六年級奧數(shù)分數(shù)巧算學生版

1、分數(shù)的速算與巧算1、裂項：是計算中需要發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過程，裂項與通項歸納是密不可分的，本講要求學生掌握裂項技巧及尋找通項進行解題的能力2、換元：讓學生能夠掌握等量代換的概念，通過等量代換講復雜算式變成簡單算式。3、循環(huán)小數(shù)與分數(shù)拆分：掌握循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的互化，循環(huán)小數(shù)之間簡單的加、減運算，涉及循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的主要利用運算定律進行簡算的問題4、通項歸納法通項歸納法也要借助于代數(shù)，將算式化簡，但換元法只是將“形同”的算式用字母代替并參與計算，使計算過程更加簡便，而通項歸納法能將“形似”的復雜算式，用字母表示后化簡為常見的一般形式知識點撥一、裂項綜合（一）、“裂差”型運算(1)對于分母可以寫作

2、兩個因數(shù)乘積的分數(shù)，即1111么有=(-)abb-aab1ab形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即ab，那，形式的，我們有：(2)對于分母上為3個或4個連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分數(shù)，即：11n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2)(n+3)1111=-n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)1111=-n(n+1)(n+2)(n+3)3n(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)(n+3)裂差型裂項的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運算。（2）分母上均為幾個自然數(shù)的乘積形式

3、，并且滿足相鄰2個分母上的因數(shù)“首尾相接”（3）分母上幾個因數(shù)間的差是一個定值。（二）、“裂和”型運算：常見的裂和型運算主要有以下兩種形式：=+=+（2）（1）a+bab11abababbaa2+b2a2b2ab=+=+abababba裂和型運算與裂差型運算的對比：，裂差型運算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達到簡化的目的”裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉(zhuǎn)化為“分數(shù)湊整”型的，以達到簡化目的。三、整數(shù)裂項(1)12+23+34+.+(n-1)n=(n-1)n(n+1)(2)123+234+345+.+(n-2)(n-1)n=(n-2)(n-1)n(n+1)1314二、換元解數(shù)學題時，把

4、某個式子看成一個整體，用另一個量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，將復雜的式子化繁為簡三、循環(huán)小數(shù)化分數(shù)1、循環(huán)小數(shù)化分數(shù)結(jié)論：分子純循環(huán)小數(shù)循環(huán)節(jié)中的數(shù)字所組成的數(shù)混循環(huán)小數(shù)循環(huán)小數(shù)去掉小數(shù)點后的數(shù)字所組成的數(shù)與不循環(huán)部分數(shù)字所組成的數(shù)的差0.a=；0.ab=；0.0ab=；0.abc=，分母n個9，其中n等于循環(huán)節(jié)所含的數(shù)字按循環(huán)位數(shù)添9，不循環(huán)位數(shù)添0，組成分母，其中個數(shù)9在0的左側(cè)aabab1ababc-a99999109909902、單位分數(shù)的拆分：11111111111102020()()()()()()()()例：=+=+=+分析：分數(shù)單位的拆分，主要方法

5、是：從分母n的約數(shù)中任意找出兩個m和n,有：11(m+n)mn11=+nn(m+n)n(m+n)n(m+n)ab本題10的約數(shù)有:1,10,2,5.。例如：選1和2，有：11(1+2)1211=+=+1010(1+2)10(1+2)10(1+2)3015本題具體的解有：111111111=+=+=+=+1011110126014351530例題精講模塊一、分數(shù)裂項【例1】11111+123423453456678978910333【鞏固】+.+1234234517181920【例2】計算：5123234+7+198910=【解析】如果式子中每一項的分子都相同，那么就是一道很常見的分數(shù)裂項的題目

6、但是本題中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2相比較于2，4，6，這一公差為2的等差數(shù)列(該數(shù)列的第n個數(shù)恰好為n的2倍)，原式中分子所成的等差數(shù)列每一項都比其大3，所以可以先把原式中每一項的分子都分成3與另一個的和再進行計算也可以直接進行通項歸納根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項公式為2n+3，所以+n1)(+n)2(+(n+1)(n+2)與n(2n+3=2n()1+2)+n(+n)(3)+1n，再將每一項的n223n(n+1)(n+2)分別加在一起進行裂項后面的過程與前面的方法相同234345+）【鞏固】計算：1155（57+1719891091011124523563467+

7、【鞏固】計算：345+1210111314【例3】12232342345+234+923410【例4】+11111+21+2+3+11+2+100代入有=，【解析】本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分數(shù)裂差型裂項”問題。此類問題需要從最簡單的項開始入手，通過公式的運算尋找規(guī)律。從第一項開始，對分母進行等差數(shù)列求和運算公式的112112=1(1+1)1121+2(1+2)22322+=.【例5】11111132-152-172-192-1112-1132-1【解析】這題是利用平方差公式進行裂項：a2-b2=(a-b)(a+b)，111【例6】2+31111+(1+)(1+)223+199

