三角形全等的判定：角邊角、角角邊

1、 居安思危居安思危 洪水未到先筑堤洪水未到先筑堤, ,豺狼未來先磨刀豺狼未來先磨刀. . 一只野狼臥在草上勤奮地磨牙一只野狼臥在草上勤奮地磨牙, ,狐貍看到了狐貍看到了, ,就對它說就對它說: :天氣這么好天氣這么好, ,大大 家在休息娛樂家在休息娛樂, ,你也加入我們隊(duì)伍中吧你也加入我們隊(duì)伍中吧! !野狼沒有說話野狼沒有說話, ,繼續(xù)磨牙繼續(xù)磨牙, ,把它的牙把它的牙 齒磨得又尖又利齒磨得又尖又利. .狐貍奇怪地問道狐貍奇怪地問道: :森林這么靜森林這么靜, ,獵人和獵狗已經(jīng)回家了獵人和獵狗已經(jīng)回家了, ,老老 虎也不在近處徘徊虎也不在近處徘徊, ,又沒有任何危險(xiǎn)又沒有任何危險(xiǎn), ,你何必那

2、么用勁磨牙呢你何必那么用勁磨牙呢? ?野狼停下來回野狼停下來回 答說答說: :我磨牙并不是為了娛樂我磨牙并不是為了娛樂, ,你想想你想想, ,如果有如果有 一天我被獵人或老虎追逐一天我被獵人或老虎追逐, ,到到 那時(shí)那時(shí), ,我想磨牙也來不及了我想磨牙也來不及了. .而平時(shí)我就把牙磨好而平時(shí)我就把牙磨好, ,到那時(shí)就可以保護(hù)自己了到那時(shí)就可以保護(hù)自己了. . 溫馨提示溫馨提示: :做事應(yīng)該未雨綢繆做事應(yīng)該未雨綢繆, ,居安思危居安思危, ,這樣在危險(xiǎn)突然降這樣在危險(xiǎn)突然降 臨時(shí)臨時(shí), ,才不至于手忙腳亂才不至于手忙腳亂. .書到用時(shí)方恨少書到用時(shí)方恨少, ,平常若不充實(shí)學(xué)問平常若不充實(shí)學(xué)問,

3、, 臨時(shí)抱佛腳是來不及的臨時(shí)抱佛腳是來不及的. .也有人抱怨沒有機(jī)會(huì)也有人抱怨沒有機(jī)會(huì), ,然而當(dāng)升遷機(jī)會(huì)然而當(dāng)升遷機(jī)會(huì) 來臨時(shí)來臨時(shí), ,再嘆自己平時(shí)沒有積蓄足夠的學(xué)識(shí)與能力再嘆自己平時(shí)沒有積蓄足夠的學(xué)識(shí)與能力, ,以致不能勝以致不能勝 任任, ,也只好后悔莫及也只好后悔莫及 在在ABC與與DEF中中 ABC DEF（SAS） 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全 等。等。(可以簡寫成可以簡寫成“邊角邊邊角邊”或或 知識(shí)回顧知識(shí)回顧: : F E D C B A AC=DF C=F BC=EF 知識(shí)回顧知識(shí)回顧: : D CB A A B D A BC

4、 1.若若AB=AC，則添加，則添加一個(gè)一個(gè)什么條件可得什么條件可得 ABD ACD? ABD ACD AB=AC A B D C BAD= CAD SA S AD=AD 繼續(xù)探討三角形全等的條件：繼續(xù)探討三角形全等的條件： 兩角一邊兩角一邊 思考：已知一個(gè)三角形的兩個(gè)角和一條邊，那么兩個(gè)角思考：已知一個(gè)三角形的兩個(gè)角和一條邊，那么兩個(gè)角 與這條邊的位置上有幾種可能性呢？與這條邊的位置上有幾種可能性呢？ A B C A B C 圖圖1圖圖2 在圖在圖1中，中， 邊邊AB是是A A與與B 的夾邊，的夾邊， 在圖在圖2中，中， 邊邊BC是是A A的對的對 邊，邊， 我們稱這種位置關(guān)系我們稱這種位置

