《平面鑲嵌》

1、 數(shù)學(xué)中研究鑲嵌的史料數(shù)學(xué)中研究鑲嵌的史料 據(jù)說，早在畢達哥拉斯時代，就據(jù)說，早在畢達哥拉斯時代，就 已有人研究過多邊形的鑲嵌問題。已有人研究過多邊形的鑲嵌問題。 而且，在著名的希爾伯特而且，在著名的希爾伯特23個問個問 題中，第題中，第18個就是用全等的多面?zhèn)€就是用全等的多面 體構(gòu)造空間，是本節(jié)課所研究的體構(gòu)造空間，是本節(jié)課所研究的 問題的三維化。可見這個問題不問題的三維化。可見這個問題不 僅源遠流長，而且在現(xiàn)在也極有僅源遠流長，而且在現(xiàn)在也極有 價值。價值。 這些圖案這些圖案 都由哪些平都由哪些平 面圖形拼成面圖形拼成？ 中間空中間空 缺處應(yīng)補上缺處應(yīng)補上 那種圖形那種圖形？ 中間空中間空

2、 缺處應(yīng)補上缺處應(yīng)補上 什么圖形什么圖形？ 中間空中間空 缺處應(yīng)補上缺處應(yīng)補上 什么圖形什么圖形？ 用一些不重疊擺放的多邊形把平面用一些不重疊擺放的多邊形把平面 的一部分完全覆蓋，在幾何里叫做的一部分完全覆蓋，在幾何里叫做平面平面 鑲嵌鑲嵌. 多邊形的鑲嵌有兩類情況：多邊形的鑲嵌有兩類情況：（1）有些圖案中有些圖案中 的多邊形的頂點在另一個多邊形的邊上。（的多邊形的頂點在另一個多邊形的邊上。（2）有）有 些圖案中的頂點與頂點重合，邊與邊重合。我們些圖案中的頂點與頂點重合，邊與邊重合。我們 在初中僅探討第二種情況。在初中僅探討第二種情況。 請你欣賞請你欣賞 假如你是個設(shè)計師，假如你是個設(shè)計師，

3、在不考慮其他因素在不考慮其他因素 的前提下，如果只選擇其中的的前提下，如果只選擇其中的一種平面圖形一種平面圖形進進 行平面鑲嵌，你行平面鑲嵌，你 會選擇哪種圖形呢會選擇哪種圖形呢？ 下面請同學(xué)們做個實驗:分別用正三角形,正方形, 正五邊形,正六邊形那些能鑲嵌成一個平面圖形? 拼拼7.4 7.4 平面鑲平面鑲 嵌嵌.swf.swf拼看拼看 拼拼7.4 7.4 平面鑲平面鑲 嵌嵌.swf.swf拼拼 看看 拼拼7.4 7.4 平面鑲平面鑲 嵌嵌.swf.swf拼拼 看看 拼拼7.4 7.4 平面鑲平面鑲 嵌嵌.swf.swf拼拼 看看 發(fā)現(xiàn)一發(fā)現(xiàn)一: 同一種正多邊形進行平面鑲嵌的圖形只有三種同一種

4、正多邊形進行平面鑲嵌的圖形只有三種:正三角正三角 形、正方形、正六邊形形、正方形、正六邊形 如果選擇其中的如果選擇其中的兩兩 種平面圖形種平面圖形進行鑲嵌，進行鑲嵌， 你又會選擇哪兩種呢你又會選擇哪兩種呢 ？ 正三角形正三角形 正方形正方形 想想7.4 7.4 平面鑲平面鑲 嵌嵌.swf.swf一一 想想 正六邊形正六邊形正八邊形正八邊形 拼拼看拼拼看 拼拼看拼拼看 拼拼看拼拼看 拼拼看拼拼看 正三角形 正方形正五邊形 正六邊形 內(nèi)角和 內(nèi)角 180o 60o 360o 90o 540o 108o 720o 120o 能否 平面 鑲嵌 圖形 一個頂點周 圍正多邊形 的個數(shù) 能能 能能 能能 正

