基于開環(huán)對數(shù)幅頻特性求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法

1、第5卷第1期石家莊鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報VOL. 5 No .12006 年 3 月JOURNAL OF SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGYMar.200 6基于開環(huán)對數(shù)幅頻特性求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法王渝 1） 楊建新 2） 王玉彩 1）（石家莊鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 1） 河北石家莊 太原理工大學(xué) 2） 山西太原 ）摘要：由開環(huán)對數(shù)幅頻特性求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的問題類型較多，對這類問題的求解方法進行分析、 總結(jié)，并通過例題加以說明。關(guān)鍵詞：傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)性質(zhì)轉(zhuǎn)折頻率斜率中圖分類號：TP311.11文獻標(biāo)識碼 ：A文章編號：1673-1816(2006)01

2、-0075-05在工程實際中常常要針對給定的控制對象和所要求達到的一定的性能指標(biāo)，設(shè)計和選擇控制器 的結(jié)構(gòu)與參數(shù)來校正系統(tǒng)。當(dāng)選用頻率法來校正系統(tǒng)時經(jīng)常會遇到一類問題，即由已知的開環(huán)對數(shù) 幅頻特性求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如不摸清這類問題的規(guī)律，就不知道該從何處下手解決，且很容易將 一些環(huán)節(jié)丟掉，不能完整的求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此提出這類問題的求解方法，以供同行參考。由開環(huán)對數(shù)幅頻特性求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的解算方法可以分為以下四個步驟：1由低頻段漸近線斜率求出系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)的個數(shù)具體做法是：先在系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線上找出第一個轉(zhuǎn)折頻率1 ，然后由1 之前 漸近線的斜率求出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有的積分

3、環(huán)節(jié)的個數(shù)，即 ： 20V = 第一個轉(zhuǎn)折頻率1 之前漸近線的斜率 （V 表示積分環(huán)節(jié)的個數(shù)），求出積分環(huán)節(jié)的個數(shù)后，可將積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1表示為 G ( s ) s n例 1 第一個轉(zhuǎn)折頻率1 = 2 ，1 之前漸近線的斜率為 0 ，所以20V = 0 ， 得V = 0 ，該系統(tǒng)不含有積分環(huán)節(jié)。例 2第一個轉(zhuǎn)折頻率1 = 0.1 ，1 之前漸近線的斜率為40 ， 所以20V = 40 ，得V = 2， 該系統(tǒng)含有兩個積分環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G ( s )1。s 2收稿日期：2005-12-12作者簡介：王渝（1978-），女，蒙族，河南鎮(zhèn)平人，本科，助教，研究方向自動化。石家莊鐵路職

4、業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報2006 年第 1 期因為系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性在第一個轉(zhuǎn)折頻率之前漸近線的斜率就是 20V dB/dec ,即由 積分環(huán)節(jié)的個數(shù) V 來決定的，因此可以用20V = 第一個轉(zhuǎn)折頻率1 之前漸近線的斜率來求 V 的值。2確定系統(tǒng)所含其它環(huán)節(jié)的性質(zhì)找出所有的轉(zhuǎn)折頻率1 、2 、3 、 ，由每個轉(zhuǎn)折頻率前后漸近線的斜率確定系統(tǒng)含有 的環(huán)節(jié)的性質(zhì)。通過觀察轉(zhuǎn)折頻率前后漸近線的斜率是減小了，還是增加了，就可以判斷出系統(tǒng)中 是否含有慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)，之后再寫出表示這些環(huán)節(jié)的傳遞函 數(shù)。具體的做法見表 1 ，表 1轉(zhuǎn)折頻率前后漸近線斜率的變化系統(tǒng)所含環(huán)節(jié)性質(zhì)對應(yīng)

5、環(huán)節(jié)的時間常數(shù)1對應(yīng)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1減小 20dB/dec慣性環(huán)節(jié)T w一階微分環(huán)1G ( s ) Ts 1增加 20dB/dect 節(jié)w1G ( s ) ts 11減小 40dB/dec振蕩環(huán)節(jié)T w二階微分環(huán)1G ( s ) T 2 s 2 2xTs 1例 3增加 40dB/decT G ( s ) T 2 s 2 2xTs 1節(jié)w第一個轉(zhuǎn)折頻率1 = 2 ，1 前后漸近線的斜率由20dB/dec變到了40dB/dec ，減小了 20dB/dec ，所以系統(tǒng)含有一個慣性環(huán)節(jié)，其時間常數(shù)T 1w 11 0.5 ，該慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為例 4第一個轉(zhuǎn)折頻率1 = 0.5 第二個轉(zhuǎn)折頻率2 =

