數(shù)據(jù)分布特征的描述

1、.,1,數(shù)據(jù)分布特征的描述,.,2,第一節(jié) 統(tǒng)計(jì)變量集中趨勢(shì)的測(cè)定 第二節(jié) 統(tǒng)計(jì)變量離散趨勢(shì)的測(cè)定 第三節(jié) 變量分布的偏度與峰度,目錄,.,3,分類 分組 整理 圖示,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),尋找 反映數(shù)據(jù)分布特征的代表值： 集中趨勢(shì)；離散程度；形狀。,對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序、分組、整理、圖示，是對(duì)數(shù)據(jù)的分布特征進(jìn)行描述的一個(gè)基本方面，為進(jìn)一步掌握數(shù)據(jù)的分布特征及其變化規(guī)律，以進(jìn)行深入的分析，還需找出反映數(shù)據(jù)分布特征的各個(gè)代表值。 統(tǒng)計(jì)學(xué)中主要從以下三方面刻劃數(shù)據(jù)分布特征：數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)；數(shù)據(jù)分布的離散程度；數(shù)據(jù)分布的形狀。,.,4,數(shù)據(jù)分布的特征,.,5,數(shù)據(jù)分布特征和適用的描述統(tǒng)計(jì)量,.,6,一、測(cè)定集

2、中趨勢(shì)的指標(biāo)及其作用 二、數(shù)值平均數(shù) 三、眾數(shù)與中位數(shù),第一節(jié) 統(tǒng)計(jì)變量集中趨勢(shì)的測(cè)定,.,7,一、測(cè)定集中趨勢(shì)的指標(biāo)及其作用,集中趨勢(shì)：（central tendency） 較大和較小的觀測(cè)值出現(xiàn)的頻率比較低，大多數(shù)觀測(cè)值密集分布在中心附近，使得全部數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出向中心聚集或靠攏的態(tài)勢(shì)。,.,8,測(cè)度數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的指標(biāo)分類,測(cè)度集中趨勢(shì)的指標(biāo)有兩大類： 數(shù)值平均數(shù)是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算得到的代表值，主要有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)及幾何平均數(shù)； 位置代表值根據(jù)數(shù)據(jù)所處位置直接觀察、或根據(jù)與特定位置有關(guān)的部分?jǐn)?shù)據(jù)來(lái)確定的代表值，主要有眾數(shù)和中位數(shù)。,.,9,測(cè)定集中趨勢(shì)指標(biāo)的作用,1反映變量分布的集中趨勢(shì)

3、和一般水平。 如用平均工資了解職工工資分布的中心，反映職工工資的一般水平。 2可用來(lái)比較同一現(xiàn)象在不同空間或不同階段的發(fā)展水平。 不受總體規(guī)模大小的影響， 在一定程度上使偶然因素的影響相互抵消。 3可用來(lái)分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。 如研究勞動(dòng)者的文化程度與收入的關(guān)系 4平均指標(biāo)也是統(tǒng)計(jì)推斷中的一個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量，是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。,.,10,二、數(shù)值平均數(shù),.,11,（一）算術(shù)平均數(shù),算術(shù)平均數(shù)是計(jì)算平均指標(biāo)最常用的方法，其基本公式是： 分子、分母的口徑及包含的內(nèi)容應(yīng)嚴(yán)格一致，即各標(biāo)志值與各單位之間必須一一對(duì)應(yīng)。 例：計(jì)算某企業(yè)職工平均工資，是該企業(yè)所有職工工資總額除以職工總?cè)藬?shù)所得。如工資總額

