小學(xué)數(shù)學(xué)教材“解決問題”編排體系的比較

1、小學(xué)數(shù)學(xué)教材“解決問題”編排體系的比較研究以蘇教版和人教版為例摘要:各國課程標(biāo)準(zhǔn)中都將“數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)”置于重要位置。我國新課程的實(shí)施不僅僅是教材的更新、教學(xué)大綱的調(diào)整，也是課程及教學(xué)理念的轉(zhuǎn)換。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，將“解決問題”列為數(shù)學(xué)教育的四大目標(biāo)之一。基于新課改理念，編者們以“解決問題”代替?zhèn)鹘y(tǒng)的應(yīng)用題，對應(yīng)用題不再強(qiáng)調(diào)人為的歸類，而是將“解決問題進(jìn)行分散編排和集中編排相結(jié)合。這絕不僅僅是名稱上的變化。弄清楚這其中變化的實(shí)質(zhì)，有助于我們更好地繼承應(yīng)用題教學(xué)寶貴的、成功的經(jīng)驗(yàn)，也有助于我們更好地展開解決問題的教學(xué)。目前，全國有代表性的人教版和蘇教版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，“解決問題”集中編排的編寫風(fēng)

2、格迥異。本文通過編排體系、內(nèi)容編排特點(diǎn)以及問題解決內(nèi)容編排建議三個(gè)維度，對兩個(gè)版本“解決問題”集中編排的版塊進(jìn)行教材比較。關(guān)鍵詞: 小學(xué)數(shù)學(xué)教材；解決問題；集中編排；比較研究一、問題解決內(nèi)容的編排體系1.“數(shù)學(xué)廣角、解決問題的策略與找規(guī)律”的教材比較 （1）編排體系的比較由于兩個(gè)版本的內(nèi)容較多且大都不相同，為了便于比較，筆者將編排體系以年級(jí)所對應(yīng)的內(nèi)容以及主要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整理歸納，并制成表一和表二：表一 人教版“數(shù)學(xué)廣角和找規(guī)律”的編排體系年級(jí)內(nèi)容主要的數(shù)學(xué)思想方法一下找規(guī)律:探索圖案和數(shù)字簡單的排列規(guī)律符號(hào)化思想方法、有序思維二上數(shù)學(xué)廣角:1.簡單的排列:1, 2能組成幾個(gè)兩位數(shù)?2.簡單的邏

3、輯推理:猜一猜他們拿的是什么書?排列組合思想方法、 邏輯推理思維二下找規(guī)律:1.鋪地磚花紋的規(guī)律2.等差數(shù)列的探究規(guī)律數(shù)形結(jié)合思想 有序思維三上數(shù)學(xué)廣角:1.搭配問題:有幾種不同的穿法?踢幾場球?2.簡單的排列:3個(gè)數(shù)字 能擺成幾個(gè)三位數(shù)? 排列組合思想方法三下數(shù)學(xué)廣角:1.重疊問題:參加語文、數(shù)學(xué)小組的共幾人?2.等量代換:幾個(gè)蘋果與1個(gè)西瓜一樣重? 集合思想 等量代換思想四上數(shù)學(xué)廣角:1.運(yùn)籌問題:烙餅、沏茶、碼頭卸貨等問題2.對策問題:田忌賽馬。運(yùn)籌思想、對策方法論、優(yōu)化思想四下數(shù)學(xué)廣角:植樹問題:兩端都種、兩端都不種、封閉方陣中種樹等。植樹問題的思想方法、轉(zhuǎn)化的思想方法五上找規(guī)律:皮筋

4、長度和課本數(shù)的關(guān)系。函數(shù)思想 數(shù)學(xué)廣角:數(shù)字編碼:郵政編碼、身份證編碼、編學(xué)號(hào)等數(shù)字編碼思想。五下找規(guī)律:怎樣花最少的時(shí)間打電話通知最多的人。 優(yōu)化思想 轉(zhuǎn)化的思想方法數(shù)學(xué)廣角:找次品:5件、9件物品中用最 少的次數(shù)找到次品。 六上數(shù)學(xué)廣角:雞兔同籠問題假設(shè)法六下數(shù)學(xué)廣角:抽屜原理:4支鉛筆放入3個(gè)文具盒、5本書放入2個(gè)抽屜，怎么放?抽屜原理表二 蘇教版“解決問題策略和找規(guī)律”的編排體系年級(jí)教學(xué)內(nèi)容和滲透的策略方法四上1. 會(huì)用列表的方法整理簡單實(shí)際問題所提供的信息，通過列表的過程分析數(shù)量關(guān)系，尋找解決問題的有效方法。 2.發(fā)現(xiàn)生活中間隔數(shù)與端點(diǎn)之間的不同規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決生活中的間隔問題。

