20XX橢圓2016新編知識點完美總結(jié)重點講義資料

1、第5講：橢圓 一、橢圓及其方程 的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。、橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩個定點 1F,FFF2121其中：這兩個定點叫做橢圓的焦點；兩焦點的距離叫做焦距(記為2c) (PF?PF?FF)，則動點 的軌跡為線段； 注意：若FF P211221 (PF?PF?FF)，則動點的軌跡無圖形 . 若 P21122、橢圓的標準方程： yy MF 2ccc OxFFOxc12M F12222xyyx?1?1（ 0） （0） aabb 2222abab注意： (1)只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程； 222；在橢圓的兩種標準方程

2、中，都有和 (2)bac?0b?a?22y的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上已知方程判斷焦點位置的方法是：看， (3)x(4)當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，； x)c,0)0(?(c當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為， y)c,?(0),c(03、求橢圓標準方程的常用方法： (1)待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。即：主要步驟是先定位，再定量； c,a,b 注：焦點所在坐標軸的位置不確定時設(shè)橢圓標準方程要分兩種情形；為了計算方便，有時也可設(shè)方程為22=1(m0，n0，mn)mx。+ny (2)定義法：由已知條

3、件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。 22?6my?0mx?3的一個焦點為（0，2已知橢圓）求= 2例 .m 222可求出的值，根據(jù)關(guān)系分析：把橢圓的方程化為標準方程，由 c?bam2c?22yx?1?方程變形為解： 因為焦點在軸上，所以，解得y3?m6m2? 62m22?62m，適合故，所以又 552?m?m?c?3P，0已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點例，求橢圓的標準方程 3.，b3?a分析：因橢圓的中心在原點，故其標準方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運用待定系數(shù)法，求出參1 22 數(shù)和（或）的值，即可求得橢圓的標準方程和baab22yx?0?1?a?b 軸上時，設(shè)其方程為解：

4、當焦點在x 22ba2x09?2221?y由橢圓過點，故橢圓的方程為 又，知，代入得，P039a1?b?1?ba?3 229ba22xy09?0b1?a?由橢圓過點 當焦點在軸上時，設(shè)其方程為，知，P031?y 2222baba22xy221?，故橢圓的方程為， 又，聯(lián)立解得9b81?a?b?3a 981 例4.和求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過兩點的橢圓方程)(?23A,(3,?2)1B 由題設(shè)條件焦點在哪個軸上不明確，橢圓標準方程有兩種情形，為了計算簡便起見，分析：221?nymx? 可設(shè)其方程為，且不必去考慮焦點在哪個坐標軸上，直接可求出方程(，)00?nm?221?nymx? 解：

5、設(shè)所求橢圓方程為和(，)兩點在橢圓上可得由)1(?2A3(3,?2),B0nm?0?22m?(3)?n?(?2)?1,3m?4n?1,22?yx11?1?故所求的橢圓方程為，即所以 ?nm? 15512m?n?1,51522?m?(?23)?n?1?1,?22yx?1表示橢圓，求的取值范圍 例5.已知方程k k?53?kk?5?0,?3?k?0,得，且滿足條件的的取值范圍是，且 解：由4k?4kk?5k?3?k3?5?k?5?3?k,?k?5?0,?說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由得，故的取值范圍是 k5k?3?3?k?5?3?k?0,?出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中這個條件，當時，并不表示

6、橢圓 b?a0?a?b例6.的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌GAC16?ABCBC?AAB跡 GC?GB?20，再利用橢圓定義求解）由已知可得 分析：（1（2）由的軌跡方程、坐標的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程 GGAA?yx，x，由中點為原點建立直角坐標系設(shè)1解： （）以所在的直線為點坐標為軸，GBCBC GC?GB?20，知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且除去軸上兩點因，有，6?8GbCc10a?B22yx?01?y? 故其方程為 100362 22?yx?0?1?y?，則）設(shè)， （2 yG，y，Axx 36100x?，?x?22 yx?3?0y?1 由題意有代

7、入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點）xA? 324900y?y? 3?22過定點7. 的內(nèi)部與其相內(nèi)已知動圓，且在定圓例，?A03：364?yB?xP 切，求動圓圓心的軌跡方程P P滿足的關(guān)系式分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點 動點到兩定點，解：如圖所示，設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點PPMB?即定點 距離之和恰好等于定圓半徑，和定圓圓心，0?BA3，03 為兩焦點，?8點的軌跡是以，?PA?PB?PM?PBBM BPA22yx22?1?的橢圓的方程：半長軸為4，半短軸長為 7?4?3b? 716本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標準方程，求軌跡的方程這是求說明： 軌跡方程的

