 = (kx + m) (

2、g + in) = k2xx2 + mk(x +x2) + m2 =以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2,0）,心 =一1，一亠7 = 一1，X _ 2 心 _ 2（最好是用向量點乘來）y2 +小2 -2（冊+兀）+ 4 = 0,3（m2-4k2）4（m2 一3）16mk 4 ??；+ +r + 4 = 0,3 + 4疋3 + 4疋3 + 4疋7屛+16蟲+4疋=0,解得=一2匕“=一，且滿足3 + 4k2-m2 0.當m = -2k時,l:y = k（x-2）,直線過定點（2,0）,與已知矛盾;當 =時，/：y = R（x 土），直線過定點（二,0）7772綜上可知，直線/過立點，立點坐標為（

3、一,0）.72、已知橢圓C的離心率e =耳,長軸的左右端點分別為AJ-2,0）, A2（2,0）o （ I ）求橢圓C的方程:（II）設(shè)直線x = my + l與橢圓C交于P.Q兩點，直線Af與AQ交于點S。試問：當m變化時，點S是否恒在一條左直線上若是，請寫岀這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由。 1解法一：(I )設(shè)橢圓C的方程為 + . = l(ab0)o*.* a = 2 e = = -: c =羽,b2 = a2 c2 = 1 a .a 2.橢圓c的方程為著+y = i。取m = 0,得P(i,f)Q 1，-卑，直線A】p的方程是=務(wù) + 直線A:Q的方程是y = x -

4、 G交點為S,(4,/3)7分，若罔若點S在同一條直線上，則直線只能為f:x = 4o（II）Q 1,由對稱性可知交點為S2(4-x/3).以下證明對于任意的m,直線Af與直線AQ的交點S均在直線:x=4上。事實上,l+y2=1lx = my +1（my +1 $ + 4y2 = 4,即（nr +4）y2 + 2my _3 = 0,一9 m2記P(xy1),Q(x2,y2).則兒+y嚴眉二yy =眉二匚 設(shè)Af與交于點S(4,y),由輒=仝匕，得九=竺七4 + 2X+2X|+2設(shè)A?Q與C交于點S；(4, y。),由雖二化，得y即s與S；重合，這說明，當m變化時，點S恒在定直線:x=4上。13

5、分解法二：(II )取皿=0,得Pjl,直線Af的方程是y = x +迺，直線A2Q的方程是63y = t- x -丿勺S 乙f8 3取m = l,得pq(0,-1),直線Af的方程是y =卜+ *,直線Ay2(xl+2)-yI(x2-2)、2(【】鳥+3)-片(1】嘰一1)3y2 + yt這說明，當m變化時，點S恒在左直線:x=4上。12分13分3、已知橢圓E的中心在原點，焦點在X軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為V2-1,離心率為e = 2(I) 求橢圓E的方程：(口)過點(1,0)作直線交己于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個立點M, MP MQ為定值若存在，求出這個定點M的坐標

6、：若不存在，請說明理由.解：設(shè)橢圓E的方程礙+討，由已知得-a - c =-1_返a=T.尸血卅=才一(？=1橢圓的方程為蘭+護=1。c = l2()法一：假設(shè)存在符合條件的點M(m,0),又設(shè)PgyJQgyJ，則:MP = (xt -m,y1),MQ = (x2 -m,y2),MP-MQ = (x, -m) (x2 一nj + yy = xlx2-m(xl +x2) + nr + 2 ooooo 5 分當舌線l的斜辜存在時，設(shè)直線l的方程為：y = k(x-l),則 fx2 2由 ， 得x2 + 2k2(x-l)2-2 = 0,y = k(x-l)4k27k2 _7(2k2 + l)x2-4

7、k2x + (2k2-2) = 0 x, + x. = 一. xx. = _ . 一 7 分 2k-+ 12k-+ 1yly2=k2(x1-l)(x2-l) = k2x1x2-(xl+x；) + l = -?yf-riq rjg ok 2k2-24k2, k2 (2nr -4m + l)k2 +(nr -2) 八所以 MP MQ = 一；一-m ；一 + nr-；一 = 9 分2k2+ 12k2+ 12k2+ 12k2+ 1對于任意的k值,MP MQ為定值,所以2nr-4m + l = 2(nr-2),得m = -,4c7所以 M(-.0).MP MQ = :11 分4 16當直線I的斜率不存

8、在時，直細:x = 1,X +x? =2,XX? =1,労2 =-*由 m = I 得 MP MQ = -416綜上述知，符合條件的點M存在，起坐標為(二0)13分4法二：假設(shè)存在點 M(m.O),又設(shè) P(xpyjXQ(x25y2X 則：21P = (X| -m,yjNQ = (X2 -my?)Mp mQ = (X -m) (X2 - mj + yd、= X|X2 -m(X +X2)+ m + 片九5 分當直線1的斜率不為0時，設(shè)舌線1禹方程為x = ty + l, 2+y 日得(t2 + 2)y, + 2ty-1 = 0 /.y, + y2 = Y -y2 =7 分x = ty +1t2

9、2t2 +12 +22t +2V2= (ty. +1) - (ty2 +1) = t2y,y2+t(y. + y2)+i =冷- = +,、c 2廠+2廠+44Z+yJ + 2二 “2 pMP. mq = zgr+2 _m2 _= (nr - 2)t - + 2nr - 4m . 1e+2 t2 + 2 t2 + 2t2 + 2t2+2設(shè)MP MQ = X 則 E-2)+2m-4m + l、/. (nf 一 2)t2 + 2nr - 4m +1 = X(t2 + 2)/. (m 一 2 - ?0t2 + 2nr 一 4m +1 - 2九=0nr-2-；t = 02nr 一 4m+ 1 2九=0

10、5 m = _-J MG、0) Il分X =416當直線I的斜率為0時，直線l:y = O,由M(二0)得:綜上述知，符合條件的點M存在，其坐標為(-.0) oooo 13分焦點F作與坐標軸不垂直的直線/,交橢圓于A . B兩點。(I) 求橢圓的標準方程：(II) 設(shè)點M(”0)是線段OF上的一個動點，且(MA + MB)1AB,求加的取值范圍：(III) 設(shè)點C是點A關(guān)于X軸的對稱點，在X軸上是否存在一個左點使得C. B、N 三點共線若存在，求出泄點N的坐標，若不存在，請說明理由。)2 2解法一：(I)設(shè)橢圓方程為二+二=10),由題意知方=1/ b(II)由(I)得F(2,0),所以0w

11、0 /. 0 ni 5k2+5 5（5宀15.當0 V2V時，有（MA + MB）丄麗成立。（II【）在x軸上存在定點N （二0）,使得C、B、N三點共線。 2設(shè)存在N（/,0）,使得C B. N三點共線，則面頁, CB = （Xj-x2,y2 + yCN = （t-xl,必），（x2 一州）“ 一（/一易）（才 + y2）= 即（吃 一X）比（州 一2）-（f 一西）k（x +x2 -4） = 02xx2 一（f + 2）（x）+ x2） + 4r = 0-5552W-（+ 2）二亠+ 4/=0, .t = - /.存在N（0）,使得CBN三點共線。5L + 15/r+l226、（福建卷）已知橢圓+ y2 =1的左焦點為F, O為坐標原點。2 （I）求過點0、F,并且與橢圓的左準線/相切的圓的方程；（II）設(shè)過點F且不與坐標軸垂直交橢圓于&、B兩點，線段&3的垂直平分線與x軸交于點G,求點G橫坐標的