含參數(shù)的一元二次不等式的解法(講)（經(jīng)典實用）

1、含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 2 -3+19 -60 xx如：求不等式的解集 2 3-19 +60 xx 3 -1)( -6)0 xx（ 如何求解一元二次不等式？如何求解一元二次不等式？ 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 分析分析： 12 1 3 -1)( -6)=0 3 xxxx相對應(yīng)方程（的根 = , =6 1 6 3 不等式的解集（ , ） 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 2 +( -1) - 0( 0)xa xaa解不等式 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 12 1 ,xxa 00aa -a1 - )(1,+

2、 )a不等式的解集為（， 相對應(yīng)一元二次方程的兩根 1)() 0 xx a（ 解析：原不等式等價于 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 2 +( -1) -0()xax aaR變式：解不等式 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) -a1-a(-a) (1)-a1（ ） 12 1,xxa 1)()0 xxa（解析解析：原不等式等價于 相對應(yīng)一元二次方程的兩根 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 2 +( -1) -10()xaxaR解不等式a 二次項含有參數(shù)應(yīng)二次項含有參數(shù)應(yīng)如何求解如何求解？ 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 含參數(shù)的一元二次不等式含參數(shù)的一元二次不等式考點考點 x1

3、x2 x y O 2 +( -1) -10()xaxaR解不等式a x x1x2 y O 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 若不等式若不等式ax2bx20的解集為的解集為 則則ab 的值為的值為() A.14 B.15 C.16 D.17 11 , 23 xx 解關(guān)于 的不等式: x 2 20 xkxk 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 例題講解例題講解 例3:解關(guān)于 的不等式: x 2 20 xkxk 原不等式解集為 解： 22 88 44 kkkkkk xx 由于 的系數(shù)大于0,對應(yīng)方程的根只需考慮的符號. 2 x 2 8kk （）當(dāng)即時， 2 80kk80k 原不等式解集為 （）

4、當(dāng)時得 2 80kk 08kk或 0 x x 解集為： 2x x 解集為： 分析分析: （)當(dāng) 即 時, 2 80kk08kk或 (a)當(dāng) 時,原不等式即為 0k 02 2 x (b)當(dāng) 時,原不等式即為8k 0882 2 xx 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) (3)當(dāng) 時,不等式解集為80k 0 x x (4)當(dāng) 時,不等式解集為0k (2)當(dāng) 時,不等式解集為2x x 8k 綜上所述綜上所述，(1)當(dāng) 時,不等式解集為8k 22 88 44 kkkkkk xx 22 88 44 kkkkkk xx (5)當(dāng) 時,不等式解集為 0k 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 解不等式04

5、2 axx 解：解：16 2 a 4,40a 當(dāng)即時R 原不等式解集為原不等式解集為 ； 40a 當(dāng)即時, 2 a x xRx 且原不等式原不等式解集為解集為 ； 440aa 當(dāng)或即時， , 此時兩根分別為此時兩根分別為 2 16 2 1 aa x 2 16 2 2 aa x ， 顯然顯然 21 xx , 原不等式的解集為：原不等式的解集為： 2 16 2 16 22 aa x aa xx或 例例4： 例題講例題講 解解 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 成果驗收成果驗收 相信我能行！相信我能行！ 2 1-a)460-3 4的解集為的解集為x|xb, (1)求求a，b的值；的值； (2)解

6、不等式解不等式ax2(acb)xbc0. 知能遷移知能遷移1 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) (2)不等式不等式ax2(acb)xbc0， 即即x2(2c)x2c0，即，即(x2)(xc)2時，不等式時，不等式(x2)(xc)0的解集為的解集為x|2xc； 當(dāng)當(dāng)c2時，不等式時，不等式(x2)(xc)0的解集為的解集為x|cx2； 當(dāng)當(dāng)c2時，不等式時，不等式(x2)(xc)2時時,原不等式的解集為原不等式的解集為x|2xc； 當(dāng)當(dāng)c2時時,原不等式的解集為原不等式的解集為x|cx0的解集是全體實數(shù)的的解集是全體實數(shù)的 條件是條件是_. a0時，時，b-4ac0 含參數(shù)的一元二次不等式的

7、解法 (講) 練習(xí)練習(xí).1.1若集合若集合A A=x x| |axax2 2- -axax+10= ,+10= ,則實數(shù)則實數(shù)a a的取值范圍的取值范圍 是是 （ ） A. A.a a|0|0a a4 B.4 B.a a|0|0a a44 C. C.a a|0|000時，相應(yīng)二次方程中時，相應(yīng)二次方程中 的的=a a2 2-4-4a a0,0,解得解得00a a4,4, 綜上得綜上得 a a|0|0a a4. 4. D a 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 【2】如果如果a0, 函數(shù)函數(shù) 的定義的定義 域為域為R, 則實數(shù)則實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是_. 1 2 a 2 3 ( )

