初中數(shù)學(xué)整式乘法的直觀解釋

1、初中數(shù)學(xué)整式乘法的直觀解釋義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)”在整式乘法的學(xué)習(xí)過程中，利用拼圖這一幾何直觀的手段，不但可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)乘法公式的理解，還能幫助學(xué)生有效積累拼圖直觀與公式推理互相印證的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使他們加深對(duì)數(shù)形結(jié)合重要思想的感悟，使他們的數(shù)學(xué)能力上升到一個(gè)新的水平1 乘法公式的直觀解釋例1（2006，包頭）利用如圖1所示的幾何圖形的面積可以表示的公式是（ ）（a）（b）（c） （d）圖1解析：大正方形被分割成四個(gè)四邊形，所以大正方形的面積等于四個(gè)四邊形面積的和，從而=，故選c拓

2、展：（2011，青島）如圖1，把邊長(zhǎng)為a+b（ab）的大正方形分割成兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是a、b的小正方形及兩個(gè)矩形，試比較兩個(gè)小正方形面積之和m與兩個(gè)矩形面積之和n的大小提示：依題意，所以，因?yàn)閍b，所以，故，mn例2（2007，甘肅白銀）從邊長(zhǎng)為a的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后，將其裁成四個(gè)相同的等腰梯形，如圖2（1），然后拼成一個(gè)如圖2（2）所示的平行四邊形那么通過計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證成立的公式為（ ）（a）（b）（c）（d） （1）（2）圖2解析：圖2（1）中陰影部分的面積是，分割成四個(gè)相同的等腰梯形后，相對(duì)兩個(gè)梯形的高之和為（），從而圖2（2）中平行四邊形的高為

3、，底為（a+b），面積是，故選d例3（2009，內(nèi)江）在邊長(zhǎng)為的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形（）如圖3（1），把余下的部分拼成一個(gè)矩形，如圖3（2），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（ ）（a）（b）（c） （d） （1）（2）圖3解析：圖3（1）中，陰影部分的面積是兩正方形面積之差，圖3（2）中，陰影部分是長(zhǎng)為（a+b）、寬是（a-b）的長(zhǎng)方形，其面積是，故利用圖3可以驗(yàn)證，應(yīng)選c例4（2006，湖北荊門）在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（ab），再沿虛線剪開，如圖4（1），然后拼成一個(gè)梯形，如圖4（2），根據(jù)這兩個(gè)圖形的面積關(guān)系，表明下列式子成立的是（）（a）（

4、b）（c）（d） （1）（2）圖4解析：圖4（1）中陰影部分的面積是，該圖被分割成兩個(gè)直角梯形后，每個(gè)梯形的兩底分別為a和b，高為，從而每個(gè)梯形的面積是，所以圖4（2）的面積是。故選a事實(shí)上，不用拼成圖4（2），直接用圖4（1）亦可驗(yàn)證例5（2007，鄂爾多斯）如圖5（1），在邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個(gè)矩形，如圖5（2），分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的乘法公式是（用字母表示） （1）（2）圖5解析：圖5（1）的分割方式同例4，每個(gè)直角梯形的高為，從而圖5（2）中的矩形的寬為，又該矩形的長(zhǎng)為，所以其面積為可以驗(yàn)證的乘法公式是例

5、6（2007，衢州）如圖6是由邊長(zhǎng)為a的正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后余下的圖形把圖剪開后，再拼成一個(gè)四邊形，可以用來驗(yàn)證公式圖6（1）請(qǐng)你通過對(duì)圖的剪拼，畫出三種不同拼法的示意圖要求：拼成的圖形是四邊形；在圖上畫出剪切線（用虛線表示）；在拼出的圖形上標(biāo)出已知的邊長(zhǎng)（2）選擇其中一種拼法寫出驗(yàn)證上述公式的過程解析：此題是對(duì)例3至例5中所分析內(nèi)容的綜合考察，不再贅述2 整式乘法的拼圖詮釋例7（2006，邯鄲）如圖7（1）是一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中的虛線剪開均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖7（2）的形狀拼成一個(gè)正方形（1）你認(rèn)為圖（2）中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是多少？（2）請(qǐng)用兩種不

6、同的方法求圖7（2）中陰影部分的面積；（3）觀察圖（2），你能寫出三個(gè)代數(shù)式、之間的等量關(guān)系嗎？（4）根據(jù)（3）中的等量關(guān)系，解決如下問題：若a+b=7，ab=5，求的值 （1）（2）圖7解析：（1）觀察圖（2），不難得出圖7（2）中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于（）；（2）方法一：陰影部分是邊長(zhǎng)為（m-n）的正方形，故；方法二：陰影部分是圖（2）中的大正方形減去4個(gè)小長(zhǎng)方形等到的，所以；（3）由（2）的分析可知，；（4）由（3）中的結(jié)論知，=例8（2011，衢州）有足夠多的長(zhǎng)方形和正方形卡片，如圖8 圖8（1）如果選取1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)卡片分別為1張、2張、3張，可拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無縫隙），請(qǐng)畫出這個(gè)長(zhǎng)方形的草圖，并運(yùn)用拼圖前后面積之間的關(guān)系說明這個(gè)長(zhǎng)方形的代數(shù)意義；（2）小明想用類似方法解釋多項(xiàng)式乘法，那么需用2號(hào)卡片 張，3號(hào)卡片 張解析：（1）選取1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)卡片分別為1張、2張、3張，可參考如圖9中的拼圖方法： 圖91至3號(hào)卡片的面積分別為、，所以可拼成的長(zhǎng)方形面積為，即，從圖中可以看出，所拼成的矩形的兩邊長(zhǎng)分別為（）和（），由此知該拼圖的代數(shù)意義可表示為：=；（2）因?yàn)?至3號(hào)卡片的面積分別為、，所以根據(jù)可知，需用1號(hào)卡片2張，2號(hào)卡片3張，3號(hào)卡片7張，故答案為3，7拓展1：請(qǐng)仿圖9，畫圖或拼圖解釋拓展2