多維隨機(jī)變量及其分布

1、習(xí)題三一、填空題3441設(shè) X 與Y 兩隨機(jī)變量,且 P(X 0, Y 0) =-, P(X 0), P (Y 0)-,則P(max(X, Y) 0)5/7 .則關(guān)于X的邊緣分布律為X12311/41/21/4f X, y10 x 1,0 y 10其他3.若(X, Y)的聯(lián)合分布律為12311/61/91/1821/3則概率 P X 0.5,Y0.6 =。6.設(shè)(X,Y)聯(lián)合概率密度為f (x,y)(2x 3y)Ae ,x, y 0 則系數(shù)a=_6_；0,其他7.設(shè)二維隨機(jī)變量 (X ,Y)的聯(lián)合概率密度為x,y2cx y,x1 2 30,y 1,，則 c=其它.21/48. 設(shè)二維隨機(jī)變量(

2、X，Y )的概率密度為f (x, y)4.8y(2 x) 0 x 1,0 y x0其它X2則關(guān)于X的邊緣概率密度是 fX(x)4.8y(2 x)dy 2.4x2(2 x) 0 x 10其它9. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X在區(qū)間0,2上服從均勻分布，Y服從參數(shù)為1的1指數(shù)分布，則P X Y 11丄.2e10. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0, 3上的均勻分布，則P maxX,Y 1 = 1/9_.11. 若X N( 1, ；),YN( 2,；),相互獨(dú)立，k“X k?Y服從分布為N(k1 1 k2 2,k： 12 k2 ；).12已知X1,X2,L ,Xn獨(dú)立且服從于相同的分布函數(shù)

3、F(x)，若令max( X1, X2,L ,Xn)，則 的分布函數(shù) F (x)= Fn(x).二、選擇題1. 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，其邊緣分布函數(shù) Fx(x)是(B)A lim F(x,y); B lim F(x,y); C F(x,0); D F(0, x).yyX-11P1/21/2Y-11P1/21/22.冋時擲兩顆質(zhì)體均勻的骰子，分別以X,Y表示第1顆和第2顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(A)136 攸 6.(A)PXi,Yj(B)PXY136 .(C)PXY12 .(D)PXY12 .3.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，它們的概率分布依次為則下列各式正確的是(C)(A) X=Y.

4、(B) PX=Y=0.(C) PX=Y=1/2.(D) PX=Y=1.4.設(shè)(X, Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 f (x, y)26x y, 0 x 1,00,其他y 1，則下列結(jié)論中錯誤的是(B)(A) P( X ,Y) G f (x,y)dxdy.( B) P( X ,Y) G6x2ydxdy.GGf (x, y)dxdy.(C) Px Y0dx ：6x2ydy.( D) P( X Y)5.設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合概率密度為f x, y1/ ,0,2 2x y其它1，則 X,Y滿足（C ）（A）獨(dú)立同分布.（C）不獨(dú)立同分布.（B）獨(dú)立不同分布.（D）不獨(dú)立也不同分布.6.設(shè)隨機(jī)變量X與Y

5、相互獨(dú)立，且分別服從N 0,1 和1,1，則（B）1(A) P(X Y 0)-.21(C) P(X Y 0)-212.1(D)P(X Y 1)-(B) P(XY 1)7.設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)分別為Fx,Fy(C) Fzmin FX x , FY(D)Fz z 11 FxN(21),丫 N(22）,且X與Y相互獨(dú)立，則（C）(A) X2Y N( 12,( 12) ) . (B) X Y N( 12,；)(C) X2Y N( 12 2, 12422) .( D) 2X Y N(22,2；)9已知 X N( 3,1)，Y N(2,1)，X ,Y相互獨(dú)立，記Z2Y 7,Z min（

6、X,Y）的分布函數(shù)為（D）(B)(A)Fz則 Z ( A)(A) N (0,5).(B) N(0,12).(C) N(0,54).(D) N(1,2).10設(shè)X1,X2,L ,Xn相獨(dú)立且都服從 N（2），則下式成立的是(B)(A) X1 X2 L Xn .(B) 1(X1 X2n2L Xn)N(,). n(C) 2X13 N(23,4 23).2 2(D) X1 X2 N(0, 12).三、計(jì)算下列各題1. 一個箱子裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，現(xiàn)隨機(jī)地?zé)o放回抽取兩次， 每次取一只, 以X和Y分別表示第一次和第二次取出的次品數(shù)，試寫出 X和Y的聯(lián)合概率分布律。解P(X0,Y0)1 1C10

