人教版中職數(shù)學(xué)5.2.1任意角的三角函數(shù)的 定義（經(jīng)典實(shí)用）

1、三 角 三角 三角 三角 5.2.1 任意角的三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)的定義 百度文庫(kù)：百度文庫(kù)： 李天樂(lè)樂(lè)李天樂(lè)樂(lè) 為您呈獻(xiàn)！為您呈獻(xiàn)！ 初中銳角三角函數(shù)定義初中銳角三角函數(shù)定義( (正弦，余弦，正切正弦，余弦，正切) ) 思考思考 角的范圍已經(jīng)推廣，那么我們?nèi)绾味x角的范圍已經(jīng)推廣，那么我們?nèi)绾味x 任意角任意角 的的三角函數(shù)呢？三角函數(shù)呢？ 斜邊 鄰邊 Acos 斜邊 對(duì)邊 Asin 鄰邊 對(duì)邊 AtanA B 鄰鄰 邊邊 斜斜 邊邊 對(duì)對(duì) 邊邊 C 任意角三角函數(shù)的定義任意角三角函數(shù)的定義 已知已知 是是任意角，任意角，P(x，y)，P (x，y)是角是角 的的 終邊與兩個(gè)半徑不

2、同的同心圓的交點(diǎn)，終邊與兩個(gè)半徑不同的同心圓的交點(diǎn)， 則由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得則由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得 x y x y , r y r y , r x r x 由于點(diǎn)由于點(diǎn) P，P 在同一象限內(nèi)，在同一象限內(nèi)， 所以它們的坐標(biāo)符號(hào)相同，因此得所以它們的坐標(biāo)符號(hào)相同，因此得 ， x y x y r y r y r x r x P P y xO x y r y x r 所以當(dāng)角所以當(dāng)角 不變時(shí)，不論點(diǎn)不變時(shí)，不論點(diǎn) P 在角在角 的的 終邊上的位置如何，終邊上的位置如何，這三個(gè)比值都是定值，只這三個(gè)比值都是定值，只 依賴于依賴于 的大小，與點(diǎn)的大小，與點(diǎn) P 在在 角角 終邊上的位終邊上的

3、位 置無(wú)關(guān)置無(wú)關(guān). 設(shè)角設(shè)角 的終邊上的任意一點(diǎn)的終邊上的任意一點(diǎn)P（x，y），），點(diǎn)點(diǎn) P 到原點(diǎn)到原點(diǎn) 的距離為的距離為 r. 于是我們有如下定義：于是我們有如下定義： r x r x 比值比值 叫做叫做角角 的余弦的余弦. .記作記作 cos r y r y 比值比值 叫做叫做角角 的正弦的正弦. .記作記作 sin x y x y 比值比值 叫做叫做角角 的正切的正切. .記作記作 tan 依照上述定義，對(duì)于每一個(gè)確定的角依照上述定義，對(duì)于每一個(gè)確定的角 ，都分別，都分別 有唯一確定的三角函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，所以這三個(gè)對(duì)應(yīng)有唯一確定的三角函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，所以這三個(gè)對(duì)應(yīng) 關(guān)系都是以角關(guān)系都是

4、以角 為自變量的函數(shù)，分別稱作角為自變量的函數(shù)，分別稱作角 的的 余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù) 計(jì)算三角函數(shù)值的步驟：計(jì)算三角函數(shù)值的步驟： S1 畫角畫角 在直角坐標(biāo)系中，作轉(zhuǎn)角在直角坐標(biāo)系中，作轉(zhuǎn)角 ； S2 找點(diǎn)找點(diǎn) 在角的終邊上任找一點(diǎn)在角的終邊上任找一點(diǎn)P，使，使 OP 1 1， 并量出該點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)；并量出該點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)； S3 求值求值 根據(jù)三角函數(shù)定義，求出角根據(jù)三角函數(shù)定義，求出角 的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值 三角函數(shù)求值三角函數(shù)求值 例例 1 已知角已知角 終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（2，- -3）如圖，如圖， 求求角角 的三個(gè)三角函數(shù)值