8、一種重要思想方法22yx ?1?MFF橢圓 ON 的距離為2，為例8.的中點，則上的點到焦點NM 119253 D8 4 B2 C （為坐標原點）的值為( )AO 2 F，由橢如圖所示，設(shè)橢圓的另一個焦點為解：210?2aMF?MF以所，義圓第一定得218?10?2?10?MF?MF ，12 FMF?以所線，的中又因為為位ON2114?MFON? A，故答案為22 ：4、點與橢圓的位置關(guān)系2222yxyx0000?1?),yP(xxP(,y) ；）點；（2在橢圓外在橢圓上1（）點1 00002222baab22xy00?1?),yP(x （3）點在橢圓內(nèi) 0022ab二、橢圓的簡單幾何性質(zhì) 1

9、、范圍： 2222，|x|a，|y|b橢圓位于直線yxa，bxa和yb圍成的矩形里。 3 、橢圓的對稱性2 軸、x軸、原點都是對稱的；坐標軸是橢圓的對稱軸，橢圓是關(guān)于y 原點是橢圓的對稱中心；橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。6 練習 3、頂點、a, 0)橢圓和它的對稱軸的交點叫橢圓的頂點；橢圓有四個頂點：A(1 分別叫做橢圓的長軸和短、BBb)；線段AA(a, 0)、B(0,b)、B(0, A2112221 ；叫做a叫做橢圓的長半軸長，軸；長軸的長等于2a，短軸的長等于2bb 橢圓的短半軸長。 OBF為橢圓的特征三角形。|a稱|c, |OB|=b，則|BFRt在OBF中： |OF 4、離心率：c

10、2c?ee 橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，即： a2a 222b?accb2?()e?1?e 的取值范圍是因為，所以1?e0a?c?0 22aaaa 22ec?a?bac 就越接近越小，因此橢圓越扁；，從而，則越接近1 eacb ，從而，這時橢圓就越接近于圓。越接近于0，越接近于就越接近反之，0 ）（ B 例 的離心率為 若橢圓的連個焦點把長軸分成三等份，則橢圓1.211 無法確定 D. B. C. A. 336 三、橢圓第二定義 平面內(nèi)與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓。1、定義：e 其中：定點是橢圓的焦點；定直線是橢圓相應(yīng)的準線；常數(shù)是橢

11、圓的離心率。注意： 22yx的準線稱為右準線，)(c，0)(a?b?0對應(yīng)于右焦點F?對?1 222ba22aa?)的準線為左準線x，對應(yīng)于左焦點F(?c，0方程是x? 1cc e的幾何意義：橢圓上一點到焦點的距離與到相應(yīng)準線的距離的比。 2、橢圓的準線方程：2222aaaa?xl:?l?:y:ly?l:x ，上準線上準線y；軸上：焦點在x左準線焦點在軸上：下準線， 1212cccc的距離）：到焦點 FP3、焦半徑（圓錐曲線上的點PF?ed?a?ex，利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準線的距離，焦半徑 0d表示P到與F其中：所對應(yīng)的準線的距離。 4 FF, 即：ex?a?ex,PF?aPF?

12、e 點橫坐標，左加右減x為為左、右焦點，P是離心率，其中：0210012F,Fey?aa?ey,PF?PF? 下加上減:為軸上：P點縱坐標，分別是橢圓的下、上焦點，y其中焦點在y0210012 ；（答：-35/3），則點P到右準線的距離為_P例（1）已知橢圓上一點到橢圓左焦點的距離為322yx1? 1625 、最值問題422yx之值最小， M，使內(nèi)有一點）橢圓，F(xiàn)為右焦點，在橢圓上有一點例（2)1P(1,?1? MF2MP? 3426； M的坐標為_）（答：則點)1,?( 32222xxyy?1?1的區(qū)別和聯(lián)系 四、橢圓與 )0a?b?( 2222abab2222xyxy?11? )?0a(a

13、?b?0)?b( 標準方程2222abab 圖形 )c(0,?c)F,c,0)F(c0)F(0F(? ， ，焦點 221 焦范軸關(guān)軸和原點對對稱性(?a,0)(0,?b)(0,?a)(?b,0) ， 頂點 性質(zhì)b22a =，短軸長軸長 長軸長c(0?e?1)e? 離心率a22aax?y 準線方程ccPF?a?exPF?a?exPF?a?eyPF?a?ey ， ， 焦半徑000012125 2222xyyx1?1?參數(shù)間的關(guān)系都有大小都相同；的，相同點：注意：橢圓形狀、)0(a?(a?b?0)b? 2222bbaac222)1(0?ee? 和；，不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點坐標也不相同

14、。c?ba? a 五、直線與橢圓 1、直線與橢圓的位置關(guān)系：0?0?0? 直線與橢圓相交；（2）（1）3）直線與橢圓相離。 直線與橢圓相切；（22yx?1?與橢圓1=0直線ykxm的取值范圍是_（答：1，5）（5，例（3）恒有公共點，則 m522 ）；消元得一元二次方程，利用恒成立解得+）0?(5km?m)x)?10kx?5(1?0? 2、橢圓的切線22yyxxyx001?)yx,P( 上一點（1）橢圓處的切線方程為：；1?)0b?(a? 002222baba22yx222221? ；相切的條件為（2）直線Ax+By+C=0與橢圓Cb?ABa? 22ba)x,yP(（切點弦所在的直線）PP）過

15、橢圓外一點、引橢圓的兩條切線，切點分別為PP，則直線（3221100yxyx00的方程為 1? 22ba 、弦長公式：3)（x,y),B(x,yA 、兩點，則與圓錐曲線相交與若直線b?kx?yl:BA2112222 xy)x?1?AB?(x?k?x)?(y 弦長2121121()?|AB|() 221111222k221yx?4 及直線 已知橢圓例11.m?yx? ）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（1m102 2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程（ 5?22221?xy?41m4x?x 代入橢圓方程（解：1）把直線方程得，mx?y?55?22222?m?0m?1?5?16m?2m20?

