范德蒙行列式的證明及其應(yīng)用

1、范德蒙德行列式的證明及其應(yīng)用摘 要：介紹了階范德蒙行列式的定義,用遞推法和拉普拉斯定理兩種方法證明了范德蒙行列式,輔以實例研究了它在高等代數(shù)中的一些應(yīng)用.向量空間理論用來解決線性問題;在線性變換理論、多項式理論和微積分理論中,主要用它構(gòu)造線性方程組,進而應(yīng)用克拉默法則或相關(guān)定理判斷根的情況;在行列式計算中,主要運用范德蒙行列式的結(jié)論簡化階行列式的計算過程.探究范德蒙行列式的歷史及相關(guān)應(yīng)用,為更進一步鉆研其相關(guān)性質(zhì)與應(yīng)用奠定了良好的基礎(chǔ).關(guān)鍵詞：范德蒙德行列式;向量空間;線性變換;應(yīng)用1引言行列式本身有著長遠的歷史發(fā)展過程.它的理論最早可追溯到十七世紀末,在十九世紀末,其理論體系已基本形成.16

2、83年,定義行列式概念的是日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和.同一年,德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨首先開始使用指標數(shù)的系數(shù)集合來表示有三個未知數(shù)的三個一次方程組的系數(shù).他這種解決方程組的思維方式為行列式理論的深入研究工作打下了堅實地基礎(chǔ).1771年,范德蒙創(chuàng)造性的在深入研究行列式理論的基礎(chǔ)上,嘗試解線性方程組.他這種勇于創(chuàng)新、敢于探索的精神為大家所認可,被公認為行列式的奠基人.他以現(xiàn)在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相關(guān)知識為理論基礎(chǔ),進行了反復(fù)的鉆研,為后來研究群的概念奠定了良好的基礎(chǔ).第一個闡述行列式的數(shù)學(xué)家便是范德蒙.他運用自己的聰明才智、活躍的思維、批判的科研態(tài)度給出了現(xiàn)代代數(shù)書中二階子式及余子式的定義,經(jīng)過推理,

3、演繹這一系列嚴謹?shù)倪^程,完善了行列式的概念,并給出了行列式的數(shù)學(xué)符號記錄.1772年,皮埃爾-西蒙.拉普拉斯在范德蒙著作和自身靈感的啟示下,思維方法發(fā)生了變化,得出了子類型的概念.自此起,人們對行列式展開了單獨的研究.人們?yōu)榱松钊肓私庑辛惺嚼碚摰谋举|(zhì)特征,在19世紀展開了更深層次的研究.柯西積極吸收前人的勞動成果的同時,首次給出了行列式的系統(tǒng)理論.包括雙重組標記法、行列式的乘法定理等.1832年至1833年,問卡爾.雅可給出了一個特殊的行列式的計算結(jié)果.基于此,1839年,卡塔蘭發(fā)現(xiàn)了Jacobian行列式.范德蒙行列式整齊、完美的結(jié)構(gòu)形式讓我們體驗到數(shù)學(xué)之美.簡單探索它的應(yīng)用,感悟數(shù)學(xué)的魅力

4、.如果我們能夠深入探索范德蒙行列式并靈活運用它,未來將更廣泛的應(yīng)用在數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域.2范德蒙行列式的定義及證明2.1定義行列式 (1)稱為階的范德蒙（Vandermonde）行列式.由范德蒙行列式的定義,我們可以得出結(jié)論:對任意的階范德蒙行列式等于這個數(shù)的所有可能的差的乘積.2.2范德蒙德行列式的證明2.2.1用遞推法證明上式仿上做法,有再遞推下去,直到.故2.2.2用Laplace定理證明已知在級行列式中,除第 行（或第列）的元素以外,行列式中其余元素全是零,則由Laplace定理得:此行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積,在中，從最后一行開始，每一行減去它相鄰前一行的倍,得根據(jù)上述定理把每列的公

5、因子提出來,得等式右邊的第二個因子是階行列式,用表示,則上式中同樣地,可以得到此處是一個階范德蒙行列式,一直繼續(xù)下去,得3范德蒙德行列式的應(yīng)用3.1在向量空間理論中的應(yīng)用在解析幾何中,直觀上我們經(jīng)常認為一維、二維、三維向量空間是有意義的.當時,就沒有直接的現(xiàn)實意義,但在高等代數(shù)這門課程中,維向量空間卻是很常見的.當涉及線性相關(guān)問題時,通常我們通過構(gòu)造同構(gòu)映射的方法,將其轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式的問題,進而利用該行列式是否為零判斷線性相關(guān)性.例1.設(shè)是數(shù)域上的維向量空間,任給正整數(shù),則在中存?zhèn)€向量,其中任取個向量都線性無關(guān).證明:因為,所以只須在中考慮.取令是范德蒙行列式且,所以線性無關(guān).3.2在線性

6、變換中的應(yīng)用線性變換是代數(shù)學(xué)中的一個重要概念,它的抽象性使我們在掌握這個概念時比較困難.此時,我們可以應(yīng)用線性變換的定義及性質(zhì),考慮構(gòu)造新函數(shù),運用方程思想解決此類問題.例2.設(shè)數(shù)域上的維向量的線性變換有個互異的特征值,則與可交換的的線性變換是的線性組合,這里為恒等變換.證明:由題意,由于是維向量上的線性變換,由線性變換的定義得,假設(shè)是的不變子空間.根據(jù)不變子空間的特點,是與可交換的線性變換.令且,則有以下方程組 （2）由于線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式,所以方程組（2）有唯一解,即就是這個向量線性無關(guān),題目得證.3.3多項式理論中的應(yīng)用在多項式理論中,許多題目涉及求根問題.一般情況下,我們可以

