完整word版)線面垂直與面面垂直典型例題

1、線面垂直與面面垂直基礎(chǔ)要點線面垂直線線垂直面面垂直a與平面BAB與兩平面丄平面BBACDBA的取值范圍是CB所成的角相等，則平面D、4:3D、 ABC的內(nèi)部3、如圖示，平面C、3:2B、3:12、在斜三棱柱ABCA、2:11、若直線D、以上結(jié)論都不正確A , B，則 AB: ABCi知 PA AC,PA 6，BC 8, DF 5APCi周長的最小值是5.已知長方體 ABCD AiBiCiDi 中，AiA AB 2C、直線BC上過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為CiABQ, BACBC 2,CCi i DC上有一動點 卩，則厶不一定平行于4、如圖示，直三棱柱 ABBi DCCi中題型一：直線

2、、平面垂直的應用i.（20i4,江蘇卷）如圖，在三棱錐 P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱 PC，AC，AB的中點.已所成的角分別為-和-A ,BC、不平行于(A )A、/B ）B、直線AB上為H，則H 定在A、直線AC上ABBi 90o,AB 4求證：（i） PAP平面DEF 錯誤！未找到引用源 平面BDE 平面ABC錯誤味找到引用源。.90,又BCi AC,過Ci作CiH丄底面 ABC垂足若棱AB上存在點P,使得DiP PC ,則棱AD長與的位置關(guān)系是（B ）ZBi/D1Di證明：因為D , E分別為棱PC, AC的中點, 所以 DE / PA.又因為 PA ? 平面 DEF, DE 平面D

3、EF,所以直線PA /平面DEF.(2) 因為 D , E, F 分別為棱 PC, AC, AB 的中點，PA= 6, BC = 8,所以 DE / PA, DE = 11PA = 3, EF= BC = 4.22又因 DF = 5,故 DF2= DE2 + EF2,所以/ DEF = 90 即 DE 丄 EF.又 PA丄 AC , DE / PA,所以 DE 丄 AC.因為AS EF = E , AC 平面ABC , EF 平面 ABC ,所以DE丄平面 ABC. 又DE 平面BDE ,所以平面 BDE丄平面 ABC.2. (2014,北京卷，文科)如圖，在三棱柱 ABC Ai B1C1中，

4、側(cè)棱垂直于底面，AB BC , AA1 AC 2 , E、F分別為AG、BC的中點.(1)求證：平面 ABE 平面B1BCC1 ； (2)求證：GF/平面ABE.證明：(1)在三棱柱ABC ABG中，BB1 底面 ABC, BB1 AB, AB BC, AB 平面 B1BCC1,Q AB 平面ABE, 平面ABE 平面 耳BCC1.取AB的中點G,連接EG, FG1Q E、F 分別為 AG、BC 的中點,FGPAC,FG AC,2Q AC PA1C1, ACAC1? FG PEG, FGEC1,則四邊形FGE6為平行四邊形,C1F PEG,Q EG平面ABEQF平面ABE, C1F P平面AB

5、E .3.如圖，P是PBC 求證BC平面ABC所在平面外的一點，且PA 平面ABC，平面PACAC .分析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直， 應將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直.證明：在平面PAC內(nèi)作AD PC，交PC于D .因為平面PAC 平面PBC于PC , AD 平面PAC，且AD PC，所以AD 平面PBC 又因為BC 平面PBC，于 是有AD BC另外PA 平面ABC , BC 平面ABC，所以PA BC 由及AD PA A，可知BC 平面PAC 因為AC 平面PAC，所以BC AC 說明：在空間圖形中，高一級的垂

6、直關(guān)系中蘊含著低一級的垂直關(guān)系，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直 線線垂直.4. 過點S引三條不共面的直線SA、 SB、 SC，如圖， BSC 90 ASC ASB 60，若截取 SA SB SC a求證：平面ABC 平面BSC;(2)求S到平面ABC的距離.分析：要證明平面 ABC 平面BSC,根據(jù)面面垂直的判定定理，須在平面 ABC或平面BSC內(nèi)找到一條與另一個平面垂直的直線.(1)證明： SA SB SC a,又 ASC ASB 60 ,二 ASB和ASC都是等邊三角形，AB AC a,取BC的中點H，連結(jié)AH , AHBC 在Rt BSC中，BSCS a, SH BC ,BC、2a