4、150000元，總?cè)藬?shù)300人，平均工資500元。,.,12,1、簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù),計(jì)算公式： 其中： 代表算術(shù)平均數(shù)，xi代表各單位標(biāo)志值（變量值），n代表總體單位數(shù)（項(xiàng)數(shù)）。 適用條件： 原始資料（或資料未分組）； 各變量出現(xiàn)次數(shù)相等的情況下應(yīng)用；,.,13,表3-1,解：采用簡(jiǎn)單算術(shù)平均法計(jì)算，即全體隊(duì)員的平均年齡為（單位：周歲）,分組數(shù)據(jù)不能簡(jiǎn)單平均！因?yàn)楦鹘M變量值的次數(shù)不等！若采用簡(jiǎn)單平均：,表3-2,.,14,2、加權(quán)算術(shù)平均數(shù),計(jì)算公式： 加權(quán)為了體現(xiàn)各變量值輕重不同的影響作用，對(duì)各個(gè)變量值賦予不盡相同的權(quán)數(shù)（ fi ） 其中： 代表算術(shù)平均數(shù)，x 代表各單位標(biāo)志值（變量值），f

5、代表各組單位數(shù)（項(xiàng)數(shù)）。,.,15,權(quán)數(shù)的含義和表現(xiàn)形式,權(quán)數(shù)（fi）也稱權(quán)重，計(jì)算總體平均數(shù)或綜合水平的過(guò)程中對(duì)各個(gè)數(shù)據(jù)起著權(quán)衡輕重作用的變量。 權(quán)數(shù)的表現(xiàn)形式：可以是絕對(duì)數(shù)形式，也可以是比重形式（如頻率）來(lái)表示： 事實(shí)上比重權(quán)數(shù)更能夠直接表明權(quán)數(shù)的權(quán)衡輕重作用的實(shí)質(zhì)。,.,16,加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就成了簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)，也就是說(shuō)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的一種特殊形式。,當(dāng)權(quán)數(shù)完全相等時(shí),.,17,例3-1正確的計(jì)算是：,由單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù)可直接用加權(quán)算術(shù)平均法進(jìn)行計(jì)算。,.,18,【例3.】根據(jù)表3-中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50 名工人日加工零件數(shù)的均值,.,19,權(quán)數(shù)對(duì)算術(shù)平均數(shù)的影響,加權(quán)

6、算術(shù)平均數(shù)其數(shù)值的大小，不僅受各組變量值大小的影響，而且受各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)即權(quán)數(shù)大小的影響。如果某一組的權(quán)數(shù)大，說(shuō)明該組的數(shù)據(jù)較多，那么該組數(shù)據(jù)的大小對(duì)算術(shù)平均數(shù)的影響就越大，反之，則越小。,.,20,甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績(jī)及其分布數(shù)據(jù)如下： 甲組： 考試成績(jī)（X ）: 0 20 100 人數(shù)分布（F ）：1 1 8 乙組： 考試成績(jī)（X ）: 0 20 100 人數(shù)分布（F ）：8 1 1,.,21,3、由組距數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù),在組距分組的情況下，由于各組的組限只表明各組標(biāo)志值的上下界限，因此由組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)時(shí)，必須先計(jì)算各組的組中值，以組中值代表該組標(biāo)志值

7、，然后再計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。,各組變量值用組中值來(lái)表示； 假定條件是各組內(nèi)數(shù)據(jù)呈均勻分布或?qū)ΨQ分布； 計(jì)算結(jié)果是近似值。,.,22,某批次節(jié)能燈泡使用壽命的分組數(shù)據(jù),.,23,4、對(duì)相對(duì)數(shù)求算術(shù)平均數(shù),由于各個(gè)相對(duì)數(shù)的對(duì)比基礎(chǔ)不同，采用簡(jiǎn)單算術(shù)平均通常不合理，需要加權(quán)。,權(quán)數(shù)的選擇必須符合該相對(duì)數(shù)本身的計(jì)算公式。 權(quán)數(shù)通常為該相對(duì)數(shù)的分母指標(biāo)。,.,24,5、算術(shù)平均數(shù)的主要數(shù)學(xué)性質(zhì),（1）算術(shù)平均數(shù)與變量值個(gè)數(shù)的乘積等于各個(gè)變量值的總和。,（2）各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之總和等于零。,（3）各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方之總和為最小。,.,25,（二）調(diào)和平均數(shù),概念：調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平

