第5講不等式與線性規(guī)劃(教師

1、專題 1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式第講 不等式及線性規(guī)劃 一.瞄準(zhǔn)高考1.不等式的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱性：abbb,bcac.(3)加法法則：abacbc. (4)乘法法則：ab,c0acbc.ab,c0acb,cdacbd.(6)同向同正可乘性：ab0,cd0acbd.(7)冪運(yùn)算法則：ab0anbn(nQ).2.一元二次不等式(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解結(jié)合二次函數(shù)的圖象得來,不要死記硬背,二次函數(shù)的圖象是聯(lián)系“二次型”的紐帶.(2)與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題,通常轉(zhuǎn)化為根的分布問題,求解時(shí)一定要借助二次函數(shù)的圖象,一般考慮四個(gè)方面：開口方向、判別式的符號(hào)、對(duì)稱軸的位置、區(qū)

2、間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào).3.基本不等式(1)a,bR,a2b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立.(2)若a,b均是正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立.4.線性規(guī)劃問題解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵之一是弄清楚目標(biāo)函數(shù)中z的含義,一般地經(jīng)過變換目標(biāo)函數(shù)式直線的斜截式方程后,這條直線在y軸上的截距就可以用z來表示,根據(jù)這個(gè)截距就可以確定目標(biāo)函數(shù)在什么位置取得最大值和最小值.二.解析高考題型一 解不等式例1.已知關(guān)于的不等式,其中.(1)當(dāng)變化時(shí),試求不等式的解集；(2)對(duì)于不等式的解集,若滿足(其中為整數(shù)集).試探究集合能否為有限集？若能,求出使得集合中元素個(gè)數(shù)最少的的所有取值,并用列舉法表示集合；若不能,請(qǐng)說明

3、理由.【解答】：(1)當(dāng)時(shí),；當(dāng)且時(shí),；當(dāng)時(shí),；(不單獨(dú)分析時(shí)的情況不扣分)當(dāng)時(shí),.（2） 由(1)知：當(dāng)時(shí),集合中的元素的個(gè)數(shù)無限；當(dāng)時(shí),集合中的元素的個(gè)數(shù)有限,此時(shí)集合為有限集. 因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)時(shí),集合的元素個(gè)數(shù)最少.此時(shí),故集合.【變式】(2009天津卷)設(shè)0b(ax)2的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),則a的取值范圍是 .【解析】(xb)2(ax)2,(a21)x22bxb20.又a10,a1.不等式變形為(a1)xb(a1)xb1,b0,0,01,x,23,即2a2b3a3.1a0,a恒成立,則a的取值范圍是 .【解析】a對(duì)任意x0恒成立,設(shè)ux3,只需a恒成立即可.x0,u5

4、(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)).由u5知00恒成立,則利用二次不等式恒成立解決.體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.題型三含參不等式恒成立問題例3 設(shè)函數(shù)f(x)=ex-.(1) 證明:f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x) 2;(2) 若對(duì)所有的x0,都有f(x)ax,求a的取值范圍.解：（）的導(dǎo)數(shù)由于，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）（）令，則，（）若，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，所以，時(shí)，即（）若，方程的正根為，此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)所以，時(shí)，即，與題設(shè)相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是【探究提高】已知不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題,涉及函數(shù)、方程、不等式,綜合性強(qiáng),常利用以下結(jié)論解決:若f(x)m對(duì)任意xD恒成立,

5、則f(x)minm；若f(x)m對(duì)任意xD恒成立,則f(x)maxm(x21)對(duì)滿足|m|2的所有實(shí)數(shù)都成立,求x的取值范圍.【解析】不等式變?yōu)閙(x21)(2x1)0,即f(m)m(x21)(2x1)0在m|2m2上恒成立,故解得xf(1)的解集是 .解析原不等式化為或,所以原不等式的解集為(3,1)(3,),3. 設(shè)集合Mx|0,若2M,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.解析Mx|0,2M,0或a210.由0,得0,3a0,直線b2xy10與ax(b24)y2=0互相垂直,則ab的最小值為_.5. 若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則實(shí)數(shù)s的取值范圍是 .【解析】 先作出表示的區(qū)域如圖所示,再據(jù)

6、條件yxs及原不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?可知直線yxs應(yīng)介于兩虛線的兩側(cè),故有0s2或s4.6. (2010福建卷)設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是1,平面區(qū)域2與1關(guān)于直線3x4y90對(duì)稱,對(duì)于1中的任意一點(diǎn)A與2中的任意一點(diǎn)B,|AB|的最小值等于 .【解析】由題意知,所求的|AB|的最小值,即為區(qū)域1中的點(diǎn)到直線3x4y90的距離的最小值的兩倍,畫出已知不等式表示的平面區(qū)域,可看出點(diǎn)(1,1)到直線3x4y90的距離最小,故|AB|的最小值為24.7. (2010臺(tái)州市期末質(zhì)評(píng))已知實(shí)數(shù)滿足則的取值范圍是 .8. (2010揚(yáng)州中學(xué)期中)已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則(其中)的最

7、小值為 .解析:準(zhǔn)確理解一元二次不等式解集所提供的信息,可知其對(duì)應(yīng)二次方程的判別式=4-4ab=0,即ab=1.這樣6.故填6.9. (2010杭紹金溫衢七校聯(lián)考)某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其生產(chǎn)的總成本(萬元)與年產(chǎn)量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí),生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低,并求最低成本；(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元,那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí),可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：(1)生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本為：,由于,5分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)等號(hào)成立。6分答：年

8、產(chǎn)量為200噸時(shí),每噸平均成本最低為32萬元；7分(2)設(shè)年利潤為,則10分,12分由于在上為增函數(shù),故當(dāng)時(shí),的最大值為1660。年產(chǎn)量為210噸時(shí),可獲得最大利潤1660萬元。14分10. 已知函數(shù)f(x)ax3x2cxd(a,c,dR)滿足f(0)0,f(1)0,且f(x)0在R上恒成立.(1)求a,c,d的值；(2)若h(x)x2bx,解不等式f(x)h(x)0；(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)g(x)f(x)mx在區(qū)間m,m2上有最小值5？若存在,求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在,請(qǐng)說明理由.解(1)f(0)0,d0,f(x)ax2xc.又f(1)0,ac.f(x)0在R上恒成立,即ax2xc0恒成立,ax2xa0恒成立,顯然當(dāng)a0時(shí),上式不恒成立.a0,即即解得：a,c.(2)ac.f(x)x2x.f(x)h(x)0,即x2xx2bx0,即x2(b)x0,即(xb)(x)時(shí),解集為(,b),當(dāng)b時(shí),解集為(b,),當(dāng)b時(shí),解集為.(3)ac,f(x)x2x,g(x)f(x)mxx2(m)x.該函數(shù)圖象開口向上,且對(duì)稱軸為x2m1.假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)g(x)f(x)mxx2(m)x在區(qū)間m,m2上有最小值5.當(dāng)m1時(shí),2m11,m舍去,故m3.當(dāng)1m1時(shí),m2m1m2,函數(shù)g(x)在區(qū)間m,2m1上是遞減的,而在區(qū)間2m1,m2上是遞增的,g(2m1)5.即(2