6、2G ( s) 。0.5 s 11 前后漸近線的斜率由40dB/dec 變到了20dB/dec ，增 加了 20dB/dec ，則系統(tǒng)含有一個一階微分環(huán)節(jié)，其時間常數(shù)t 1 2w 1，該一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為 G ( s ) 2 s 1；2前后漸近線的斜率由20dB/dec 變到了40dB/dec ，減小了 20dB/dec ，則系統(tǒng)含有一個慣性環(huán)節(jié)，其時間常數(shù)T 1w 2 0.5，該慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G ( s) 1。0.5 s 176第 1 期王渝，等基于開環(huán)對數(shù)幅頻特性求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法例 5第一個轉(zhuǎn)折頻率1 = 0.1 ，1 前后漸近線的斜率由40dB/dec，變到了80dB/de

7、c ，減小了40dB/dec ，則系統(tǒng)含有一個振蕩環(huán)節(jié)，其時間常數(shù)T 1w 1 10 ，該振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G ( s ) 1。3求開環(huán)放大倍數(shù) K 的值100 s 220 s x 1在任何系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中都含有比例環(huán)節(jié)，其比例系數(shù)即為 K ，K 的值可大于、小于或等于 1 ，但 K 的值一定是大于 0 的，因此還要求出 K 的值。求 K 的值有很多方法，每一種方法都有其特有的前提條件，對于不同的情況應(yīng)該用不同的方法 求 K 的值，現(xiàn)將這些方法總結(jié)如下：3.1由 = 1 時的 L（）值求 K ，即 L（）= 20lgK , 此方法還要由第一個轉(zhuǎn)折頻率1 的取值再細分為兩種：3.1.1當(dāng)

8、1 1 時, 直接由已知的開環(huán)對數(shù)幅頻特性求 = 1 時 L（）的值，然后算出 K 的值。例 6第一個轉(zhuǎn)折頻率1 = 10 ， 1 1 ， 由圖可知當(dāng) = 1 時， L（）= 20 dB ， 所以 L（）= 20lgK = 20 ， 得 K = 10 。例 7第一個轉(zhuǎn)折頻率1 = 1 ，圖上已經(jīng)標(biāo)出當(dāng) = 1 時， L（）= 10 dB ， 所以 L（）= 20lgK = 10 ，得 K = 3.16 。例 8第一個轉(zhuǎn)折頻率1 = 2 ，1 1 ， 但圖中未標(biāo)出 = 1 時 L（）的值，所以要先經(jīng)過計算得出 = 1 時 L（）的值，計算方法如下：L ( 2 ) 0 lg 2 lg 28L (1

9、) 45.89 lg 1 lg 2= 40 ， 得 L(2)= 45.89 dB ,= 20 ， 得 L(1)= 51.89 dB ， 而 L(1)的值即為 = 1 時 L（）的值，所以 L（1）= 20lgK = 51.89 ， 得 K = 393 。3.1.2 當(dāng)1 1 時, 先將第一個轉(zhuǎn)折頻率之前低頻段的漸 近線延長，與過橫軸=1 處的垂線相交，求出交點處的縱坐 標(biāo)，然后由“交點的縱坐標(biāo) = 20lgK”算出 K 的值。例 9第一個轉(zhuǎn)折頻率1 = 0.5 ， 1 1 ，將1 之前低頻段的漸近線延長，并從橫軸=1 處做垂77石家莊鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報2006 年第 1 期線，與剛才做的延長

10、線相交與 A 點，如圖所示，下面先求 A 點的縱坐標(biāo)，L(0.5)= 6 dB ,L (0.5 ) 0 lg 0.5 lg 1= 20 ， 得6 L A (w )lg 0.5 lg 1= 40 ， 得 LA（）= 6 dB , 所以 LA（）= 20lgK = 6 ，得 K = 0.5 。3.2若已知截止頻率c ，由 A(c)= 1 求 K 的值。 例 10由圖可知截止頻率c = 28 ，第一個轉(zhuǎn)折頻率1 = 2 ，1 之前漸近線的斜率為20 ，所以 20V = 20 ，得 V = 1 ，該系統(tǒng)含有一個積分環(huán)節(jié)， 其1傳遞函數(shù)為 G ( s) ；s1由例 3 可知該系統(tǒng)還含有一個慣性環(huán)節(jié)，其傳