5、的三個(gè)三角函數(shù)值 O y x P（2，-3） 解解 已知點(diǎn)已知點(diǎn) P（2， -3），則則 1332 2 2 OPr ； ； 2 3 tan 13 132 13 2 cos 13 133 13 3 sin x y r x r y 例例 2 試確定三角函數(shù)在各象限的符號(hào)試確定三角函數(shù)在各象限的符號(hào) 解解 由三角函數(shù)的定義可知，由三角函數(shù)的定義可知， sin ，角，角 終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo)終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo) y 的正、負(fù)的正、負(fù) 與角與角 的正弦值同號(hào)；的正弦值同號(hào)； r y cos ，角，角 終邊上點(diǎn)的橫坐標(biāo)終邊上點(diǎn)的橫坐標(biāo) x 的正、負(fù)的正、負(fù) 與角與角 的余弦值同號(hào)；的余弦值同號(hào)； r x tan

6、，則當(dāng)，則當(dāng) x 與與 y 同號(hào)時(shí)，正切值為正，同號(hào)時(shí)，正切值為正， 當(dāng)當(dāng) x 與與 y 異號(hào)時(shí)，正切值為負(fù)異號(hào)時(shí)，正切值為負(fù) x y 記憶口訣：記憶口訣：全全正，正，正弦，正弦，正切，正切，余弦余弦 + + + x y o sin - - - x cos y o + + - - + +- - tan x y o + + + +- - - - 三角函數(shù)在各象限的符號(hào)如下圖所示：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)如下圖所示： ( (2) ) 因?yàn)橐驗(yàn)?130 是第二象限角，是第二象限角，所以所以 cos 130 0. 練習(xí)練習(xí)1 1 確定下列各三角函數(shù)值的符號(hào)：確定下列各三角函數(shù)值的符號(hào)： 3 4 tan)

7、 4 sin( (1) ； (2) cos130 ； (3) ( (3) ) 因?yàn)橐驗(yàn)?是第三象限角，是第三象限角， 3 4 解解 ( (1) ) 因?yàn)橐驗(yàn)?是第四象限角，是第四象限角， 4 3 4 tan所以所以 0. ) 4 sin(所以所以 0. 例例3 使用函數(shù)型計(jì)算器，計(jì)算下列三角函數(shù)值：使用函數(shù)型計(jì)算器，計(jì)算下列三角函數(shù)值： (1) sin67.5 ， cos372 ， tan (86 )； (2) sin1.2， cos ， tan 4 3 6 5 1. 以原點(diǎn)為圓心，半徑為以原點(diǎn)為圓心，半徑為 1 的圓稱為的圓稱為單位圓單位圓. 2. 如圖，角如圖，角 的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終

8、邊與單位圓交于點(diǎn)P， 則根據(jù)三角函數(shù)定義可知，點(diǎn)則根據(jù)三角函數(shù)定義可知，點(diǎn) P 的坐標(biāo)的坐標(biāo) x， y 分別為分別為 cos 和和 sin ，即，即 P( cos , sin ). O M x A(1,0)(1,0) y 1 P 由于由于 cos x OM； sin y MP， 于是我們把于是我們把規(guī)定了方向的線段規(guī)定了方向的線段 OM 稱作角稱作角 的的余弦線余弦線， MP 稱作角稱作角 的的正弦線正弦線 . 單位圓與三角函數(shù)線單位圓與三角函數(shù)線 (cos , sin ) 練習(xí) 2 2（1 1） 在單位圓中作出下列各角的正弦線、余弦線 （1） ； （2） 3 3 2 y x O y x O

9、3 P M 3 2 P M 如何畫如何畫正切線？正切線？ y x O A T T 所以所以 AT ( AT ) 稱作角稱作角 的的正切線正切線 ，因?yàn)?(tanTAAT x y 附注 通過(guò)單位圓研究 三角函數(shù)的幾何演 示過(guò)程可在主界面 單擊“單位圓研究 三角函數(shù).gsp”文 件觀看. 練習(xí) 2 2（2 2） 在單位圓中作出下列各角的正切線 （1） ； （2） 3 3 2 y x O y x O 3 M 3 2 M T A T A 本節(jié)課所學(xué)知識(shí)點(diǎn)：本節(jié)課所學(xué)知識(shí)點(diǎn)： 1 1任意角三角函數(shù)的定義（代數(shù)表示）任意角三角函數(shù)的定義（代數(shù)表示） 2 2任意角三角函數(shù)值的求法（兩種方法）任意角三角函數(shù)值的求法（兩種方法） 3 3任意角三角函數(shù)值的符號(hào)（記住口訣）任意角三角函數(shù)值的符號(hào)（記住