含絕對(duì)值不等式的解法

1、1 復(fù)習(xí)絕對(duì)值的意義：復(fù)習(xí)絕對(duì)值的意義： |x|= X0 x X=00 X0 - x 一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值表示：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值表示： 與這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到與這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到 原點(diǎn)的距離原點(diǎn)的距離,|x|0 A x1 X OB x2 |x1|x2| =|OA| =|OB| 代數(shù)的意義代數(shù)的意義 幾何意義幾何意義 2 類比：類比：|x|3 的解的解 |x|0的解的解 |x|-2的解的解 |x| 的解的解 1 5 歸納：|x|0) |x|a (a0) -axa 或或 x-a -aa -a a 3 如果把如果把|x|2中的中的x換成換成“x-1”,也就是也就是 | x-1 | 2中的中的x換成換成“3x-1”

2、,也就也就 是是 | 3x-1 | 2如何解？如何解？ 4 題型一題型一:研究研究|ax+b|)c型不等式型不等式 在這里，我們只要把在這里，我們只要把a(bǔ)x+b看作是整體可以了，看作是整體可以了， 此時(shí)可以得到：此時(shí)可以得到： | | (0) ax bccax bc ax bcax bcax bc c 或 5 x257 . 例例1 1 解解不不等等式式 x xx61. ，或或 解解：由由原原不不等等式式可可得得 xx257257 . ，或或 整整理理，得得xx61. ，或或 所所以以，原原不不等等式式的的解解集集是是 xx257257 . ，或或 6 例2:解不等式. (1) |x5|1. 解

3、:(1)由原不等式可得8x58, 3x13 原不等式的解集為x|3x13. (2)由原不等式可得2x + 31, x1 原不等式的解集為x | x1. 7 解題反思：解題反思： 2、歸納型如、歸納型如(a0) | f(x)|a 不等式的解法。不等式的解法。 1、采用了整體換元。、采用了整體換元。 | f(x)|a-af(x)af(x)a 8 例例3、解不等式解不等式 11 102 6346 33 5341341 1 3 x x xx xx 或 或 原不等式的解集為：原不等式的解集為： 52 1 33 xxx 或 10 |- 3 9 例例3、解不等式解不等式 13x+46 解法二：解法二：依絕對(duì)

4、值的意義，原不等式等價(jià)于：依絕對(duì)值的意義，原不等式等價(jià)于： -63x+4-1 或或 13x+4 6 原不等式的解集為：原不等式的解集為： 52 1 33 xxx 或 10 |- 3 52 1 33 xx 解得：或， 10 - 3 比較此題的兩種解法，解法二比較簡單，解法二比較此題的兩種解法，解法二比較簡單，解法二 去掉絕對(duì)值符號(hào)去掉絕對(duì)值符號(hào)的依據(jù)是的依據(jù)是： (0) axbaxbaxb axbbxa a 或 或- | | 10 解不等式解不等式 | 5x-6 | 6 x 變式例題變式例題：型如型如 | f(x)|a的不等式中的不等式中 “a”用代數(shù)式替換，如何解？用代數(shù)式替換，如何解？ |x

5、|= x X|b|依據(jù)：依據(jù)：a2b2 11 解：對(duì)絕對(duì)值里面的代數(shù)式符號(hào)討論：解：對(duì)絕對(duì)值里面的代數(shù)式符號(hào)討論： 5x-6 0 5x-66-x () 或或 () 5x-60 -（5x-6）6-x 解解()得：得：6/5x2解解() 得：得：0 x6/5 取它們的并集得：（取它們的并集得：（0，2） 解不等式解不等式 | 5x-6 | 6 x ()當(dāng)當(dāng)5x-60,即即x6/5時(shí)，不等式化為時(shí)，不等式化為 5x-66-x，解得，解得x2, 所以所以6/5x2 ()當(dāng)當(dāng)5x-60,即即x6/5時(shí)，不等式化為時(shí)，不等式化為 -(5x-6)0 所以所以0 x6/5 綜合綜合()、 ()取并集得（取并集

6、得（0，2） 解：解： 12 解不等式解不等式 | 5x-6 | 0時(shí)時(shí),轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為-(6-x)5x-60 -(6-x)5x-6(6-x) 綜合得綜合得0 x2 ()或或 () 6-x0 無解無解 解解()得：得：0 x 2( x-3) 4 4、 2x x 2x x 5、| 2x+1 | | x+2 | 1、|2x-3|4 16 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?|x-1| |x-3| 所以所以 兩邊平方可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩邊平方可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為 （x-1)2(x-3)2 化簡整理：化簡整理：x2 平方法：注意兩邊都為非負(fù)數(shù)平方法：注意兩邊都為非負(fù)數(shù) |a|b|依據(jù)：依據(jù)：a2b2 解不等式： 31xx 17 x

