一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

1、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系壺 一、目標認知爲 學習目標; 1 掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系； 2能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求簡單的關(guān)于根的對稱式的值； 3能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系判斷兩個數(shù)是否是方程的根； 4能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出以兩個已知數(shù)為根的一元二次方程. 重點宓 對一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的掌握，以及在各類問題中的運用. 難點宓 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的運用. 二、知識要點梳理 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 iC _珂4巴三-一”工1兀2 =- 如果一兀二次方程 ax2+bx+c=0的兩個實根是xi, X2,那么“. 注意它的使用條

2、件為 0, A 0. 三、規(guī)律方法指導(dǎo)虛 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的用法： 不解方程，檢驗兩個數(shù)是否為一元二次方程的根； 已知方程的一個根，求另一個根及未知系數(shù)； 不解方程，求已知一元二次方程的根的對稱式的值； 已知方程的兩根，求這個一元二次方程； 已知兩個數(shù)的和與積，求這兩數(shù)； 已知方程的兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值； 討論方程根的性質(zhì)。 四、經(jīng)典例題透析 K 1. 已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數(shù)的值 1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0 個根為2,求另一個根及 m的值. 思路點撥：本題通常有兩種做法，一是根據(jù)方程根的定義，把x=2代入原方程，先求 出

3、m的值，再通過解方程求另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一 個根及m的值. 解：法一：把x=2代入原方程，得 22-6X 2+m2-2m+5=0 即 m2-2m-3=0 解得 mi=3， m2=-1 當m1=3，m2=-1時，原方程都化為 x2-6x+8=0 二 xi=2 , X2=4 方程的另一個根為 4, m的值為3或-1. 法二：設(shè)方程的另一個根為 X. 2+ a: 6 貝y=加- 2潮4 3 x= 4 . f= 4 懣=3 聊=-1 2. 判別一元二次方程兩根的符號.冋 2.不解方程，判別2x2+3x-7=0兩根的符號情況伺 思路點撥：因為二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)

4、項皆為已知，可求根的判別式，但 只能用于判定根存在與否，若判定根的正負，則需要考察Xi X2或X1+X2的正負情況 解：/ =32-4X 2X (-7)=65 0 方程有兩個不相等的實數(shù)根，設(shè)方程的兩個根為Xi, X2, 原方程有兩個異號的實數(shù)根 . 總結(jié)升華：判別根的符號，需要“根的判別式”，“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來進行確定 另外本題中Xi X2V 0,可判定根為一正一負，若 X1 X2 0，仍需考慮X什X2的正負，從而 判別是兩個正根還是兩個負根 . 舉一反三： 【變式1】當m為什么實數(shù)時，關(guān)于 x的二次方程 mx2-2(m+1)x+m-仁0的兩個根都是 正數(shù). 思路點撥：正、負根的問題

5、應(yīng)這樣想：如正數(shù)根，應(yīng)確保兩根之和大于零，兩根之積大 于零，根的判別式大于等于零. 解：設(shè)方程的二根為X1, X2,且X1 0 , X2 0 , 杭芒0 A = - 2(剛 + 1)P - 4聊伽 - 1)工 0 2伽十1) x2 - 0 加 m-1譏 兀-花二 0 則有 tn 鍥2 由 =-2(m+1) 2-4m(m-1) 0,解得： / m0, m 0 或 mv 0, 上面不等式組化為： 聊巨_ 3 2伽+1)或* m I 、0 由得 m 1;不等式組無解./ m 1 當m 1時，方程的兩個根都是正數(shù) . 總結(jié)升華：當二次項系數(shù)含有字母時，不要忘記0的條件. 【變式2】k為何值時，方程2(

