一題多解11---導(dǎo)數(shù)--極值點(diǎn)偏移

1、精品好資料學(xué)習(xí)推薦已知函數(shù)（I）討論的單調(diào)性；（II）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（III）若函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：命題說(shuō)明：一、命題來(lái)源：個(gè)人原創(chuàng)二、主要考查以下幾方面內(nèi)容：（1）考查求導(dǎo)公式（包括形如的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；（2）考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；（3）導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性；（4）考查用構(gòu)造函數(shù)的方法證明不等式；（5）考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化劃歸思想；三、難度：屬于理科導(dǎo)數(shù)壓軸題，難；四、解題方法：（）解：的定義域?yàn)?，（解決函數(shù)問(wèn)題，定義域優(yōu)先的原則）（常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算）（）若則，所以在單調(diào)遞增；（）若則由得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)

2、單調(diào)性，涉及分類討論的思想）單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.歸納小結(jié)：本小問(wèn)屬導(dǎo)數(shù)中常規(guī)問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)有二：易錯(cuò)點(diǎn)一是忽略函數(shù)的定義域，易錯(cuò)點(diǎn)二是分類討論的分類標(biāo)準(zhǔn)的選取。（II）分析：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題中的不等式的證明，主要是構(gòu)造函數(shù)的思想，利用所構(gòu)造的函數(shù)的最值，來(lái)完成不等式的證明。形如“”的不等式叫二元的不等式，二元不等式的證明主要采用“主元法”。解析：方法一：構(gòu)建以為主元的函數(shù)設(shè)函數(shù)（構(gòu)造函數(shù)體現(xiàn)劃歸的思想）則，（這是本題的難點(diǎn)，估計(jì)很多學(xué)生不知要把朝何方象化簡(jiǎn)，由于要利用導(dǎo)數(shù)法求最值，所以應(yīng)朝有利于求導(dǎo)的方向化簡(jiǎn)，另外考試大綱中明確對(duì)復(fù)合函數(shù)求

3、導(dǎo)，只需掌握型。）（型的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）當(dāng).故當(dāng)，方法二：構(gòu)建以為主元的函數(shù)設(shè)函數(shù)，則由，解得當(dāng)時(shí)，而，所以故當(dāng)，歸納小結(jié)：無(wú)論是方法一還是方法二都采用了構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，解題中都體現(xiàn)了將不等式證明問(wèn)題劃歸為函數(shù)最值的劃歸思想。（）分析：判斷的正負(fù)，由（）中單調(diào)性，可知，即確定與的大小關(guān)系，又可等效成判斷與的大小關(guān)系，根據(jù)（）中不等式可確定與的大小關(guān)系，結(jié)合（）中單調(diào)性，問(wèn)題迎刃而解。解：由（I）可得，當(dāng)?shù)膱D像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，故，從而的最大值為不妨設(shè)（結(jié)合圖象分析更方便）由（II）得（注意前后兩問(wèn)的銜接）又在單調(diào)遞減所以（利用函數(shù)性質(zhì)脫掉函數(shù)符號(hào)）由（I）知，歸納小結(jié)：本小問(wèn)解決主要是

4、建立在第（）（II）問(wèn)的基礎(chǔ)之上的，分析問(wèn)題中注意數(shù)形結(jié)合，解題時(shí)要有“回頭看”的意識(shí)。完成本問(wèn)很難說(shuō)學(xué)生究竟用了什么方法，需要學(xué)生要對(duì)所學(xué)過(guò)的知識(shí)、方法要做到完全融會(huì)貫通，達(dá)到以“無(wú)法勝有法，以無(wú)招勝有招的境界，才有機(jī)會(huì)解決這個(gè)問(wèn)題，是考查學(xué)生綜合能力的體現(xiàn)。五、試題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)學(xué)思想：（1）分類討論思想 （2）轉(zhuǎn)化劃歸思想 （3）數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學(xué)方法 ：（1）導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)單調(diào)性 （2）構(gòu)造函數(shù)法證明不等式 六、題目的幾何背景：任何抽象的代數(shù)形式背后，都有其深刻的幾何背景，本題的幾何背景無(wú)論是函數(shù)還是其實(shí)都是先減后增的單峰函數(shù)，利用圖象的對(duì)稱平移變化，就能出現(xiàn)在的指定的某一范圍下

5、，兩函數(shù)圖象的端點(diǎn)處的函數(shù)值相同，圖象有高低，也就產(chǎn)生了我們的試題中的第（II）問(wèn)。由于為單峰函數(shù)，圖像關(guān)于直線（為函數(shù)的極值點(diǎn)）不對(duì)稱，導(dǎo)致直線（或軸）與曲線相交時(shí)，交點(diǎn)到直線的距離不等，進(jìn)而出現(xiàn)重點(diǎn)在的右側(cè)，也就出現(xiàn)試題中的第(III)問(wèn)。七、問(wèn)題變式與拓展對(duì)于一個(gè)試題的變式無(wú)外乎從這兩個(gè)方面入手，對(duì)其加以變式，一對(duì)題目的條件加以變式、二對(duì)題目的結(jié)論加以變式?；谝陨舷敕?，我主要從以下幾個(gè)方面對(duì)試題加以變式。問(wèn)題變式一：已知函數(shù)（III）若函數(shù)的圖像與直線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：編題意圖：將特殊直線（或軸）變成一般的直線，體現(xiàn)從特殊到一般。問(wèn)題變式二：已知函數(shù)，（III）若函數(shù)的圖像與軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：編題意圖：要解決的問(wèn)題不變，改編的是原函數(shù)，通過(guò)添加參數(shù)來(lái)改編試題，改變?cè)囶}的難度。問(wèn)題變式三：已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：（3）設(shè)圖象與直線的兩交點(diǎn)分別為，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為證明：編題意