5、 四下1.用畫直觀示意圖、線段圖等方法整理相關(guān)的信息，能借助所畫的直觀圖或線段圖分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系。 2.發(fā)現(xiàn)簡單搭配現(xiàn)象中的規(guī)律，能運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決一些生活簡單的搭配問題。 五上1.能通過不遺漏，不重復(fù)的列舉找到符合要求的所有答案。 2.發(fā)現(xiàn)具體現(xiàn)象中的周期規(guī)律、對現(xiàn)象的后續(xù)發(fā)展情況作出判斷。五下1.用“倒過來推想”的策略尋求解決問題的思路，并能根據(jù)具體的問題確定合理的解題步驟。 2.用平移的方法探索簡單圖形覆蓋現(xiàn)象中的規(guī)律，能根據(jù)被覆蓋的圖形的方格個(gè)數(shù)推算出覆蓋的總次數(shù)，并能用以解決實(shí)際問題。六上會(huì)用“替換”的策略去分析數(shù)量關(guān)系，并能解決相應(yīng)的實(shí)際問題，如雞兔同籠。六下用轉(zhuǎn)化的方法

6、解決實(shí)際問題，如較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題由表一和表二可見兩個(gè)版本在編排體系上有明顯的異同之處，具體如下: (1)相同點(diǎn) 兩個(gè)版本的內(nèi)容選取都能夠較好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)是抽象性，在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象化、數(shù)學(xué)化的過程，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力。如蘇教版教材“畫圖和列表”的策略能幫助學(xué)生把握實(shí)際問題里的數(shù)學(xué)內(nèi)容，便于學(xué)生審題，這正是解決問題的第一步。雖然畫圖比較直觀，表格條理清楚，但這種策略的數(shù)學(xué)化程度是比較高的，因?yàn)楫媹D和列表是通過整理問題的條件、看清數(shù)量之間關(guān)系的基本方法，能夠畫出圖，或者填入表格里的都是經(jīng)過篩選后的重要信息和有用數(shù)據(jù)，實(shí)際問題里的許多情節(jié)性內(nèi)容都被過濾掉了，在這個(gè)

7、過程中可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維1。 再如，數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特點(diǎn)是:數(shù)學(xué)家很善于使用化歸(轉(zhuǎn)化)的方法去解決問題。也就是說，在解決問題時(shí)，數(shù)學(xué)家往往不是對問題進(jìn)行直接的解決，而是對此進(jìn)行變形、使之轉(zhuǎn)化，直到最終把它轉(zhuǎn)化成了某個(gè)(或某些)已經(jīng)解決的問題2。因此蘇教版有專門的轉(zhuǎn)化策略的單元，人教版在數(shù)學(xué)廣角里也多次有滲透的轉(zhuǎn)化思想。此外還有假設(shè)法、替換法以及等量代換其實(shí)就是代數(shù)思維的啟蒙，是進(jìn)入中學(xué)階段代數(shù)思維的基礎(chǔ)。 (2)不同點(diǎn) 從縱向看:人教版“數(shù)學(xué)廣角和找規(guī)律”從一年級(jí)到六年級(jí)都有所涉及，其中找規(guī)律的專題穿插一下，二上、三上和五年級(jí)。這樣安排的特點(diǎn)是從低段形象具體思維逐步過渡到高段抽象思維，