16、4015x2?mx?m? 即，解得 2221m?m2?xxxx?x?x ）得，由（1，）設(shè)直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為（2， 2121215522m22m10?1?2?4?1?1? 根據(jù)弦長公式得：方程為解得x?y0?m? 555?6 處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別說明： ；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式? ，可大大簡化運算過程用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與系數(shù)的關(guān)系）?的直線交橢例12. 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為Fx 13 的長，圓于兩點，

17、求弦ABAB222 x)x?4(1?k?)(x?AB?1kxx?x? 可以利用弦長公式求得，分析：221112 也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求 利用直線與橢圓相交的弦長公式求解解：(法1) 222 3?3cx?AB1?xk ，因為焦點在，所以軸上，因為xx?4x?(1?k)(x?x)3ba?6?21212122yx?1?所以橢圓方程為 ，左焦點，從而直線方程為9x?y?3(?3,0)F3 93637220813x?723x?36?x?x?，為方程兩根，所以由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)xx 2121134836?8222 3k? 從而， ?xx?x?4xAB?1?k(x?

18、x?1?k)(x?x) 221111221313 (法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解22yx ?1?F?AF，由題意可知橢圓方程為在設(shè)則中，n?12?BF?12AFAF?nBFmm? 211122936?122222 ；，即?2?m?6(12?m)3?mFAF?AFFF?2AFFcos3?36? 2111122234866 ?mnFBF?nm?AB? 同理在，所以所以中，用余弦定理得 21133?43?4 利用焦半徑求解法3)(2?723x?36?813x?0xx，它們分別是求出方程的兩根先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程，的橫坐BA21標 a?exAB?AFAFBFa?ex?BF，從而求出 ，再根

19、據(jù)焦半徑1121114、點差法求中點弦問題 22yxABMxyABABabAB的斜率的一條弦，則的斜率和方程是橢圓1(已知弦的中點0)(，)，研究 0022ba2xb0ABAxyBxy)(， ，.為運用點差法求的斜率，設(shè)() 22112ya07 22yx ?11，1? 22ba2222xyxy ?2112BA兩式相減得、都在橢圓上，0， 22ba22yx ?22，1? 22ba222xbbxxxbyy (x?x)(x?x)(y?y)(y?y)011220k21112221 故，即.0? AB222 yyyyaxxaa 22ab2210012x2?1?y 已知橢圓例10. 211?（1）求過點且

20、被平分的弦所在直線的方程； ，PP? 22?（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程； ?2A1，）過3 （引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；1（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足， ?k?kOQQOPOP OQOP2求線段中點的軌跡方程 PQM分析：此題中四問都跟弦中點有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標的方法 ?yxRN，x，Myx，y，則解：設(shè)弦兩端點分別為，線段的中點 MN2112? 得0y?yx?xx?2yy?x?22?2xy?2，2212111211?由題意知，則上式兩端同除以，有x?xx?x22，?x?2y2?212122 ?y?y?2x，xx?21?x?xy20y?，

21、? 212211x?x?21，yy?2?y?21y?y12?0x?2y 將代入得 x?x21 y?y11112?x?y代入，得（1）將 ，故所求直線方程為： 0y?3?2x?4 x?x22221112222x?2y?0?36?4?6y6?6y?0符合題意，得 將代入橢圓方程為所求，0?32x?4y 44y?y21?2代入得所求軌跡方程為：）將2（橢圓內(nèi)部分） （0?4y?x x?x21y?yy?12221?2x?2y?2y?0x（橢圓內(nèi)部分） （3代入得所求軌跡方程為：）將 2x?x?x2122?xx?22212y?y?）由得：4， （， 212222222?xxy4yxx?2y?yy?24?x?將平方并整理得， ，212112218 2x24xx?22122yy?4y? 將代入得：， 2142y11?222?1x? 代入式得： 即，此即為所求軌跡方程再將24y?2?xx?2x?xx?xyy?x? 21212211122? 2 當然，此題除了設(shè)弦端坐標的方法，還可用其它方法解決 六、橢圓相關(guān)問題 、共焦點的橢圓12222yxyx21?1?共焦點的橢圓方程可設(shè)為與橢圓c，共焦點：則相同。)(m?b)b?0(a? 2222m?mbaba 此類問題常用待定系數(shù)法求解；2222yxyx