8、均數(shù)，是變量倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。 公式： A.簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù),B.加權(quán)調(diào)和平均數(shù),式中：M各組的標(biāo)志總量；X各組的標(biāo)志值。,.,26,應(yīng)用調(diào)和平均數(shù)應(yīng)注意問(wèn)題,1、變量x的值不能為0。 2、調(diào)和平均數(shù)易受極端值的影響。 3、要注意其運(yùn)用的條件。（已知各組的標(biāo)志總量和標(biāo)志值，而權(quán)數(shù)未知）,.,27,例 題,例 水果甲級(jí)每元1公斤，乙級(jí)每元1.5公斤，丙級(jí)每元2公斤。問(wèn)： （1）若各買1公斤，平均每元可買多少公斤？ （2）各買6.5公斤，平均每元可買多少公斤？ （3）若買甲級(jí)3公斤，乙級(jí)2公斤，丙級(jí)1公斤，平均每元可買幾公斤？ （4）甲乙丙三級(jí)各買1元，每元可買幾公斤？,.,28,解答：,（1

9、） （2） （3） （4）,.,29,算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系,1.從數(shù)學(xué)定義角度看算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)是不一樣的，但在社會(huì)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用領(lǐng)域，調(diào)和平均數(shù)實(shí)際上只是算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)形式，二者本質(zhì)上是一致的，惟一的區(qū)別是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù)。 2.計(jì)算比率的平均數(shù)時(shí)，如果已知比率及其基本計(jì)算式的分母資料，則采用加權(quán)算術(shù)平均法；如果已知比率及其基本計(jì)算式的分子資料，則采用加權(quán)調(diào)和平均法。,.,30,例 自行車賽時(shí)速：甲30公里，乙28公里，丙20公里，全程200公里，問(wèn)三人平均時(shí)速是多少？若甲乙丙三人各騎車2小時(shí)，平均時(shí)速是多少？,.,31,（三）幾何平均數(shù),概念：幾何平均數(shù)是n個(gè)變量連乘

10、積的n次根。 適用于現(xiàn)象各變量值的連乘積等于總體標(biāo)志總量的場(chǎng)合，是計(jì)算平均比率和平均速度常用的一種方法。如：銀行平均利率、各年平均發(fā)展速度、產(chǎn)品平均合格率等 計(jì)算公式： （1）簡(jiǎn)單幾何平均數(shù) （2）加權(quán)幾何平均數(shù),.,32,應(yīng)注意的問(wèn)題,1、變量數(shù)列中任何一個(gè)變量值不能為0，一個(gè)為0，則幾何平均數(shù)為0。 2、幾何平均法主要用于動(dòng)態(tài)平均數(shù)的計(jì)算。 3、實(shí)際統(tǒng)計(jì)中，為了計(jì)算上的方便，通常利用對(duì)數(shù)。,.,33,【例3.8】一位投資者持有一種股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分別為4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。計(jì)算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率。,平均收益率103.8

11、4%-1=3.84%,.,34,三、眾數(shù)與中位數(shù),（一）眾數(shù)（Mode),1.概念：眾數(shù)是指變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多或頻率最大的變量值。 2.適用條件：只有集中趨勢(shì)明顯時(shí)，才能用眾數(shù)作為總體的代表值。,.,35,3.眾數(shù)的計(jì)算方法：,（1）單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)，即出現(xiàn)次數(shù)最多（頻率最大）的標(biāo)志值就是眾數(shù)。 （2）組距數(shù)列確定眾數(shù)：在等距數(shù)列條件下，先確定眾數(shù)組，然后再通過(guò)公式進(jìn)行具體計(jì)算，找出眾數(shù)點(diǎn)的標(biāo)志值。,.,36,定類數(shù)據(jù)眾數(shù)的確定,【例3.1】根據(jù)表3-1中的數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)。,解：這里的變量為“廣告類型”，這是個(gè)定類變量，不同類型的廣告就是變量值。我們看到，在所調(diào)查的200人當(dāng)中，關(guān)注商品廣