8、使數(shù)學(xué)思想方法的滲透呈螺旋上升結(jié)構(gòu)，逐步深入。例如:植樹問題是以“圖形中的規(guī)律”為基礎(chǔ)，三上的搭配中的規(guī)律是以二上“簡單的排列”為基礎(chǔ)，而二下的數(shù)列和圖形中的規(guī)律又是建立在一下找規(guī)律的基礎(chǔ)上的，五下數(shù)學(xué)廣角“找次品”中的優(yōu)化思想是四上運(yùn)籌問題中優(yōu)化思想的進(jìn)一步深化發(fā)展。另外等量代換思想和假設(shè)思想又是中學(xué)代數(shù)思想的雛形等等。 而蘇教版“解決問題的策略”和“找規(guī)律”專題的內(nèi)容安排都是從四年級(jí)上冊開始安排的，其中解決問題的策略從四上到六下每冊一個(gè)專題，四到五年級(jí)是技術(shù)、技巧性策略，如列表、畫圖、一一列舉、倒推，六年級(jí)是比較上位的策略，如假設(shè)、轉(zhuǎn)化，而“找規(guī)律”的安排是從四上到五下每冊一個(gè)專題。 兩個(gè)

9、版本在專題數(shù)量上的安排總得來說差不多，并且都是按照螺旋上升的結(jié)構(gòu)安排的，但是在安排的具體年級(jí)段上有很明顯的不同，這是因?yàn)?人教版是從滲透數(shù)學(xué)思想的系統(tǒng)性來安排的，因此每冊都安排一個(gè)專題，專題之間的關(guān)聯(lián)性較大。而蘇教版考慮到小學(xué)生的元認(rèn)知水平和邏輯思維在中高段發(fā)展較快，能對自己的認(rèn)知策略進(jìn)行調(diào)控，因此才從四年級(jí)起將平常解決問題時(shí)所用到的策略和找規(guī)律的方法進(jìn)行歸納和提煉。然而雖然蘇教版在低段也有相關(guān)內(nèi)容的分散編排，但是可能不易引起教師和學(xué)生的重視。國際數(shù)學(xué)課程發(fā)展的趨勢也表明，對變化規(guī)律、模式的探索和描述應(yīng)從低年級(jí)非正式地開始，早期對變化規(guī)律的豐富經(jīng)歷是十分重要的。 從橫向看:人教版的“數(shù)學(xué)廣角和

10、找規(guī)律”的思維含量和深度相對而言，在一定程度上要高于蘇教版的“解決問題的策略和找規(guī)律”。蘇教版的“解決問題的策略”的內(nèi)容是比較基礎(chǔ)的，并且每次都是側(cè)重一種方法策略，找規(guī)律也是比較直觀內(nèi)容的圖形規(guī)律探索。人教版在低段主要還是一些比較基本和常見的思想方法，如有序的思考，數(shù)形結(jié)合，等量代換，集合思想，并且都是比較直觀的內(nèi)容。到了高段，人教版的“數(shù)學(xué)廣角和找規(guī)律”側(cè)重于介紹與一般常見的解決問題不同的數(shù)學(xué)思想方法，其中的思維含量比蘇教版的“解決問題和找規(guī)律”更高，其中有拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)視野的如田忌賽馬策略，而有些則脫胎于傳統(tǒng)的奧數(shù)內(nèi)容，如雞兔同籠、抽屜原理、找次品，這些往往需要較強(qiáng)的縝密思考和邏輯思維才能正

11、確的解決，并且都要同時(shí)運(yùn)用多種方法策略，如列表、畫圖、一一列舉、轉(zhuǎn)化等。三、問題解決內(nèi)容編排特點(diǎn) 內(nèi)容編排是指某一具體內(nèi)容在教材中的編寫和安排方式，主要側(cè)重于內(nèi)容的設(shè)計(jì)。為了更好地反映出不同版本教材在內(nèi)容安排上的風(fēng)格，本文選取兩個(gè)版本中的共同內(nèi)容:以人教版四下數(shù)學(xué)廣角(圖4)和蘇教版四上“找規(guī)律”(圖5)為例，兩者都是探討間隔數(shù)與端點(diǎn)數(shù)的數(shù)量關(guān)系以及在生活中的應(yīng)用，來進(jìn)行內(nèi)容安排上的比較分析。圖4 人教版四下“數(shù)學(xué)廣角” 人教版:例1討論的是在校園里的一條小路一邊植樹，需要多少棵樹苗的問題，這是關(guān)于一條線段的植樹問題。教材用四幅圖來呈現(xiàn)學(xué)生探索解決問題的討論過程。先是一個(gè)男孩說出可能的答案:1