11、遞函數(shù)為G ( s) ，0.5 s 1由此可寫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達式為 G ( s ) Ks ( 0.5s 1)，其中 K 的值未知，待求，下面求 K：系統(tǒng)的頻率特性為 G ( jw ) KK， 幅頻特性為 A(w ) ，jw ( j 0.5w 1)w 1 ( 0.5w ) 2K2因 L(c)= 0 ，即 L(c)= 20lgA(c)= 0 , 故 A(c)= 1 ， A(w c ) = 1 ，w c1 ( 0.5w c )代入c = 28 ，得 A(w c ) 28 K1 ( 0.5 28) 2= 1 ，于是得 K = 393 ，此結(jié)果與例 8 所求 K 值一樣。3.3由低頻段漸近線的延長線

12、與橫軸交點處的頻率值0 求 K ,w0即 K =n例 11（V 表示積分環(huán)節(jié)的個數(shù)）。第一個轉(zhuǎn)折頻率1 = 2 ，1 之前漸近線的斜率為20 ， 所以 20V = 20 ， 得 V = 1 ；由圖可知1 之前低頻段漸近線的延長線與橫軸n 1交點處的頻率0 = 10 ， 所以 K = w 0 = 10 = 10 。4確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)具體做法：將已確定的典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘，得出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)。例 12綜 合示例：已知某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特 性如圖所示，試寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。78第 1 期王渝，等基于開環(huán)對數(shù)幅頻特性求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法（1）第一個轉(zhuǎn)折頻率1 =0.

13、01，第二個轉(zhuǎn)折頻率2 =0.1，第三個轉(zhuǎn)折頻率3 =8，第四個轉(zhuǎn)折頻率4 =20，1 之前漸近線的斜率為40 ，所以20V = 40 ， 得 V = 2 ，該系統(tǒng)含有兩個積分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為表 21G ( s) ；（2）系統(tǒng)所含其它環(huán)節(jié)的性質(zhì)分析見表2 ，s 2轉(zhuǎn)折轉(zhuǎn)折頻率前后漸 頻率近線斜率的變化系統(tǒng)所含 環(huán)節(jié)性質(zhì)對應(yīng)環(huán)節(jié)的時間常數(shù)對應(yīng)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1 增加 40dB/dec二階微分環(huán)節(jié)T 1w 1 100G ( s ) 10 4 s 2 200 s x 12 減小 20dB/dec慣性環(huán)節(jié)T 1 w 2 10G ( s ) 110 s 13 減小 20dB/dec慣性環(huán)節(jié) 1 T w

14、3 0.125G (s ) 10. 125 s 14 減小 20dB/dec慣性環(huán)節(jié)T 1 w 4 0.05G ( s ) 10 .05 s 1（3）由圖可知1 之前低頻段漸近線的延長線與過橫軸=1 處的垂線相交，交點處的縱坐標(biāo)L（）= -40 dB ,所以 L（）= 20lgK = -40 ， 得 K = 0.01 ；（4）將系統(tǒng)包含的所有典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘，得出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G ( s ) 0.01 (10 4 s 2 200 sx 1)s 2 ( 10 s 1)( 0.125 s 1)( 0.05 s 1)參考文獻：（責(zé)任編輯張宇平）1劉祖潤.自動控制原理M.北京:機械工業(yè)出版

15、社,2000,62史忠科,盧京潮.自動控制原理常見題型解析及模擬題M.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,1998,9 3謝克明,劉文定.自動控制原理M.北京:兵器工業(yè)出版社,1998,9Method for Obtaining System Transfer Function Based onOpen Loop Logarithm Amplitude Frequency CharacteristicWang Yu1) Yang Jianxin2) Wang Yucai1)1)(Shijiazhuang Institute of Railway Technology2)ShijiazhuangHebeiTaiYuan University of TechnologyTaiyuan Shanxi China)Abstract: There are many types of problems