8、9111(1+)(1+)(1+)23199922+32+3+41+2+31+2+3+4【例7】1+21+2+3+502+3+50n(n+1)【解析】找通項a=n(1+n)nn(n+1)-2(1+n)n2-12【例8】1212+2212+22+3212+22+32+4212+22+262-+-+-1313+2313+23+3313+23+33+4313+23+263n(n+1)(2n+1)12+22+n222n+1211=(+)【解析】a=n6n2(n+1)213+23+n33n(n+1)3nn+14【例9】計算：223222-132-1992992-1=_(項公式：a=n(n+1)2(n+1)

9、2(n+1+1)(n+1-1)=n(n+2)）【鞏固】計算：1222+12-100+500022-200+5000+992992-9900+5000=【解析】本題的通項公式為n2n2-100n+5000，沒辦法進行裂項之類的處理注意到分母n2-100n+5000=5000-n(100-n)=5000-(100-n)100-(100-n)，可以看出如果把n換成100-n的話分母的值不變，所以可以把原式子中的分數(shù)兩兩組合起來，最后單獨剩下一個502502-5000+5000將項數(shù)和為100的兩項相加，得n2-100n+5000(100-n)2-100(100-n)+5000n2-100n+5000

10、n2-100n+5000(100-n)2n2+(100-n)2n22n2-200n+10000+=2，所以原式=249+1=99（或者，可得原式中99項的平均數(shù)為1，所以原式=199=99）【例10】24111111+l+-+l+234520211212+2212+22+l+102【解析】雖然很容易看出111111-，-可是再仔細一看，并沒有什么效果，因為這不23234545于是我們又有1減號前面括號里的式子有10項，減象分數(shù)裂項那樣能消去很多項我們再來看后面的式子，每一項的分母容易讓我們想到公式，612+22+32+l+n2n(n+1)(2n+1)號后面括號里的式子也恰好有10項，是不是“一

11、個對一個”呢？模塊二、換元與公式應用【例11】計算：13+33+53+73+93+113+133+153【例12】計算：1+設s=1+則3s=3+1+，3s-s=3-，整理可得s=1111111+33233343536111111111111364+3323334353633233343536729【例13】計算：2(22+42+62+1002)-(1+32+52+992)1+2+3+9+10+9+8+3+2+1【例14】計算：+12+2222+3232+4242+5220002+200121223344520002001【例15】2007-(8.58.5-1.51.5)10160-0.3=【

12、例16】計算：(1+1111111111+)(+)-(1+)(+)2424624624三、循環(huán)小數(shù)與分數(shù)互化【例17】計算：0.1+0.125+0.3+0.16，結(jié)果保留三位小數(shù)【例18】某學生將1.23乘以一個數(shù)a時，把1.23誤看成1.23，使乘積比正確結(jié)果減少0.3.則正確結(jié)果該是多少?【例19】有8個數(shù)，0.51，,0.51,是其中6個，如果按從小到大的順序排列時，第4個數(shù)是2524133947250.51，那么按從大到小排列時，第4個數(shù)是哪一個數(shù)?【例20】真分數(shù)a化為小數(shù)后，如果從小數(shù)點后第一位的數(shù)字開始連續(xù)若干個數(shù)字之和是1992，那么a7是多少?【例21】和化成循環(huán)小數(shù)后第10

13、0位上的數(shù)字之和是_.20021200928720021+=1，而1=0.9，則第100位上的數(shù)字和為9.【解析】如果將們發(fā)現(xiàn)和轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后再去計算第100位上的數(shù)字和比較麻煩，通過觀察計算我2009287200212009287【例22】=+=-=+=-1111111111145()()()()()()()()()()注：這里要先選10的三個約數(shù)，比如5、2和1，表示成連減式5-2-1和連加式5+2+1.【例23】所有分母小于30并且分母是質(zhì)數(shù)的真分數(shù)相加，和是_。=+，其中a、b都是四位數(shù)，且ab，那么滿足上述條件的所有數(shù)對（a,b）是【例24】若1112004ab課后練習：練習1.123456+121231234123451234561234567練習2.(1-)(2-)(3-)12323489(8-)(9-)910練習3.計算：13+33+53+993=_練習4.計算：1+200723+120082+11200823+1-1+12+111112007練習5.0.15+0.2180.3；11111(2.234-0.98)11(結(jié)果表示成循環(huán)小數(shù))【備選1】計算：23!4!+月測備選3+99100!=.【備