12、告的人數(shù)最多，為112人，占總被調(diào)查人數(shù)的56%，因此眾數(shù)為“商品廣告”這一類別，即 Mo商品廣告,.,37,定序數(shù)據(jù)眾數(shù)的確定,【例3.2】根據(jù)表3-2中的數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)。,解：這里的數(shù)據(jù)為定序數(shù)據(jù)。變量為“回答類別”。甲城市中對(duì)住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即 Mo不滿意,.,38,4.計(jì)算公式：,公式1（下限公式）：用眾數(shù)所在組的下限為起點(diǎn)值計(jì)算 公式2（上限公式）：用眾數(shù)所在組的上限為起點(diǎn)值計(jì)算 U為眾數(shù)所在組組距的上限，L為眾數(shù)所在組組距的下限， 為眾數(shù)組的上限， 為眾數(shù)組次數(shù)與前一組次數(shù)之差， 為眾數(shù)組與后一組之差，i 為眾數(shù)組的組距。,.,3

13、9,數(shù)值型分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的確定,【例3.3】根據(jù)表3-3中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù),.,40,（二）中位數(shù),1、概念：將總體單位的某一數(shù)量標(biāo)志的各個(gè)數(shù)值按照大小順序排列，居于中間位置的那個(gè)數(shù)值就是中位數(shù)。 中位數(shù)是位置平均數(shù)，它不受極端值的影響，在具有個(gè)別極大或極小標(biāo)志值的分布數(shù)列中，中位數(shù)比計(jì)算算術(shù)平均數(shù)更具有代表性； 從中位數(shù)的概念可以看出，總體中有一半項(xiàng)目的數(shù)值小于中位數(shù)，一半項(xiàng)目的數(shù)值大于中位數(shù)。,.,41,2、計(jì)算方法： （1）由未分組資料確定中位數(shù) 排序：按大小順序排序（某一標(biāo)志值） 確定中位數(shù)位置 計(jì)算（確定）中位數(shù)數(shù)值：分兩種： 奇數(shù)：中間位置的標(biāo)志值為中位數(shù)。

14、偶數(shù)：中間位置相鄰兩個(gè)變量值的簡(jiǎn)單平均數(shù)是中位數(shù)。,.,42,某組學(xué)生考試成績(jī)（8人）：72，75，78，79，81，82，84，90 則 若9人，成績(jī)分別為：72，73，75，78，79，81，82，84，90 則,.,43,（2）由分組資料確定中位數(shù),第一步：確定中位數(shù)所處位置，按 確定（f為次數(shù)）。 第二步：確定中位數(shù)組： 第三步：采用公式計(jì)算 下限法：用“向上累計(jì)”法確定中位數(shù)。 上限法：用“向下累計(jì)”法確定中位數(shù)。 其中：U是中位數(shù)所在組的上限，L是中位數(shù)所在組的下限，fm是中位數(shù)所在組的次數(shù)，Sm+1是中位數(shù)所在組后面各組累計(jì)次數(shù)，Sm-1是中位數(shù)所在組前面各組累計(jì)次數(shù)，i是中位數(shù)

15、所在組的組距。,.,44,例 現(xiàn)檢測(cè)某廠生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時(shí)間，得到資料如下表所示：,.,45,.,46,分位數(shù),二分位數(shù)（中位數(shù)）、四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)等。其中主要有四分位數(shù)。 排 位 處于 25%和75%位置上的值即 四分位數(shù),不受極端值的影響 要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)（各種分位數(shù)可由spss計(jì)算）,.,47,四分位數(shù)的位置,未分組數(shù)據(jù)：,組距分組數(shù)據(jù)：,.,48,數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù),原始數(shù)據(jù): 23 21 30 32 28 25 26,QL= 23,QU = 30,.,49,數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (6個(gè)（N+1不能被4整除）數(shù)據(jù)的

