41正多邊形和圓—知識(shí)講解(基礎(chǔ))

1、正多邊形和圓一知識(shí)講解(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對(duì)稱性；會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫正(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如 (正方形是正多邊形).2. 理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系, 多邊形；3. 會(huì)進(jìn)行正多邊形的有關(guān)計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.要點(diǎn)詮釋：判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形知識(shí)點(diǎn)二、正多邊形的重要元素1. 正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些

2、弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊 形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓.2. 正多邊形的有關(guān)概念(1) 一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.(2) 正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.(3) 正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.(4) 正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.3. 正多邊形的有關(guān)計(jì)算(1) 正n邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是 正n邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是(3)正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是/I3砰要點(diǎn)詮釋：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形 知識(shí)點(diǎn)三、正多邊形的性質(zhì)1. 正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊

3、形.2. 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2 n個(gè)全等的直角三角形.n邊形的中心;3. 正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.4. 邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于 相似比的平方.5. 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓要點(diǎn)詮釋：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識(shí)點(diǎn)四、正多邊形的畫法1.用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角（

4、即等分頂點(diǎn)在圓心的周角）可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形.2.用尺規(guī)等分圓對(duì)于一些特殊的正n邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖 正四、八邊形。c在O0中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各 邊所對(duì)的?。醋? AOB的平分線交卞冶于E）就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。正六、三、十二邊形的作法。通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在OO中，任畫一條直徑 AB,分別以A、B為圓心，以O(shè)O的半徑為半徑畫弧與OO相交于 C D和E、F,則AC、E、B、F、D是O 0的6等分點(diǎn)。0 1

5、2等分。顯然，A、E、F（或C B、D）是O 0的3等分點(diǎn)。同樣，在圖 中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把O順次連結(jié)各等分點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：畫正n邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n等份，（2）【典型例題】如圖，四邊形ABCD是O O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是劣弧上不同于點(diǎn) C的任意一點(diǎn)，則/ BPC的度數(shù)是（A. 45.75D . 90【答案】A.【解析】如圖,連接 0B OC 則/ BOC=90 ,根據(jù)圓周角定理，得：/ BPC= / BOC=45 .故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓周角定理的應(yīng)用.舉一反三:【變式】如圖，O 0是正方形ABCD勺外接圓，點(diǎn)P在O 0上,則/ APB等于（）A. 30

6、B . 45.55D . 60【答案】連接OA OB根據(jù)正方形的性質(zhì)，得/ AOB=90.再根據(jù)圓周角定理，得/ APB=45 .故選B.356969關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）:經(jīng)典例題1-2】1, PQR是O 0的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是O O的內(nèi)接正方形， BC/ QR則/ AOQ=A. 60B . 65C . 72 D75【思路點(diǎn)撥】連接0D的度數(shù).【答案】D.【解析】如圖2,根據(jù)題意求出/ POQ和/ AOD勺度數(shù)，利用平行關(guān)系求出/ AOP度數(shù)，即可求出/ AOQ連接 0D由題意可知/ P0Q=12，/ AOD=90 ,由BC/ RQ可知P為弧AD的中點(diǎn)，所以/ AOP=45

7、 , 所以/ AOQ= POQ/AOP=120 -45 =75.故選D.【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線(如正多邊形的半徑、邊心距、中心角等)，再利用正多邊形與圓有關(guān)性質(zhì)求解.類型二、正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算3. (2015?鞍山一模)如圖，點(diǎn) G, H分別是正六邊形 ABCDEF的邊BC , CD上的點(diǎn)，且BG=CH , AG 交 BH 于點(diǎn) P. (1)求證： ABGBCH ;【答案與解析】(1)證明：在正六邊形 ABCDEF 中, AB=BC , / ABC= / C=120 AB 二 EC在 ABG 與 BCH 中* Z社C二二,L BG=CH ABG BCH ;(2)解：由

8、(1)知： ABGBCH , / BAG= / HBC , / BPG= / ABG=120 / APH= / BPG=120 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了正多邊形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確地利用正六邊形中相等的元素.正六邊形的邊長(zhǎng)分別記作a3,a4,【答案】D.【解析】解：設(shè)圓的半徑是r,則多邊形的半徑是r,如圖1,則內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng) a3r,a42r,a3： a4： asVs: V2 ： 1.如圖3,正六邊形的邊長(zhǎng)是a6=r,因而半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)之比 故選D .【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了正多邊形和圓，正多邊形的計(jì)算一般是通過(guò)中心作邊的垂線，連接半徑，構(gòu)造直角 三角形來(lái)求解.舉一反三:【高清ID號(hào)：356969關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：經(jīng)典例題5-6】【變式】如圖是對(duì)稱中心為點(diǎn) 。的正六邊形如果用一個(gè)含角的直角三角板的角，借助點(diǎn) O （使角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)0處