5、關(guān)系 為為兩角夾邊兩角夾邊 我們稱這種位置關(guān)系為我們稱這種位置關(guān)系為 兩角及其中一角的對邊。兩角及其中一角的對邊。 觀察下圖中的觀察下圖中的ABC，畫一個(gè)畫一個(gè)A B C ，使，使 A B =AB , A = A， B = B 結(jié)論結(jié)論: :兩角及夾邊對應(yīng)相等的兩角及夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等兩個(gè)三角形全等(ASA).(ASA). 觀察：觀察：A B C 與與 ABC 全等嗎？怎么驗(yàn)證？全等嗎？怎么驗(yàn)證？ 畫法畫法: 1.畫畫 A B =AB； 2.在在A B 的同旁畫的同旁畫DA B = A ,EB A = B, A D、B E交于點(diǎn)交于點(diǎn)C A C B A ED C B 思考：這兩個(gè)三角

6、形全等是滿足哪三個(gè)條件？思考：這兩個(gè)三角形全等是滿足哪三個(gè)條件？ 探索探索1 如何用符號(hào)語言來表達(dá)呢如何用符號(hào)語言來表達(dá)呢? ? 證明證明:在在ABC與與A B C 中中 A=A AB=A B ABC ABC（ASA） A C BA C B B=B 兩角及夾邊對應(yīng)相等的兩角及夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等兩個(gè)三角形全等(ASA).(ASA). 在在ABCABC和和DEFDEF中，中， A=D, A=D, B=E,BC=EF, B=E,BC=EF, ABCABC和和DEFDEF 全等嗎？為什么？全等嗎？為什么？ A CB E D F 探索探索2 分析：分析：能否轉(zhuǎn)化為能否轉(zhuǎn)化為ASA? 證明：證明

7、： A=D, B=E(已知已知) C=F(三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理) B=E 在在ABC和和DEF中中 BC=EF C=F ABC DEF（ASA） 你能從上題中得到什么結(jié)論？你能從上題中得到什么結(jié)論？ 兩角及一角的對邊對應(yīng)相等的兩角及一角的對邊對應(yīng)相等的 兩個(gè)三角形全等（兩個(gè)三角形全等（AASAAS）。）。 如何用符號(hào)語言來表達(dá)呢如何用符號(hào)語言來表達(dá)呢? ? 證明證明:在在ABC與與A B C 中中 A=A ABC ABC（AAS） A C BA C B B=B BC=B C （ASA） （AAS） 兩個(gè)三角形全等兩個(gè)三角形全等 的判定方法的判定方法 下列條件能否判定下列條件能否判定

8、ABC DEF. （1）A=E AB=EF B=D （2）A=D AB=DE B=E 試一試試一試 請先畫圖試試看請先畫圖試試看 如圖如圖, ,小明不慎將一塊三角形模具打碎為兩塊小明不慎將一塊三角形模具打碎為兩塊, ,他是否可他是否可 以只帶其中的一塊碎片到商店去以只帶其中的一塊碎片到商店去, ,就能配一塊與原來一就能配一塊與原來一 樣的三角形模具嗎樣的三角形模具嗎? ? 如果可以如果可以, ,帶哪塊去合適帶哪塊去合適? ? 你能說明其中理由嗎你能說明其中理由嗎? ? 怎么辦？可以幫幫怎么辦？可以幫幫 我嗎？我嗎？ A B 1、如圖，已知、如圖，已知AB=DE， A =D， ,B=E，則，則