16、算例),原始數(shù)據(jù): 23 21 30 28 25 26 排 序: 21 23 25 26 28 30 位 置: 1234 5 6,QL= 21+0.75(23-21) = 22. 5,QU = 28+0.25(30-28) = 28.5,.,50,數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)(計(jì)算公式),上四分位數(shù):,下四分位數(shù):,.,51,數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)(計(jì)算示例),QL位置50/412.5,QU位置350/437.5,【例】根據(jù)表3-5中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的四分位數(shù),.,52,（三）眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均值的比較,1算術(shù)平均數(shù)。 算術(shù)平均數(shù)應(yīng)用范圍最廣。 易受極端值的影響。 當(dāng)分布數(shù)

17、列中存在開(kāi)口組時(shí)，會(huì)影響平均數(shù)的準(zhǔn)確性。 算術(shù)平均數(shù)適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。,.,53,2調(diào)和平均數(shù) 適用于計(jì)算比率的平均數(shù)。 它容易受極端值的影響，數(shù)列中只要有一個(gè)變量值為零，則不能計(jì)算調(diào)和平均數(shù)，故其應(yīng)用范圍受到限制。 調(diào)和平均數(shù)適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。,.,54,3幾何平均數(shù) 適用于各比率連乘積等于總比率的條件下計(jì)算比率的平均數(shù)。 數(shù)列中若有一項(xiàng)為零或負(fù)數(shù)，計(jì)算幾何平均數(shù)無(wú)意義，應(yīng)用范圍較小。 幾何平均數(shù)適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。,.,55,4眾數(shù) 眾數(shù)的意義易于理解，有時(shí)容易計(jì)算，且不受極端值的影響。 當(dāng)數(shù)據(jù)分布沒(méi)有明顯的集中趨勢(shì)而趨于均勻分布時(shí)，則無(wú)眾數(shù)可言；對(duì)不等距分布數(shù)列，眾數(shù)不易確定。 當(dāng)分布數(shù)列

18、中出現(xiàn)雙眾數(shù)或多眾數(shù)時(shí)，難以反映所有數(shù)據(jù)的一般水平。 變量值的變化反映不靈敏。 眾數(shù)適用于分類數(shù)據(jù)、順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)。,.,56,5中位數(shù) 中位數(shù)不受極端值的影響。 當(dāng)分布數(shù)列中存在極端值或組距數(shù)列中存在開(kāi)口組時(shí)，計(jì)算中位數(shù)比較好。 中位數(shù)缺乏靈敏性，沒(méi)有算術(shù)平均數(shù)可靠，且不易用代數(shù)方法計(jì)算。 中位數(shù)適用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)。,.,57,右偏分布,眾數(shù),中位數(shù),均值,對(duì)何種數(shù)據(jù)而言的？,均值=中位數(shù)=眾數(shù),均值中位數(shù)眾數(shù),均值中位數(shù)眾數(shù),.,58,（一）算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)三者的關(guān)系 （二）算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)三者的關(guān)系 1、當(dāng)總體分布成對(duì)稱狀態(tài)時(shí)，三者合而為一。 2、

19、當(dāng)總體分布呈右偏時(shí)，則 3、當(dāng)總體分布呈左偏時(shí)，則,.,59,當(dāng)分布偏態(tài)時(shí)，三者之間的數(shù)量關(guān)系是： 若 則說(shuō)明分布右偏 若 則說(shuō)明分布左偏 若 則說(shuō)明分布對(duì)稱,.,60,第二節(jié) 統(tǒng)計(jì)變量離散程度的測(cè)定,對(duì)數(shù)據(jù)分布特征的另一個(gè)測(cè)度指標(biāo)是數(shù)據(jù)分布離散程度。 它反映各數(shù)據(jù)遠(yuǎn)離其中心值的程度，因此，也稱離中趨勢(shì)。 集中趨勢(shì)反映的是各變量值向其中心值聚集的程度， 離中趨勢(shì)反映各變量值之間的差異狀況。 注意： 集中趨勢(shì)的測(cè)度值概括地反映了數(shù)據(jù)的一般水平，它對(duì)該組數(shù)據(jù)的代表程度，取決于該組數(shù)據(jù)的離散水平。 數(shù)據(jù)的離散程度越大，集中趨勢(shì)的測(cè)度值對(duì)該組數(shù)據(jù)的代表性就越差。,.,61,測(cè)度離散程度的指標(biāo)稱為變異指