5、三角形正三角形 正方形正方形 正五邊形正五邊形 正六邊形正六邊形 6 4 3 不能不能 你能只用一種正五邊形拼成一個地面嗎？為什么正五你能只用一種正五邊形拼成一個地面嗎？為什么正五 邊形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成一個地邊形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成一個地 面條件是什么？面條件是什么？7.4 平面鑲嵌平面鑲嵌.swf 因為正五邊形的內(nèi)角 不能組成360的角， 而正三角形的內(nèi)角能 組成360的角。 僅用正多邊形進行僅用正多邊形進行 鑲嵌，要嵌成一個平面，鑲嵌，要嵌成一個平面， 必須要求在公共頂點上必須要求在公共頂點上 所有內(nèi)角和為所有內(nèi)角和為360360 用兩種正多邊用兩種

6、正多邊 形進行鑲嵌應(yīng)滿足形進行鑲嵌應(yīng)滿足 什么條件什么條件 ？ 當(dāng)圍繞一點拼在一起的兩種正多邊形的內(nèi)角加在當(dāng)圍繞一點拼在一起的兩種正多邊形的內(nèi)角加在 一起恰好組成一起恰好組成一個周角一個周角時，這兩種正多邊形就能鑲嵌時，這兩種正多邊形就能鑲嵌. 規(guī)律：規(guī)律： 用三種或多種用三種或多種 正多邊形進行鑲嵌正多邊形進行鑲嵌 應(yīng)滿足什么條件應(yīng)滿足什么條件 ？ 當(dāng)圍繞一點拼在一起的幾種正多邊形的內(nèi)角加在當(dāng)圍繞一點拼在一起的幾種正多邊形的內(nèi)角加在 一起恰好組成一起恰好組成一個周角一個周角時，這幾種正多邊形就能鑲嵌時，這幾種正多邊形就能鑲嵌. 正十二邊形與正方形、正十二邊形與正方形、 正六邊形的平面鑲嵌正六

7、邊形的平面鑲嵌 正三角形與正方形、正正三角形與正方形、正 六邊形的平面鑲嵌六邊形的平面鑲嵌 研究題研究題: 李師傅想用兩種正多邊形地磚鋪地，你能幫他用兩種什么樣李師傅想用兩種正多邊形地磚鋪地，你能幫他用兩種什么樣 的正多邊形進行平面鑲嵌？的正多邊形進行平面鑲嵌？ 請你設(shè)計兩種不同的方案供他選擇，畫出你的設(shè)計草圖。請你設(shè)計兩種不同的方案供他選擇，畫出你的設(shè)計草圖。 發(fā)現(xiàn)二發(fā)現(xiàn)二: 用一種用一種形狀、大小完全相同的三角形，四邊形形狀、大小完全相同的三角形，四邊形也能進行也能進行 平面鑲嵌平面鑲嵌 老師想用正多邊形的地磚鋪臥室的老師想用正多邊形的地磚鋪臥室的 地面，請你設(shè)計出一種鋪法，并畫出草地面，

8、請你設(shè)計出一種鋪法，并畫出草 圖圖？ 請你創(chuàng)造美請你創(chuàng)造美 (2003(2003年中考題）商店出售下列形狀的地磚：年中考題）商店出售下列形狀的地磚：正方形；正方形； 長方形；長方形； 正五邊形；正五邊形；正六邊形。若只選擇其中正六邊形。若只選擇其中 某一種地磚鑲嵌地面，可供選擇的地磚共有（某一種地磚鑲嵌地面，可供選擇的地磚共有（ ） A.1A.1種種 B.2B.2種種 C.3C.3種種 D.4D.4種種 邊長為邊長為a a的正方形與下列邊長為的正方形與下列邊長為a a的正多邊形組合起來，的正多邊形組合起來， 不能不能鑲嵌成平面的是（鑲嵌成平面的是（ ） 正三角形；正三角形；正五邊形；正五邊形；