7、AH 2 AC2CH 22 a辭)(a)22 丄, SH22 a22222在SHA中，AH2aSH2,SA22a ,2，2 SA2 SH 2HA2, AHSH, AH平面SBC AH 平面 ABC ,平面ABC平面BSC或： SA AC AB ,頂點A在平面BSC內(nèi)的射影H為 BSC的外心, 又 BSC為Rt , H在斜邊BC上，又 BSC為等腰直角三角形， H為BC的中點， AH 平面BSC： AH 平面ABC，平面 ABC 平面BSC (2)解：由前所證：SH AH , SH BC , SH 平面 ABC , SH的長即為點S到平面ABC的距離，SH 些 -a ,2 25、如圖示,ABCD

8、為長方形,點S到平面ABC的距離為SA垂直于ABCD所在平面，過 A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD 于 E、F、G,求證：AE丄 SB,AG丄SDFGED6.在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直，已知底面是面積為 2 ., 3的菱形， ADC 60 , M是PB中點。求證：PA CD求證：平面 PAB 平面 CDMMC7.在多面體 ABCDE中, AB=BC=AC=AE=1CD=2 AE 面 ABC AE/CD。求證：AE/平面BCD求證：平面BED平面BCDA題型二、空間角的問題1.女口圖示，在正四棱柱 ABCD ABCD,中AB 1,BB,3 1 ,

9、 E為BBi上使BiE 1的點，平面 AECi交DDi于F,交ADi的延長線于G,求：(i )異面直線 AD與CiG所成的角的大小2.如圖，點A在銳二面角(2)二面角A CIG A的正弦值MN 的棱MN上，在面 內(nèi)引射線 AP，使AP與MN所成的角NMN的大小.分析：首先根據(jù)條件作出二面角的平面角，然后將平面角放入一個可解的三角形中(最好是直角三角形)，通過解三角形使問題得解.解：在射線AP上取一點B，作 BH連結(jié)AH，則BAH為射線AP與平面所成的角,0BAH 30.再作BQMN，交 MN 于 Q ,連結(jié)HQ，則HQ為BQ在平面 內(nèi)的射影.由三垂線定理的逆定理,HQ MN ,BQH為二面角M

10、N的平面角.設 BQ a，在 Rt BAQ 中， BQA90 , BAM45 , AB 、2a ,在 Rt BHQ 中,BHQ 90 ,BQ a,BH 2 a, sin2BQHBQBQH是銳角,BQH 45 ,即二面角MN等于45 .說明：本題綜合性較強，在一個圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角，斜線與平面所稱的角，二面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角，而且還要彼此聯(lián)系相互依存，要根據(jù)各個平面角的定義添加適當?shù)妮o助線.3.正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1 ,P是AD的中點求二面角A BD, P的大小.分析：求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角，按定義在二面角的棱上任取了點，在二個半平面上分別

11、作棱的垂線， 方法雖簡便，但因與其他條件沒有聯(lián)系，要求這個平面角一般是很不容易的，所以在解題中不大應用在解題中應用得較多的是“三垂線定理”的方法，如圖考 慮到AB垂直于平面AD, , BD,在平面AD, 上的射影就是 AD, 再過P作AD,的垂線PF ,則PF 面ABD,，過F作D,B的垂線FE , PEF即為所求二面角的平面角了.解：過P作BDi及AD,的垂線，垂足分別是 E、F，連結(jié)EF ./ AB面 AD, , PF面 AD,又 PEPF，又 PFAD, PF 面 ABD,.BDi ,PEF為所求二面角的平面角. Rt AD,D s PFA ,PFDD,APAD,而 AP - , DD,

12、2AD,2 PF在 PBD,中，PD,BD, , BE -BD2在 Rt PEB 中，PE-PB2 BE2-，在 Rt PEF 中，sin2PEFPFPE PEF 30 .4.PA垂直于矩形 ABCD所在平面，M、E、N分別是AB、CD和PC的中點,題型三、探索性、開放型問題1.如圖，已知正方形當CE為多少時，PO 平面BED(1) 求證：MN /平面PAD(2) 若二面角 P DC A為，求證：平面 MND丄平面PDC45已知正方體中 ABCD AiBQiDi , E為棱CCi上的動點，(1)求證：AiE丄BD (2) 當E恰為棱CCi的中點時，求證：平面ABD丄平面EBD(3) 在棱CCi上是否存在一個點 E，可以使二面角 A-i BD E的大小