12、00 5=20，所以要準(zhǔn)備20裸樹苗。”接著一個(gè)女孩問:“對嗎?”來引發(fā)學(xué)生思考。接下來呈現(xiàn)了解決問題常用的方法一一從簡單的情況入手解決復(fù)雜的問題。這里采用的是畫線段圖的方式，緊接現(xiàn)規(guī)律，然后教材要求應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決前面的植樹問題。最后教材通過小精靈的問題“你是怎么想的?”鼓勵(lì)學(xué)生還有什么其他的方法來檢驗(yàn)，保護(hù)學(xué)生獨(dú)立思考的能力，體現(xiàn)算法多樣化。在第二部分，教材的例2討論的是兩端都不植樹的情況，由于有了例1的探究過程，教材沒有給出探究方法的提示，僅用小精靈提示“可是小路兩端是”，并提供了部分空白的算式，讓學(xué)生圖5 蘇教版四上找規(guī)律蘇教版:與人教版不同，在教學(xué)傳統(tǒng)的植樹問題內(nèi)容之前，先在本單

13、元的第一部分教材中提供了豐富的素材，突出了多樣的“找”規(guī)律的探究活動(dòng)，把學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)成三個(gè)層次:第一，觀察若干個(gè)具體現(xiàn)象，體會(huì)它們的相同特點(diǎn)，初步感受間隔規(guī)律;第二，擺學(xué)具，體會(huì)規(guī)律的必然性。先讓學(xué)生理解問題具體的一面，數(shù)數(shù)根數(shù)與個(gè)數(shù)，看看有什么關(guān)系，再通過“這些關(guān)系與前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律一致嗎”這個(gè)問題，讓學(xué)生體會(huì)這兩題抽象的一面。這樣，學(xué)生就經(jīng)歷了從感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)上升的過程，這時(shí)他們對規(guī)律的認(rèn)識(shí)已具有普遍意義。第三，發(fā)展數(shù)學(xué)的眼光。第48頁“想一想”讓學(xué)生到生活中尋找有這樣規(guī)律的其他事例。在第二部分中，例題2緊接著上個(gè)例題的情境，設(shè)置兔子排隊(duì)的問題，并且都配有具體的表征題目數(shù)量關(guān)系的圖片，通

14、過問題串啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生自主探究，運(yùn)用自己喜歡的算法，然后再小組交流。接著在練習(xí)中又通過做操、放花盆的生活情境，讓學(xué)生充分體會(huì)與間隔現(xiàn)象有關(guān)的實(shí)際問題是多樣的，更深地體會(huì)到間隔現(xiàn)象的普遍規(guī)律，建立有關(guān)植樹問題的數(shù)學(xué)模型。綜上所述，兩個(gè)版本在“植樹問題”上的內(nèi)容安排有以下相同點(diǎn)和不同點(diǎn):(1)相同點(diǎn)展現(xiàn)了知識(shí)的產(chǎn)生和應(yīng)用過程，體現(xiàn)科學(xué)合理的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式教材對教學(xué)內(nèi)容按照:情境引入(啟發(fā)思考)一一自主探索(合作學(xué)習(xí))一一反思交流一一建立模型(內(nèi)化、整理)一一綜合運(yùn)用(解決問題)基本模式進(jìn)行編排，即創(chuàng)設(shè)一個(gè)含有數(shù)學(xué)問題的、學(xué)生熟，悉并喜聞樂見的生活情境，通過觀察、動(dòng)手實(shí)踐、探索、交流等活動(dòng)逐步建

15、立這一問題的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用這一模型去解釋現(xiàn)象，去解決一些簡單的實(shí)際問題。體現(xiàn)了算法多樣化的要求標(biāo)準(zhǔn)中提倡“算法多樣化”，算法多樣化是不同的人對數(shù)學(xué)理解的個(gè)性化表現(xiàn)，也是解決問題策略多樣化的一種重要體現(xiàn)。鼓勵(lì)算法多樣化不是學(xué)習(xí)多種算法，而是尊重學(xué)生個(gè)性化的算法。把重視算法多樣化體現(xiàn)在學(xué)生個(gè)性化的解決問題方法的交流、分享活動(dòng)中。因此，兩個(gè)版本的教材鼓勵(lì)學(xué)生“用自己的方法算”，并在小組內(nèi)展示不同的算法。(2)不同點(diǎn)在引入新知前:蘇教版教材中提供了多樣的找規(guī)律的觀察材料，使學(xué)生在頭腦中形成了豐富的相關(guān)數(shù)量關(guān)系的表象積累，而人教版教材只是呈現(xiàn)一幅種樹的畫面，并且和題目的數(shù)量關(guān)系沒有直接的表征關(guān)系。在