7、C9 c1 c112 114566,P(X1,Y0)1 1C2C10C1 c112 111066P(X0,Y1)C；0C；C；2G111066,P(X1,Y1)c；c；1662. 袋中有1個紅色球，2個黑色球與3個白色球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球，以X，Y,分別表示兩次去求所取得的紅球、黑球與白球的個數(shù)，求（1）二維隨機(jī)變量X , Y的聯(lián)合概率分布律；（2） X， Y的邊緣分布律。解：（1）X，Y的取值范圍為0,1,2，故c3c； 111P X 0,Y0 CC3-,P X 1,Y06，P X 2,Y 0 朋，11P X 0,Y12,P X 1 丫 1 ,P X 2,Y 10,391P

8、 X 0,Y2-,P X 1丫 20,P X 2,Y20,9X012P23365/181/36Y012P4/94/91/901201/41/61/3611/31/9021/900(2)3設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能取值，另一個隨機(jī)變量Y在1X中等可能取一個整數(shù)值，求（1）（X,Y）的聯(lián)合分布律；（2） X，Y的邊緣分布律。解：由題意 X i,Y j ,其中i 1,2,3,4, j i,j為整數(shù)，則由概率的乘法公式有1 1 1P X i,Y j P X i P Y j X i-g ,i 1,2,3,4, j i.4 i 4i因此1234Pgj11/41/81/121/162948

9、201/81/121/1613483001/121/1674840001/16348p g1/41/41/41/41X101P1/41/21/44.已知隨機(jī)變量 X,Y的概率分布:Y01P1/21/2(2)問X,Y是否獨(dú)立為什么且P(XY 0)1. (1)求X,Y的聯(lián)合分布,解 因?yàn)?P(XY 0)1,所以，有 P(X 1,Y1) P(X 1,Y1)0,(1)設(shè)X ,Y的聯(lián)合分布為-101P j0P11P21P311/210P2201/2Pi.1/41/21/410.5 05假設(shè)隨機(jī)變量 X和Y相互獨(dú)立，都服從同一分布:X012P1/41/21/4Y012P1/41/21/4求概率PX Y.解

10、 注意，兩個隨機(jī)變量同分布，并不意味著它們相等，只說明它們?nèi)⊥恢档母怕氏嗟扔扇怕使郊?X和Y相互獨(dú)立，可見PX Y PX0,Y0 PX 1丫 1PX2,Y2PX0PY0 PX 1PY1PX2PY2212121_9242 166. 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x, y)k 60,x 2,2其它求:(1)系數(shù)k；(2) P1,Y 3(3) P X(2) P(3) Pf(x,y)dxdy1Y 332dy42dy 07.設(shè)二維隨機(jī)變量22dy 0k(6y)dx8k11-(6 x08y 1(6 x8y)dxy)dx3823（X,Y）的概率密度為f(x, y)Ae0,y，0其它y，求（1）常

11、數(shù)A(2)隨機(jī)變量X,Y的邊緣密度，（3）概率P（XY 1)。(2)(1)f f x, y)dxdy A 0 dx xdyx 0,fx(X)e ydy e x, fx (x)e0,，同理P(XY 1)x y1f (x, y)dxdy02 dx1e ydy8假設(shè)一微波線路有兩個中間站，它們無故障的時間X和Y是隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)為F (x, y)1 e0.01x e0.01y e0.01(x y),若 x 0, y0,0，若不然.（1）求兩個中間站連續(xù) 100小時無故障的概率;證明X和Y相互獨(dú)立.解（1）連續(xù)100小時無故障的概率PX 100, y 1001 F(100,) F( ,100)

12、 F(100,100)1 e 1 e 1 e21 2e1 e 20.1353.（2）現(xiàn)在證明X和Y相互獨(dú)立.以Fdx）和F2（y）分別表示X和Y的分布函數(shù)，則Fdx) F(x,0.01xF2(y) F(,y) 10.01y.;由于F （x, y） F1（x）F2（y），可見X和Y相互獨(dú)立.19.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為f x,y-xy, 0 x 1,0 y 2,30,求：（1）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)，并判斷X與Y是否相互獨(dú)立(2)P X解:（ 1）fx xf x,y dyx21xy dy,0,其它2x3x0,其它fY yf x, y dx1xy30,dx,其它0,其它由于f

13、(x, y)fx(x)fY(y),所以X和Y不獨(dú)立.(2)P Xf x, y dxdy 1 odx0xy dy365729.雷達(dá)的圓形屏幕的半徑為R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X,Y）在屏幕上均勻分布,(1)求X,Y的邊緣概率密度，（2）問X,Y是否獨(dú)立解 f(x,y) 1/( R2), x y0,其它R2(1) fx(X)f (x, y)dy0,2. R2 x2R2|x|其它同理 fY(y)R2|y| R0,其它(2) f (x,y) fx(x)fy(y),所以 X 和 Y不獨(dú)立.10.設(shè)兩個獨(dú)立隨機(jī)變量 X與Y的分布律為P（X 1）0.3, P（X 3）0.7,P（Y2）0.6, P（Y 4）0.4,

