高等數(shù)學(xué)（上）：D1_7無窮小的比較

1、第七節(jié)第七節(jié) 第一章第一章 ,0時xxxxsin,3 2 都是無窮小都是無窮小,引例引例 . x x x3 lim 2 0 ,0 2 0 3 lim x x x , x x x3 sin lim 0 , 3 1 但但 可見無窮小趨于可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的的速度是多樣的 . 無窮小的比較無窮小的比較 在無窮小的極限運(yùn)算中在無窮小的極限運(yùn)算中, 若自變量的變化過程相同，若自變量的變化過程相同， 兩個無窮小的和、差、積都是無窮小，但是兩個無窮小兩個無窮小的和、差、積都是無窮小，但是兩個無窮小 的商卻未必是無窮??！的商卻未必是無窮??！ ,0limC k 定義定義. ,0lim 若若則稱則稱

2、 是比是比 高階高階的無窮小的無窮小, )(o ,lim 若若 若若 若若 , 1lim 若若 ,0limC 或或 ,設(shè)設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小是自變量同一變化過程中的無窮小, 記作記作 則稱則稱 是比是比 低階低階的無窮小的無窮小; 則稱則稱 是是 的的同階同階無窮小無窮小; 則稱則稱 是關(guān)于是關(guān)于 的的 k 階階無窮小無窮小; 則稱則稱 是是 的的等價等價無窮小無窮小, 記作記作 0 幾個例子幾個例子 2 0 cos1 lim x x x 2 2 0 sin2 lim x x 2 2 )(4 x 2 1 故故 x 0 時時, 且且的的二二階階無無窮窮小小是是關(guān)關(guān)于于 , cos1x

3、x ).(3 , 3 , 0 , 0 3 lim 2 2 2 0 xox xxx x x x 即即 高高階階的的無無窮窮小小是是比比時時故故 低低階階的的無無窮窮小小是是比比時時故故 2 2 11 1 1 ,lim n n n n n n， 是是同同階階無無窮窮小小與與時時故故 3 9 3 , 6 3 9 lim 2 2 3 xxx x x x ， 2 2 1 cos1xx . sin sin 0 , 1 sin lim 0 xx xxx x x x 即即 是是等等價價無無窮窮小小與與時時故故,， 例例1. . 1 11 , 0 :x n xx n 時時當(dāng)當(dāng)證明證明 證證: lim 0 x 1

4、1 n x x n 1 0 lim x 11 n n x x n 1 111 21 n n n n xx 1 )( 121 nnnnn bbaababa 另證：另證： . 1 0 , 1 ,1 txtxtx nn ，時時且且當(dāng)當(dāng)則則 x x n n x 1 0 11 lim 故故 )1( 1 lim 1 1 n n t t t 12 1 1 1 lim n t ttt n 1 定理定理1.)( o 證證: 1lim , 0)1lim( 0lim 即即 , )( o 即即)( o 例例2. 故故 x 0 時時, )(sinxoxx )(tanxoxx 與與 是等價無窮小是等價無窮小 ,0 時時x

5、 ,sinxx,tanxx , cos1 , arcsin 2 2 1 xxxx ).(cos1 ),(arcsin 22 2 1 xoxxxoxx 1.7 無窮小的無窮小的比較比較 定理定理2. 則則存存在在且且設(shè)設(shè) , lim , , . limlim 證證: lim lim lim lim lim lim 例例3. x x x 5sin 2tan lim 0 x x x 5 2 lim 0 5 2 ) 5 5sin ,2 2tan (xxxx 1.7 無窮小的無窮小的比較比較 . 3 sin lim 3 0 xx x x 求求 xx x x 3 lim 3 0 3 1 例例. 解：原式解

6、：原式 3 1 lim 2 0 x x 1.7 無窮小的無窮小的比較比較 2 3 1 x 2 2 1 x 例例3. 求求. 1cos 1)1 ( lim 3 1 2 0 x x x 解解:,0時當(dāng)x 1)1 ( 3 1 2 x 2 3 1 x 1cosx 2 2 1 x 0 lim x 原式 3 2 設(shè)對同一變化過程設(shè)對同一變化過程 , , 為無窮小為無窮小 ,說明說明: 無窮小的性質(zhì)無窮小的性質(zhì), (1) 和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 由等價由等價 可得簡化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則可得簡化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則. 若若 = o() , (2) 和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則: ,不等價與且若 ,則 例

7、如例如, xx x x 3 sin lim 3 0 x x x3 lim 0 3 1 則 ,limlim 且 .時此結(jié)論未必成立但 例如例如, 11 sin2tan lim 0 x xx xx xx x 2 1 0 2 lim 2 (3) 因式代替規(guī)則因式代替規(guī)則:極限存在或有且若)(,x 界界, 則則)(limx)(limx 例如例如, . sintan lim 3 0 x xx x 3 0 lim x xx x 原式 3 0 )cos1 (tan lim x xx x 2 1 3 2 2 1 0 lim x xx x 例例1. 求求 0 1 sinlim 1 sinarcsinlim 00

8、 x x x x xx 解解: 原式原式 應(yīng)用：求兩個無窮小之商的極限時，分子與分母都可應(yīng)用：求兩個無窮小之商的極限時，分子與分母都可 用等價無窮小來代替，但用等價無窮小來代替，但注意乘法項可用，加減法項注意乘法項可用，加減法項 不可用！不可用！ 1.7 無窮小的無窮小的比較比較 例例4. 證明證明: 當(dāng)當(dāng) 0 x時, . 1 1 lnx x x 證證: 利用利用和差代替與取大規(guī)則和差代替與取大規(guī)則 說明說明 時，當(dāng) 0 x )1ln()1ln( 1 1 lnxx x x )(xx x )()(1ln()1ln(xxx 不等價與)1ln()1ln(xx xx )1ln( 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 0 lim ,0 , , )0(C ,1 ,0lim C k 1. 無窮小的比較無窮小的比較 設(shè)設(shè) , 對同一自變量的變化過程為無窮小對同一自變量的變化過程為無窮小, 且且 是是 的的高階高階無窮小無窮小 是是 的的低階低階無窮小無窮小 是是 的的同階同階無窮小無窮小 是是 的的等價等價無窮小無窮小 是是 的的 k 階階無窮小無窮小 2. 等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理 ,0時當(dāng) x xsinxtan