7、用綜合除法解決這類問題,但是在不知道多項式函數(shù)最高次項系數(shù)和常數(shù)項系數(shù)的條件下,我們可根據(jù)題意列出線性方程組.通過計算該線性方程組對應(yīng)的系數(shù)矩陣的行列式是否為零判斷根的情況,進而得出結(jié)論.例3.設(shè).若至少有個不同的根,則.證明:取為的個不同的根.則有由齊次線性方程組 (3)其中看作未知量.且.由于該方程組的等式右端的數(shù)均為零,由變形后的定理得:此方程組的解全為零.從而.即是零多項式.3.4微積分中的應(yīng)用例4.設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)存在2階導(dǎo)數(shù).證明:在上有.這里證明:在上構(gòu)造函數(shù)是范德蒙行列式,而函數(shù)滿足中值定理條件:因.由中值定理,在內(nèi)存在，使.故存在,使.即就是.按行列式定義展開,即得所證.3.

8、5行列式計算中的應(yīng)用涉及行列式計算問題時,經(jīng)常運用行列式的性質(zhì)解決問題,但其復(fù)雜多變的形式給行列式的計算增加了難度.對于具體的行列式,我們可以根據(jù)它的性質(zhì)和定義解決.但對于那些結(jié)構(gòu)特殊的、抽象的行列式,可通過觀察、歸納總結(jié),我們可以用特殊的方法迅速解決問題.(1)用提取公因式計算行列式例5.計算解:由觀察得到:該行列式中每行元素都分別是同一個數(shù)的不同方冪,并且其方冪次數(shù)從左至右依次增加,但它的次數(shù)是由1遞加至,由行列式的相關(guān)性質(zhì),得仔細觀察,我們在右邊的行列式中,從第2行開始,每行的1都寫成該行中這個自然數(shù)的零次冪的形式,則它為階范德蒙行列式,故 (2）對換行列式中每一行(或每一列)的次序例6

9、.計算分析:遇到這類問題,我們經(jīng)?？紤]運用行列式的六條性質(zhì)來解決.為此,我們可以調(diào)換該行列式的次序,將它化為標準形式.解:把行依次與上面的每一行交換至第1行,第行依次與上面的每一行交換至第2行,以此類推,由自然數(shù)排列的逆序原則,共經(jīng)過次交換得到階范德蒙行 (3)用拆行（列）計算行列式階行列式中的行(列)由兩個互異元素構(gòu)成,且任意相鄰兩行(列)都含有共同元素,那么我們可以利用行列式的初等變換原則,通過消去一些分行中某一元素的方法,巧妙運用范德蒙行列式結(jié)論.例7.計算4階行列式分析:觀察此行列式,我們可以看出:該行列式滿足拆項行(列)計算行列式的特點,因此我們可以用該方法來解決這個問題.解:消去此

10、行列式第二行每一項中的數(shù)字1,得: (4)消去行列式 (4)第三行中加號前的元素,得: (5)再從行列式(5)中消去第4行中與第三行一樣的元素得:因為該行列式為4階范德蒙行列式,故(4)用加邊法計算行列式行列式的各行（或列）有明顯范德蒙行列式定義的特點,但共同元素的方冪并不是按連續(xù)的自然數(shù)的順序依次增加,此時我們可以考慮用加邊法.例8.計算4級行列式分析：D不是范德蒙德行列式,但具有該行列式的特點,可考慮構(gòu)造5級的范德蒙德行列式,再利用范德蒙德行列式的結(jié)果,間接求出D的值.解：構(gòu)造5階范德蒙行列式按第五列展開得其中的系數(shù)為又利用范德蒙行列式的結(jié)果得其中的系數(shù)為故4結(jié)束語范德蒙德行列式還可以應(yīng)用

11、于數(shù)學(xué)其他科目上.例如:在數(shù)學(xué)分析中,我們可以用它來構(gòu)造高階無窮小量,在線性代數(shù)中,我們可以用它來解決向量組線性相關(guān)性的證明問題.范德蒙行列式廣泛的作用更加激發(fā)了我們深入探索它的欲望.我們希望在掌握相關(guān)的基礎(chǔ)課程和基本理論之上，研究范德蒙行列式,用科學(xué)技術(shù)指導(dǎo)實踐,更好的服務(wù)社會,促進經(jīng)濟發(fā)展. 參考文獻:1范臣君.范德蒙行列式在構(gòu)造高階無窮小的應(yīng)用J.吉林師范大學(xué)學(xué)報,2015.2(1)2萬勇,李兵.線性代數(shù)M.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2006.3何江妮.范德蒙德行列式的證明及其應(yīng)用J.科教文化.4Kenneth CLoudenCompiler Construction Principles

12、and PracticeM北京:機械工業(yè)出版社,2002.5徐杰.范德蒙行列式的應(yīng)用J.科技信息,2009（17）.6SERGE Lang.Linear Algebra(2nd ed)M.NeW York:Columbia University,1988.7劉彥信.高等代數(shù)(第三版)M.西北工業(yè)大學(xué)出版社,2004.8北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第三版）M.北京:高等教育出版社，2003.9北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.Proof of Fandemengde Determinant and its Appl

13、ication Abstract: This paper introduces the definition of n-order Vandermonde determinant. We proved Vandermonde determinant by recurisive method and Laplasse theorem , and explored its application in the higher algebra by some examples.Vector space theory is used to solve linear problem; It was used to structure linear equcations in linear transformation theory, polynomial theory and calculus theory , and judge the situation of root by Cramers rule or related theorem; In the calculation process of determinant calculation,It is maily used to simplify the n-order determinant. It laid a good f