16、探究新知時(shí):人教版教材由于之前缺乏表象的積累，然后又有小精靈直接給出解決問題的方法:畫線段圖和算式。雖然也是啟發(fā)，但學(xué)生較難自己動(dòng)手實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，顯得探究性少些，還是有些灌輸?shù)暮圹E;蘇教版則是通過問題串的形式來啟發(fā)學(xué)生思考。在練習(xí)題上:人教版練習(xí)題無論是數(shù)量還是難度都要大于蘇教版的。人教版后面的練習(xí)題有11個(gè)，蘇教版是6個(gè)，此外人教版的動(dòng)腦筋題則比較抽象和復(fù)雜，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的層次性，而蘇教版是從五年級(jí)才開始安排的，這點(diǎn)也與前面的素材來源里的數(shù)據(jù)和編排體系的橫向比較的結(jié)論是也是一致的。根據(jù)奧蘇泊爾的先行組織者策略，在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前，有目的地先讓學(xué)生學(xué)習(xí)一些和所學(xué)新知識(shí)有實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的引導(dǎo)性材料，使學(xué)

17、生很快建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，促成有意義的學(xué)習(xí)。對于形象具體思維為主的小學(xué)生來說，先行組織者往往是抽象性、概括性和包攝性水平方面低于學(xué)習(xí)材料的?？梢娞K教版在引入新知時(shí)能很好地運(yùn)用先行組織者來促進(jìn)學(xué)生有意義的學(xué)習(xí)。雖然以上案例的比較是一個(gè)特例，但是在某種程度上也反映了兩個(gè)版本該版塊在內(nèi)容安排上存在的部分差異:人教版教材大多比較快的就引入新知，然后直接就過渡到解決的方法，并且解決問題的算式很多時(shí)候由課本直接提供，不需要學(xué)生太多的思考得出，而蘇教版的內(nèi)容安排有層次，運(yùn)用先行組織者策略，從簡單具體形象的材料和問題來入手來引入新知，并大都以問題串的形式來啟發(fā)學(xué)生思考;蘇教版在練習(xí)題上更加精簡，人教版則更

18、強(qiáng)調(diào)變式練習(xí)和層次性。四、問題解決內(nèi)容編排建議 (一)適當(dāng)降低部分內(nèi)容的難度通過比較我們也發(fā)現(xiàn)兩個(gè)版本的數(shù)學(xué)教科書都存在把原本奧數(shù)課本中的內(nèi)容遷入當(dāng)前教科書的痕跡，人教版的“數(shù)學(xué)廣角”和蘇教版的“解決問題的策略”單元內(nèi)容中有諸如植樹問題、雞兔同籠問題、抽屜原理等內(nèi)容，而這些內(nèi)容在各個(gè)版本的奧數(shù)教科書中都是作為獨(dú)立章節(jié)單獨(dú)組織學(xué)習(xí)的內(nèi)容，這些內(nèi)容在以前的數(shù)學(xué)教科書中是沒有的，從教學(xué)實(shí)踐的實(shí)際情況來看，這部分內(nèi)容在問題解決的方法上或者步驟上都顯示出繁、難這些特點(diǎn)，超出當(dāng)前學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，同時(shí)也和課程改革去除繁、難、舊這一指導(dǎo)思想不符，因此，建議在教科書中將這些內(nèi)容刪去或降低難度。 (二)將部分問題解決的數(shù)學(xué)模型顯性化 小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中有兩種數(shù)學(xué)模型最常見，一種是經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)類的數(shù)學(xué)模型，如利率、折扣等方而的計(jì)算時(shí)比較常見的數(shù)學(xué)模型，但是最基礎(chǔ)的模型是反應(yīng)單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)這三者之間關(guān)系的模型;另一種是運(yùn)動(dòng)事物的數(shù)學(xué)模型，如行程問題中的速度、時(shí)間和路程三者之間關(guān)系的建立。在當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中這兩個(gè)最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型在教科書中都屬于滲透型的，如蘇教版教科書中最早呈