7、axbc xaxbc 題型三：和 型不等式的解法 18 125xx例5解不等式 ， x xxx ， xxx x xx，x： 23 , 2 , 2 , 5)2()1( ,1 , 53 , 5)2()1( ,12 3, , 3 , 5)2()1( , 22 的解集為的解集為綜上所述可知原不等式綜上所述可知原不等式 此時(shí)不等式的解集為此時(shí)不等式的解集為解得解得 原不等式可以化為原不等式可以化為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 此時(shí)不等式的解集為此時(shí)不等式的解集為矛盾矛盾即即 原不等式可以化為原不等式可以化為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 此時(shí)不等式的解集為此時(shí)不等式的解集為解得解得 原不等式可以化為原不等式可以化為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)解法解法 19 125

8、xx例5解不等式 ， 。A， BA；B A，BA ，BBAB，B B，；BAAA，A A。 ，A， A，B，： 23 5 5 5 1 123 122 11 11 111 111 式的解集是 故原不等的距離之和都大于的任何點(diǎn)到點(diǎn) 的右邊的左邊或點(diǎn)點(diǎn)的距離之和都小于 之間的任何點(diǎn)到點(diǎn)與從數(shù)軸上可以看到點(diǎn) 這時(shí)也有右移動(dòng)一個(gè)單位到點(diǎn) 向?qū)Ⅻc(diǎn)同理這時(shí)有到點(diǎn) 個(gè)單位向左移動(dòng)將點(diǎn)數(shù)都不是原不等式的解 上的因此區(qū)間兩點(diǎn)的距離是那么 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是設(shè)數(shù)軸上與解法 x 12-2-3 ABA1B1 20 125xx例5解不等式 , 23, 1 x, 4-2x 1x2- 2,- -2 x, 62 521 05213

9、 解集為 由圖象可知原不等式的 作出函數(shù)圖象 即構(gòu)造函數(shù) 將原不等式轉(zhuǎn)化為解法 ， x y ，xxy xx： y xO -3 2 -2 21 型型不不等等式式的的解解法法 和和）（cbxaxcbxax 2 利用絕對(duì)值不等式的幾何意義利用絕對(duì)值不等式的幾何意義 零點(diǎn)分區(qū)間法零點(diǎn)分區(qū)間法 構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)法 234xx同步訓(xùn)練：解不等式 22 三、例題講解三、例題講解 例2 解不等式|x +1| + |3x| 2 + x. 解： -13 (2)13,10,30,xxx當(dāng)時(shí) (1)(3)2,2.xxxx原不等式變形為即 , | 13 |2 | 12;xxx xxx 此時(shí) 得 (1)1,1;x xx

10、 當(dāng)時(shí) 原不等式|的解為 (3)3,10,30,xxx 當(dāng)時(shí) (1)(3)2,4.xxxx原不等式變形為即 , |3 |4|;4x xx xx x此時(shí) 得 |2.,4x xx則原不等式的解或集為 ,) 3()2() 1 (的結(jié)果取并集將、 24 23 例3 解不等式| x 1 | + | 2x4 |3 + x 解:(1)當(dāng)x1時(shí)原不等式化為: 1x + 4 2x 3 + x 1 2 x (2)當(dāng)1x 2時(shí),原不等式化為: 14230 xxxx 又 1x 2，此時(shí)原不等式的解集為 (3)當(dāng)x2時(shí),原不等式化為 44123xxxx 綜上所述，原不等式的解集為 .4 2 1 | xxx或 12 12

11、 41/2 24 四、練習(xí)四、練習(xí) 3. 解不等式|x3|x1|1 解：使兩個(gè)絕對(duì)值分別為零的解：使兩個(gè)絕對(duì)值分別為零的x的值依次為的值依次為 x3、x1， 將其在數(shù)軸上標(biāo)出，將實(shí)數(shù)分為三個(gè)區(qū)間依次考慮，原不將其在數(shù)軸上標(biāo)出，將實(shí)數(shù)分為三個(gè)區(qū)間依次考慮，原不 等式可以轉(zhuǎn)化為下列不等式組等式可以轉(zhuǎn)化為下列不等式組. -13 三種方法 25 (1)(0)fxa afxafxa 或或 (2)(0)fxa aafxa (3)( )( )( )f xg xf xg xf xg x 或或 (4)( )( )( )fxg xg xfxg x 歸納：歸納： (5) fxg x 22 fxg x 26 五、小結(jié)五、小結(jié) （1）解含絕對(duì)值的不等式的關(guān)鍵是要去掉絕對(duì)值 的符號(hào)，其基本思想是把含絕對(duì)值的不等式轉(zhuǎn)為 不含絕對(duì)值的不等式。 （2）零點(diǎn)分段法解含有多個(gè)絕對(duì)值的不等式。 x1x2 27 1不等式不等式1|x+