8、log ()f xaxxa 2 0axxa 對一切實數(shù)對一切實數(shù) x 恒成立，恒成立， 2 0, 1 40. a a 或或 0, 11 , 22 a aa 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 【例例2 2】（1212分）已知不等式分）已知不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10.+10. （1 1）若對所有的實數(shù)）若對所有的實數(shù)x x不等式恒成立，求不等式恒成立，求m m的取值范的取值范 圍；圍； （2 2）設(shè)不等式對于滿足）設(shè)不等式對于滿足| |m m|2|2的一切的一切m m的值都成立的值都成立, , 求求x x的取值范圍的取值范圍. . （1 1）由于二次項系數(shù)含有字母，所

9、以首）由于二次項系數(shù)含有字母，所以首 先討論先討論m m=0=0的情況，而后結(jié)合二次函數(shù)圖象求解的情況，而后結(jié)合二次函數(shù)圖象求解. . （2 2）轉(zhuǎn)換思想將其看成關(guān)于）轉(zhuǎn)換思想將其看成關(guān)于m m的一元一次不等式，的一元一次不等式， 利用其解集為利用其解集為-2-2，2 2，求參數(shù)，求參數(shù)x x的范圍的范圍. . 思維啟迪思維啟迪 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 解解 （1 1）不等式）不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10+10恒成立，即函數(shù)恒成立，即函數(shù)f f( (x x)=)= mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1的圖象全部在的圖象全部在x x軸下方軸下方.

10、 . 當(dāng)當(dāng)m m=0=0時，時，1-21-2x x0, 時，不等式恒成立時，不等式恒成立, ,不滿足題意；不滿足題意； 3 3分分 當(dāng)當(dāng)m m00時，函數(shù)時，函數(shù)f f( (x x)=)=mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1為二次函數(shù)，為二次函數(shù)， 需滿足開口向下且方程需滿足開口向下且方程mxmx2 2-2-2x x- -m m+1=0+1=0無解，即無解，即 綜上可知不存在這樣的綜上可知不存在這樣的m m. 6. 6分分 2 1 ., 0)1 (44 0 無解則m mm m 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) (2)(2)從形式上看，這是一個關(guān)于從形式上看，這是一個關(guān)于x x的

11、一元二次不等式的一元二次不等式, , 可以換個角度，把它看成關(guān)于可以換個角度，把它看成關(guān)于m m的一元一次不等式，的一元一次不等式， 并且已知它的解集為并且已知它的解集為-2,2,-2,2,求參數(shù)求參數(shù)x x的范圍的范圍. 7. 7分分 設(shè)設(shè)f f( (m m)=()=(x x2 2-1)-1)m m+(1-2+(1-2x x),), 則其為一個以則其為一個以m m為自變量的一次函數(shù)為自變量的一次函數(shù), ,其圖象是直線其圖象是直線, , 由題意知該直線當(dāng)由題意知該直線當(dāng)-2-2m m22時線段在時線段在x x軸下方，軸下方， 分即9 0122 0322 , 0)2( 0)2( 2 2 xx x

12、x f f 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 13xx 或或 2 ( )(2)44g axaxx ( 1)0 (1)0 g g 此題若把它看成關(guān)于此題若把它看成關(guān)于x的二次函數(shù)的二次函數(shù),由于由于a, x都要都要 變變,則函數(shù)的最小值很難求出則函數(shù)的最小值很難求出,思路受阻思路受阻.若視若視a為主元為主元, 則給解題帶來轉(zhuǎn)機則給解題帶來轉(zhuǎn)機. 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 則問題轉(zhuǎn)化為則問題轉(zhuǎn)化為mg(x)min 解：解：m- -2x2+9x在區(qū)間在區(qū)間2，3上恒成立，上恒成立， （1）變量分離法）變量分離法(分離參數(shù)分離參數(shù)) 例例3. 關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式 在區(qū)間在區(qū)間

13、2, 3上上恒成立恒成立,則實數(shù)則實數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_. 2 290 xxm 9m 2 ( )29 ,2,3,g xxx x 記 min( ) (3)9,gxg 9.m 【評注】對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)ⅰ驹u注】對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)?不等式中的變量和參數(shù)進(jìn)行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不不等式中的變量和參數(shù)進(jìn)行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不 等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸 為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講)

14、問題等價于問題等價于f(x)max0, 解：構(gòu)造函數(shù)解：構(gòu)造函數(shù) 2 ( )29,2,3,f xxxm x 2981 ( ) 2(),2,3, 48 f xxmx max( ) (3)90,fxfm 9.m 23 y . . xo （2）轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值）轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值 例例3. 關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式 在區(qū)間在區(qū)間 2, 3上上恒成立恒成立,則實數(shù)則實數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_. 2 290 xxm 9m 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) (2)0 (3)0 f f 則則 100 90 m m 解：構(gòu)造函數(shù)解：構(gòu)造函數(shù) 2 ( )29,2,3,f xxxm x 9.m 23 y