9、ABC DEF的理由是：的理由是： 2、如圖，已知、如圖，已知AB=DE ,A=D，,C=F，則，則 ABC DEF的理由是：的理由是： A B C D E F 例例1 1 、如圖、如圖 ，AB=AC,B=C,AB=AC,B=C,那么那么ABEABE和和 ACDACD全等全等嗎？為什么？嗎？為什么？ 證明證明: 在在ABE與與ACD中中 B=C （已知）（已知） AB=AC （已知）（已知） A= A （公共角）（公共角） ABE ACD （ASA） A ED C B 1.如圖，如圖，AD=AE,B=C，那么，那么BE和和CD相等相等 么？為什么？么？為什么？ 證明證明: :在在ABEABE與

10、與ACDACD中中 B=C B=C （已知）（已知） A= A A= A （公共角）（公共角） AE=AD AE=AD （已知）（已知） ABE ABE ACDACD（AASAAS） BE=CDBE=CD （全等三角形對應(yīng)邊相等（全等三角形對應(yīng)邊相等） A ED C B BE=CDBE=CD 你還能得出其他你還能得出其他 什么結(jié)論？什么結(jié)論？ O 例例2. 如圖如圖,O是是AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， = ， 與與 全等嗎全等嗎? 為什么？為什么？ AB AOCBOD O A B C D 兩角和夾兩角和夾 邊對應(yīng)相邊對應(yīng)相 等等 A B C D O 12 3 4 如圖：已知如圖：已知ABC=DCBAB

11、C=DCB， 3=43=4，求證求證: (1)ABCDCB。 (2)1=21=2 例例3 3 練習(xí)練習(xí)1 已知：如圖，已知：如圖，AB=A C ，A=A， B=C 求證：求證：ABE A CD _ （ ） _ （ ） _ （ ） 證明：在證明：在 和和 中中 _ _（ ） C D A A B E A=A 已知已知 AB=AC 已知已知 B=C 已知已知 ABE ACD ASA ABE ACD 1、如圖：已知、如圖：已知ABDE，ACDF， BE=CF。求證：。求證：ABC DEF。 A BC D EF 考考你考考你 證明：證明： BE=CF(已知已知) BC=EF(等式性質(zhì)等式性質(zhì)) B=E

12、在在ABC和和DEF中中 BC=EF C=F ABC DEF（ASA） ABDE ACDF (已知已知) B=DEF , ACB=F 你能嗎你能嗎? AB=DE可以嗎？可以嗎？ ABDE 拓展拓展 1.1.根據(jù)題目條件，判別下面的兩個(gè)三根據(jù)題目條件，判別下面的兩個(gè)三 角形是否全等，并說明理由角形是否全等，并說明理由. . （不全等，因（不全等，因 為為BCBC雖然是公雖然是公 共邊，但不是共邊，但不是 對應(yīng)邊。）對應(yīng)邊。） A=D, B=F, _; A=D, AB=DE, _; 2.2.要使下列各對三角形全等，需要增加什要使下列各對三角形全等，需要增加什 么條件？么條件？ （1 1）（）（2

13、2） 3. 3. 已知：如圖，已知：如圖，ABC ABC ABCABC， ADAD、ADAD 分別是分別是ABC ABC 和和ABCABC 的高。試說明的高。試說明ADAD ADAD ，并用一句話說，并用一句話說 出你的發(fā)現(xiàn)。出你的發(fā)現(xiàn)。 A A B B C CD D A A B BC C D D 全等三角形對應(yīng)邊上的高也相等。全等三角形對應(yīng)邊上的高也相等。 4 4、ABCABC是等腰三角形，是等腰三角形，ADAD、BE BE 分別是分別是A A、 B B 的角平分線，的角平分線，ABDABD和和BAE BAE 全等嗎？試全等嗎？試 說明理由說明理由. . ABCABC是等腰三角形是等腰三角形 AC=BC AC=BC A AB B 又又 ADAD、BE BE 分別是分別是 A A、B B 的角平分線的角平分線 解解 BADBAD A A ABEABE B B 2 1 2 1 BAD =BAD =ABEABE BAD =BAD =ABEABE EAB=EAB=DBADBA ABAB為公共邊為公共邊 ABDABDBAE BAE (A.S.A)(A.S.A) (1) (1) 兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全