14、求（1） Z X Y的分布律，（2） W X Y的分布律.解由獨(dú)立性可得(X,Y )（1，2）（ 1，4）（ 3，2）（ 3，4）P(X x,Y y)XY3557XY-11-Z357PWH31-1P11.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度f (x,y)3x，0,1, 0其它所以Z X Y的分布律與W X Y的分布律分別為求Z X Y的概率密度。解 Fz(z) P(X Y z)0,z xdx01,3xdy1dxz3xdy所以,Z的密度函數(shù)為fz (z)320,其它12. 設(shè)二維變量（x, y）的概率密度為f(x, y)1,0 y其他求(1)PX 2Y ； (2)zY的概率密度。解：P X 2Y(

15、2y）dxdy，其中1,0x 2y的那部分區(qū)域;求此二重積分可得2Y1dx01(x0 1x2 (205 2.x )dx8y)dy724 Fz(z)P當(dāng)z 2時,0時,Fz(z)Fz(z)當(dāng) 0 z 1 時，F(xiàn)z(z)zdx0x(2x y)dy11當(dāng) 1 z 2 時，F(xiàn)z(z) 1dx(2 xz 1Z X 22z z2,0 z 1于是 fZ (z)z2 4z 4,1 z 2.0,其他y)dy2z24z13. 已知隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度為f (x, y)x y,右 0 x,y 1, 0，其他.求隨機(jī)變量U X Y的概率密度f(u).解對于u 0和u 2，顯然f (u) =0.(1)設(shè)0 u

16、1.注意到，當(dāng) x u時f(x,u x) =0.因此，由二隨機(jī)變量之和的概率 密度公式，有U2f (u) f (t,u t)dt o (t u t)dt u .(2)設(shè)1 u 2 .注意到當(dāng)x u 1時f (x, u x) 0 .由二隨機(jī)變量之和的概率密度公 式，有1f (u) f (t,u t)dt (t u t)dt u(2 u).u 1于是，隨機(jī)變量U X Y的概率密度u2，若 0 u 1 ,f (u)u(2 u),若 1 u 2 ,0 ，其他.14. 設(shè)某種商品一周的需要量是一個隨機(jī)變量，其概率密度為te 七，t 0f(t)0 t 0并設(shè)各周的需要量是相互獨(dú)立的，試求(1)兩周(2)三

17、周的需要量的概率密度。解：(1 )設(shè)第一周需要量為 X,它是隨機(jī)變量設(shè)第二周需要量為 Y,它是隨機(jī)變量且為同分布，其分布密度為te t, t 0f(t)0 t 0Z=X+Y表示兩周需要的商品量，由X和Y的獨(dú)立性可知:xyccf(x, y)xe ye x 0, y 00其它z 0當(dāng) z0時，由和的概率公式知fz (z)fx (z y)fy(y)dyz0(zy)e (zy) ye y dy3ze63 z fz(z)6e0(2)設(shè)z表示前兩周需要量，其概率密度為fz(z)3乙e60設(shè)E表示第三周需要量，其概率密度為:x xe fE (x)z與E相互獨(dú)立n = z + E表示前三周需要量則:vn 0,

18、當(dāng) u0時fn (U)f(uy)J (y)dyu1 /(u 0 65u u e 120、3 (uy) ey) ye ydy所以n的概率密度為5u u e fn (u)120015.假設(shè)G(x, y):0 xG上的均勻分布.考慮隨機(jī)變量2, 0y 1是一矩形,隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布是區(qū)域0,1,Y,Y；v 0，1,若 X 2Y, 若 X 2Y.求U和V的聯(lián)合概率分布.易見，若(x,y) G，則隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y) 12，否則f(x,y) 0.f(x, y)扌，若(x,y) G,0,若(x,y) G.直線xy 和 x 2y將G分為三部分(見插圖)：G1xy,G2 yx 2y,G3x 2y.易見PXYP(X.Y) G14，PYX2YP( X .Y)G14PX2YP( X .Y) G312隨機(jī)變量U和V的聯(lián)合概率分布：(U,V)有(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)等4個可能值，因此是，U和V的聯(lián)合分布為0101/41/4101/2PU0.V0PXY.X2YPXY14PU0.V1PXY.X2Y0,PU1.V0PXY.X2YP YX1