9、正六邊形；正六邊形；正八邊形正八邊形 A. A. B. B. C. C. D. D. C B 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： 如圖，足球由正五邊形皮塊（黑色）和正六如圖，足球由正五邊形皮塊（黑色）和正六 邊形皮塊（白色）縫成。如果取下一黑兩白邊形皮塊（白色）縫成。如果取下一黑兩白 兩兩相鄰的三塊皮塊，能不能將這三塊皮塊兩兩相鄰的三塊皮塊，能不能將這三塊皮塊 連在一起鋪平？為什么？連在一起鋪平？為什么？ 答：正五邊形的每個內(nèi)角是答：正五邊形的每個內(nèi)角是540540 /5=108 /5=108 ， 正六邊形的每個內(nèi)角是正六邊形的每個內(nèi)角是720 720 /6=120 /6=120 三塊皮塊有一個公共頂點。位

10、于公共頂點處的三三塊皮塊有一個公共頂點。位于公共頂點處的三 個內(nèi)角分別是個內(nèi)角分別是108 108 ，120 120 ，120 120 ，它們的，它們的 和是和是348 348 ，小于，小于360 360 。所以不能將這三塊皮。所以不能將這三塊皮 塊連在一起鋪平。塊連在一起鋪平。 1.1.這節(jié)課你學(xué)到了什么？有什么收獲？這節(jié)課你學(xué)到了什么？有什么收獲？ 2.2.你還有什么問題？還想知道什么？你還有什么問題？還想知道什么？ 練一練練一練 1.1. 僅用正十邊形能進行鑲嵌嗎僅用正十邊形能進行鑲嵌嗎? 為什么為什么? 2.2. 只用一種正多邊形能進行鑲嵌的有只用一種正多邊形能進行鑲嵌的有 _. 正三

11、角形、正方形、正三角形、正方形、 正六邊形正六邊形 1、下列多邊形一定不能進行平面鑲嵌的是（、下列多邊形一定不能進行平面鑲嵌的是（ ） A、三角形、三角形 B、正方形、正方形 C、任意四邊形、任意四邊形 D、正八邊形、正八邊形 2、用正方形一種圖形進行平面鑲嵌時，在它的一個頂點周圍的、用正方形一種圖形進行平面鑲嵌時，在它的一個頂點周圍的 正方形的個數(shù)是（正方形的個數(shù)是（ ） A、 3 B 、4 C、5 D 、6 3、如果只用一種正多邊形作平面鑲嵌，而且在每一個正多邊形的、如果只用一種正多邊形作平面鑲嵌，而且在每一個正多邊形的 每一個頂點周圍都有每一個頂點周圍都有6個正多邊形，則該正多邊形的邊數(shù)

12、為（個正多邊形，則該正多邊形的邊數(shù)為（ ） A、3 B、4 C、5 D、6 D B A A A類類: : 請同學(xué)們充分發(fā)揮自己的創(chuàng)造力，設(shè)計兩幅由多邊形鑲嵌而成請同學(xué)們充分發(fā)揮自己的創(chuàng)造力，設(shè)計兩幅由多邊形鑲嵌而成 的優(yōu)美圖案，并嘗試寫上一兩句貼切的解說詞。的優(yōu)美圖案，并嘗試寫上一兩句貼切的解說詞。 : （05陜西陜西 ）16右圖是用右圖是用12個全等的等腰梯形鑲嵌成的圖形，個全等的等腰梯形鑲嵌成的圖形， 這個圖形中等腰梯形的上底長與下底長的比是這個圖形中等腰梯形的上底長與下底長的比是_。 （供學(xué)有余力的同學(xué)選擇完成）（供學(xué)有余力的同學(xué)選擇完成） 第16題圖 埃舍爾埃舍爾的作品的作品鳥分割的平面鳥分割的平面 （）引導(dǎo)欣賞掛圖，感受鑲嵌美（）引導(dǎo)欣賞掛圖，感受鑲嵌美 正多形正多形1正多形正多形2正多形正多形3正多形正多形1正多形正多形2正多形正多形3 3,3,3,3,3,3/34,46 4,4,4,4/3,3412 6,6,6/3742 3,3,34,4/3824 3,3,3,36/3918 3,36,6/31015 312,12/4520 48,8/4612