20、標(biāo)。,變異指標(biāo)的主要作用：,1.說(shuō)明數(shù)據(jù)的分散程度，反映變量的穩(wěn)定性、均衡性。 數(shù)據(jù)之間差異越大，變量的穩(wěn)定性或均衡性越差。 2.衡量平均數(shù)的代表性。 離散程度越大，平均數(shù)的代表性就越小。 3. 統(tǒng)計(jì)推斷的重要依據(jù) 判別統(tǒng)計(jì)推斷前提條件是否成立， 衡量推斷效果好壞的重要尺度。,.,62,離散程度的測(cè)度指標(biāo),分類數(shù)據(jù)：異眾比率（variation ratio） 順序數(shù)據(jù)：四分位差（quartile range ） 數(shù)值型數(shù)據(jù)： 極差（ range ） 平均差（mean deviation） 方差和標(biāo)準(zhǔn)差（ Variance and standard deviation） 相對(duì)位置的度量：標(biāo)準(zhǔn)化值

21、（ standard score） 相對(duì)離散程度：離散系數(shù)（ Coefficient of Variation ）,.,63,極差,1.一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差 2.易受極端值影響,未分組數(shù)據(jù) R = max(Xi) - min(Xi),3.計(jì)算公式為,.,64,四分位差,對(duì)順序數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度 也稱為內(nèi)距或四分間距 上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差 反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度 用于衡量中位數(shù)的代表性,.,65,定序數(shù)據(jù)的算例,【例3.13】根據(jù)第三章表3-13中的數(shù)據(jù)，計(jì)算甲城市家庭對(duì)住房滿意狀況評(píng)價(jià)的四分位差,解：設(shè)非常不滿意為1,不滿意為2, 一般為3, 滿意為 4, 非常滿意為5

22、已知 QL = 不滿意 = 2 QU = 一般 = 3 四分位差： QD = QU = QL = 3 2 = 1,.,66,數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位差,【例3.12-2】根據(jù)表3-12中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50 名工人日加工零件數(shù)的四分位差。,.,67,平均差,1. 離散程度的測(cè)度值之一 2. 各變量值與其均值離差絕對(duì)值的平均數(shù) 3. 能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度 4. 數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實(shí)際中應(yīng)用較少,計(jì)算公式為,未分組數(shù)據(jù),組距分組數(shù)據(jù),.,68,算例,【例3.14】根據(jù)第三章表3-14中的數(shù)據(jù)，計(jì)算工人日加工零件數(shù)的平均差,.,69,方差和標(biāo)準(zhǔn)差,1. 離散程度的測(cè)度值之一 2. 最常用的測(cè)度值 3.

23、 反映了數(shù)據(jù)的分布 4. 反映了各變量值與均值的平均差異 5. 根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差,.,70,總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差(計(jì)算公式),未分組數(shù)據(jù)：,組距分組數(shù)據(jù)：,標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式,.,71,總體標(biāo)準(zhǔn)差（計(jì)算過(guò)程及結(jié)果）,【例3.15】根據(jù)第三章表3-15中的數(shù)據(jù)，計(jì)算工人日加工零件數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差,.,72,方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì),(3)分組條件下，總體的方差等于組間方差與各組方差平均數(shù)之和。,(1)常數(shù)的方差等于零。a為常數(shù),則 (2)變量的線性函數(shù)的方差等于變量系數(shù)的平方乘以變量的方差。設(shè)a,b為常數(shù)，y=a+bx，則有：,組間方差,各組方差平

