重積分的應(yīng)用08789

1、1,柱面坐標(biāo)系,球面坐標(biāo)系,重積分計(jì)算的基本方法, 累次積分法,2,第六節(jié),一、平面圖形的面積及立體體積,二、曲面的面積,三、物體的重心,四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,五、物體的引力,重積分的應(yīng)用,3,解：,所求立體的體積為,4,解：,另解：,1. 能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn),所求量是,對(duì)區(qū)域具有可加性.,分布在有界閉域上的整體量.,2. 用重積分解決問(wèn)題的方法,-元素法,問(wèn)題：滿足什么條件的量可用重積分解決？,5,元素法的步驟：,把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.,元素法也可推廣到三重積分上,6,設(shè)曲面S的方程為,曲面S在xoy面上的投影為區(qū),域D，,如圖，,設(shè)小區(qū)域,點(diǎn)(x,y),為S上過(guò)

2、點(diǎn),M(x,y,z)的切平面，,以,的邊,界為準(zhǔn)線，,母線平行于z軸的,小柱面，,截曲面S為,為,則有,7,-曲面S的面積元素,8,a,b,9,設(shè)曲面的方程為：,曲面面積公式為：,設(shè)曲面的方程為：,曲面面積公式為：,同理可得,曲面面積公式為：,即 設(shè)曲面的方程為：,10,解：,曲面方程：,由對(duì)稱性知：,11,面積為：,12,二、重 心,V 上連續(xù).為求得 V 的重心坐標(biāo),先對(duì) V 作分割 T,物體就可用這 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系來(lái)近似代替.由于,質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)公式為,13,14,的重心坐標(biāo):,15,重心坐標(biāo):,16,例2 求密度均勻的上半橢球體的重心.,故得,即求得上半橢球體的重心坐標(biāo)為,17,

3、因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故,連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.,18,得：,19,例3.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對(duì)其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.,解: 建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量,20,21,22,23,G 為引力常數(shù),推廣到空間立體 ：,設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,物體對(duì)位于原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力,利用元素法,其密度函數(shù),24,曲 線 積 分,對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,定義,聯(lián)系,計(jì) 算,三代一定,二代一定 (與方向有關(guān)),25,與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題,條件,等 價(jià) 命 題,(3)在G內(nèi)，,在單連通區(qū)域G上P(x,y),Q(x,y)具有連續(xù)的,26,1.定積分與不定積分的聯(lián)系,牛頓-萊布尼茨公式,2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系,格林公式,27,第二類曲線積分,28,計(jì)算中涉及的有關(guān)公式,1.兩類曲線積分的幾何意義,閉區(qū)域D的面積,29,30,31,