6、k+1)x2+4kx+3k-2=0 (1) 兩根互為相反數(shù)； (2) 兩根互為倒數(shù)； (3) 有一根為零，另一根不為零 . 思路點撥：兩根“互為相反數(shù)”、“互為倒數(shù)”，“有一根為零，另一根不為零”等是對兩 根的性質(zhì)要求，在滿足這個要求的條件下，求待定字母的取值.方程的根互為相反數(shù)，則 X1=-X2,即X1+X2=0；互為倒數(shù)，則 X1=,即卩X1 X2=1，但要注意考察判別式0. 解：設(shè)方程的兩根為X1, X2, 4上N 3k-2 X1X2=y (1 )要使方程兩根互為相反數(shù)，必須兩根的和是零, 即 X1+x2= 一- -, k=0, 當 k=0 時， =(4k)2-4 x 2(k+1)(3k

7、-2)=16 0 當k=0時，方程兩根互為相反數(shù). (2 )要使方程兩根互為倒數(shù)，必須兩根的積是1,即 弘一2 X1X2= =1，解得 k=4 當 k=4 時， =(4k)2-4 x 2(k+1)(3k-2)=-144 v 0 k為任何實數(shù)，方程都沒有互為倒數(shù)的兩個實數(shù)根 (3)要使方程只有一個根為零，必須二根的積為零，且二根的和不是零, 鐵-22 即乂伏2=一 =0,解得k=- 又當k=時，X什X2=I -, 264 當 k=；時， =(4k)2-4x 2(k+1)(3k-2)=0, 2 k=時，原方程有一根是零，另一根不是零. 總結(jié)升華：研究兩個實數(shù)根問題時，應(yīng)注意二次項系數(shù)不得為零，=b

8、2-4ac不得小于 零. 3. 根的關(guān)系，確定方程系中字母的取值范圍或取值.方 C3關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+k+仁0的兩根的平方和小于 5,求k的取值范圍.討 解：設(shè)方程兩根分別為X!，X2, X1+X2=3 ,X1 X2=k+1 t x i 2+x 22=(x i +x 2)2-2x iX2=32-2(k+1) v 5 k 1 又=(-3) 2-4(k+1) 0 5 k w 二 5 由得：1 v k w 5 . 總結(jié)升華：應(yīng)用根的判別式，已知條件，構(gòu)造不等式，用不等式組的思想，確定字母的 取值范圍. 舉一反三： 【變式1】已知：方程x2+2(m-2)x+m 2+4=0有兩個實數(shù)根，且

9、這兩個根的平方和比兩根 的積大21，求m的值. 思路點撥：本題是利用轉(zhuǎn)化的思想將等量關(guān)系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn) 化為關(guān)于m的方程，就可求得 m的值. 解：方程有兩個實數(shù)根， =2(m-2) 2-4 x 1 x (m2+4) 0 解這個不等式，得mw0 設(shè)方程兩根為X1， X2， - X1+x2=-2(m-2)X1 X2=m +4 T X12+X22-X1X2=21 (X1+X2)2-3X1X2=21 -2(m-2) 2-3(m2+4)=21 整理得： m2-16m-17=0 解得：m1=17，m2=-1 又；mW 0,. m=-1. 總結(jié)升華：1求出mi=i7, m2=-1后，還

10、要注意隱含條件 mW 0,舍去不合題意的 m=17. 【變式2】設(shè) 2 厲 (3)a2-2 解: (1) _ J + ). 10 X (-2)=-20 , 6y2+19y+10=0 ,- a+3=0, ( 一 + _， / 10+(-2)=+8=-(-8), 10與-2是方程x2-8x-20=0的兩個根; 19 : 25 與-J是方程 6y2+19y+10=0 的兩個根; 雖然有 0+)(+ )=+3, 但是（，+、_ ）+（_ 人：+一廣）=+2一廣 豐-（-2、）; 所以 +一廣與- + -不是方程a2+2 a-3=0的根. C6.（1）作一個以-與匚為根的一元二次方程；S （2）作一個方程，使它的兩個根分別是方程2x2+5x-8=0的兩個根的倒數(shù). 思路點撥：作一元二次方程，只需利用根與系數(shù)的關(guān)系求出