24、均數(shù),.,73,標(biāo)準(zhǔn)化值,1）對(duì)某一個(gè)值在一組數(shù)據(jù)中相對(duì)位置的度量 2）可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn) 3）用于對(duì)變量的標(biāo)準(zhǔn)化處理 4）計(jì)算公式為,.,74,注意： z分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換，它并沒(méi)有改變一個(gè)數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的位置，也沒(méi)有改變?cè)摻M數(shù)據(jù)分布的形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?，標(biāo)準(zhǔn)差為1。,.,75,算例,假定某班學(xué)生先后兩個(gè)兩次進(jìn)行了難度不同的綜合考試，第一次考試成績(jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為80分和10分，而第二次考試成績(jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為70分和7分。張三第一、二次考試的成績(jī)分別為92分和80分，那么全班相比較而言，他哪一次考試的成績(jī)更好呢？,解：由于兩次考試成績(jī)的均

25、值和標(biāo)準(zhǔn)差不同，每個(gè)學(xué)生兩次考試的成績(jī)不宜直接比較。 利用標(biāo)準(zhǔn)化值進(jìn)行對(duì)比，表明第二次考試的成績(jī)更好一些。,.,76,離散系數(shù),1.標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比 2.消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量單位的影響 3.測(cè)度了數(shù)據(jù)的相對(duì)離散程度 4.用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較 5. 計(jì)算公式為,.,77,全距、四分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差都是絕對(duì)指標(biāo)，都與平均指標(biāo)有相同的計(jì)量單位。 不宜直接來(lái)比較不同水平數(shù)列之間的標(biāo)志離散程度。 離散系數(shù)也稱為標(biāo)志變動(dòng)系數(shù)。最常用的是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差與算術(shù)平均數(shù)對(duì)比的離散系數(shù)，稱作“標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)”。,.,78,例如： 有兩個(gè)不同水平的工人日產(chǎn)量（件）資料： 甲組：60，65，70，7

26、5，80 乙組：2，5，7，9，12 由此計(jì)算得： 計(jì)算其離散系數(shù)來(lái)比較：,.,79,算例,【例】某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)如表4.7。試比較產(chǎn)品銷售額與銷售利潤(rùn)的離散程度,.,80,結(jié)論： 計(jì)算結(jié)果表明，V1V2，說(shuō)明產(chǎn)品銷售額的離散程度小于銷售利潤(rùn)的離散程度,.,81,異眾比率,1.離散程度的測(cè)度值之一 2.非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率 3.用于衡量眾數(shù)的代表性,4. 計(jì)算公式為,.,82,算例,【例3.10】根據(jù)第三章表3-10中的數(shù)據(jù)，計(jì)算異眾比率,.,83,數(shù)據(jù)類型與離散程度測(cè)度值,.,84,變量分布的偏度與峰度,一、矩（動(dòng)差 ）,矩（動(dòng)差 ） 一系列刻畫數(shù)據(jù)分布特

27、征的指標(biāo)的統(tǒng)稱。 變量值與數(shù)值 a 之離差的 K 次方的平均數(shù)稱為變量 x 關(guān)于 a 的K 階矩，即：,.,85,K 階原點(diǎn)矩（當(dāng)a = 0 時(shí)）是數(shù)據(jù)的K次方的平均數(shù). 一階原點(diǎn)矩即算術(shù)平均數(shù)； 二階原點(diǎn)矩即平方平均數(shù)。,K 階中心矩矩（當(dāng)a =均值 時(shí)）是以均值為中心計(jì)算的離差 K 次方的平均數(shù) k=1時(shí)，稱為一階中心矩，它恒等于0，即 m1=0； k=2時(shí)，稱為二階中心矩，也就是方差，即m2=2。,.,86,二、偏度（Skewness）,偏度指數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱程度或偏斜程度。 以 對(duì)稱分布 為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)區(qū)分 偏態(tài)分布又分左偏（負(fù)偏）和右偏（正偏）.,.,87,偏態(tài)的測(cè)度方法,一般有：,（一）由均值與眾數(shù)（中位數(shù)）之間的關(guān)系求偏態(tài)系數(shù)：,.,88,（二）由三個(gè)四分位數(shù)之間的關(guān)系求偏態(tài)系數(shù),值域：-1 Sk 1,.,89,（三）利用 3 階中心矩來(lái)計(jì)算偏度系數(shù)。 測(cè)定偏度最常用的方法 原理：若分布不對(duì)稱