15、 . . xo 例例3. 關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式 在區(qū)間在區(qū)間 2, 3上上恒成立恒成立,則實數(shù)則實數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_. 2 290 xxm 9m （）數(shù)形結(jié)合思想（）數(shù)形結(jié)合思想 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 解：解： 數(shù)，數(shù)， 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 還有什么方法呢？還有什么方法呢？ 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 【1】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 對于對于 x R恒成立恒成立,則實數(shù)則實數(shù)m 的取值范圍時的取值范圍時( ) A.(,2 B. 2,2 C.( 2,2 D.(, 2 2 ( )(2)

16、2(2)4,f xmxmx令令 (2)0 2 0 m m 或 22m C 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 【2】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 對于對于 m - -1,1恒成立恒成立,則實數(shù)則實數(shù)x 的取值范圍是的取值范圍是_. 2 ( )2)2(2)4(g mmxmx 22 (2 )244xx mxx ( 1)0 (1)0 g g 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 【3】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 對于對于 x - -1,1恒成立恒成立,則實數(shù)則實數(shù)m 的取值范圍是的取值范圍是_. 2

17、( )(2)2(2)4,f xmxmx令令 20 0 2 ( 1)0 (1)0 m m f f 或 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 一、選擇題一、選擇題 1.1.(2009(2009陜西理陜西理,1),1)若不等式若不等式x x2 2- -x x00的解集為的解集為M M, ,函函 數(shù)數(shù)f f( (x x)=ln(1-|)=ln(1-|x x|)|)的定義域為的定義域為N N, ,則則M MN N為為 ( ) ( ) A. A.0,1) B.(0,1)0,1) B.(0,1) C. C.0,10,1 D.(-1,0) D.(-1,0) 解析解析 不等式不等式x x2 2- -x x00的

18、解集的解集M M=x x|0|0 x x1,1,f f( (x x)= )= ln(1-| ln(1-|x x|)|)的定義域的定義域N N=x x|-1|-1x x1,1, 則則M MN N=x x|0|0 x x1.1. 定時檢測定時檢測 A 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 2.2.已知不等式已知不等式axax2 2- -bxbx-10-10的解集是的解集是 則不等則不等 式式x x2 2- -bxbx- -a a00的解集是的解集是 （ ） A.(2,3) B.(-,2)(3,+) A.(2,3) B.(-,2)(3,+) C. D. C. D. 解析解析 由題意知由題意知 是方程

19、是方程axax2 2- -bxbx-1=0-1=0的根的根, ,所所 以由韋達(dá)定理得以由韋達(dá)定理得 解得解得a a=-6,=-6,b b=5,=5,不等式不等式x x2 2- -bxbx- -a a00即為即為x x2 2-5-5x x+60,+62,)2,則實數(shù)則實數(shù)t t的取值的取值 范圍是范圍是 （ ） A. A.（-,-1-,-1）(4,+)(4,+) B.(-,2)(3,+) B.(-,2)(3,+) C.(-,-4)(1,+) C.(-,-4)(1,+) D.(-,0)(3,+) D.(-,0)(3,+) 解析解析 由題意知由題意知t t2 2-2-2t t-12-12且且t t0

20、,0,或或-2-2t t+62+62且且t t033或或t t0. 0. . 0, 62 , 0, 12 2 xx xxx D 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 4.4.設(shè)命題設(shè)命題p p:|2:|2x x-3|1,-3|1,q q: : 則則p p是是q q的（的（ ） A. A.充分不必要條件充分不必要條件 B. B.必要不充分條件必要不充分條件 C. C.充要條件充要條件 D. D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析解析 不等式不等式|2|2x x-3|1-3|1的解是的解是11x x2,2, 不等式不等式 的解是的解是11x x2. 0,0,y y00滿足滿足f f(

21、(xyxy)=)=f f( (x x)+)+f f( (y y),),則不等式則不等式f f( (x x+6)+ +6)+ f f( (x x)2)2f f(4)(4)的解集為的解集為_._. 解析解析 由已知得由已知得f f( (x x+6)+6)+f f( (x x)=)=f f( (x x+6)+6)x x, , 2 2f f(4)=(4)=f f(16).(16).根據(jù)單調(diào)性得根據(jù)單調(diào)性得( (x x+6)+6)x x16,16, 解得解得-8-8x x2.0,+60,x x0,0,所以所以00 x x2. 2. (0,2)(0,2) 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 (講) 6.6.若關(guān)

22、于若關(guān)于x x的方程的方程x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1=0-1=0有一正根和一負(fù)根，有一正根和一負(fù)根， 則則a a的取值范圍是的取值范圍是_._. 解析解析 令令f f( (x x)=)=x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1,-1, 二次函數(shù)開口向上，若方程有一正一負(fù)根，二次函數(shù)開口向上，若方程有一正一負(fù)根， 則只需則只需f f(0)0,(0)0,即即a a2 2-10,-10, -1 -1a a1. 1. -1-1a a10)0恒成立恒成立, ,則則b b的取值范圍是的取值范圍是_._. 解析解析 依題意，依題意，f f( (x x) )的對稱軸為的對稱軸為x x=1,=1,又