藝術(shù)生高考數(shù)學專題講義：考點51 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例

1、222i1i1nn222ii考點五十一變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例 知識梳理1相關(guān)關(guān)系常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系兩者的區(qū)別是函數(shù) 關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相 關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系2散點圖通常將變量所對應的點描出來，這些點就組成了變量之間的一個圖，通常稱這種圖為變量之 間的散點圖3正相關(guān)與負相關(guān)從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)， 點分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負相關(guān)4回歸直線方程(1)曲線擬合從散點圖上，如果變量之間存在

2、某種關(guān)系，這些點會有一個集中的大致趨勢，這種趨勢通常 可以用一條光滑的曲線來近似，這樣的近似過程稱為曲線擬合(2)線性相關(guān)在兩個變量 x 和 y 的散點圖中，若所有點看上去都在一條直線附近波動，則稱變量間是線性 相關(guān)，這條直線叫回歸直線若所有點看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，稱此 相關(guān)是非線性相關(guān)如果所有的點在散點圖中沒有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的 (3)最小二乘法如果有 n 個點(x ，y )，(x ，y )，(x ，y )，可以用y (abx ) y (abx )1 1 2 2 n n 1 1 2 2y (abx ) 來刻畫這些點與直線 yabx 的接近程度，使得上式達

3、到最小值的直線 y n nabx 就是所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法(4)回歸方程方程 ybxa 是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x ，y )，(x ，y )，(x ，y )1 1 2 2 n n的回歸方程，其中 a，b 是待定參數(shù)n n (x x )(yy ) x y n x yi i i ib ， (x x ) x n xi1 i1a y b x .222 22ii2222說明：回歸直線必過樣本中心( x ， y )，但是樣本數(shù)據(jù)不一定在回歸直線上，甚至可能所 有的樣本數(shù)據(jù)點都不在直線上5相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) rn n (x x )(yy ) x y n x y i i i ii

4、1 i1n n n n (x x ) (y y ) (x n x )(yi ii1 i1 i1 i1n y )；當 r0 時，表明兩個變量正相關(guān)；當 r2.706 時，有 90%的把握判定變量 a，b 有關(guān)聯(lián)；當 3.841 時，有 95%的把握判定變量 a，b 有關(guān)聯(lián)；當 6.635 時，有 99%的把握判定變量 a，b 有關(guān)聯(lián)典例剖析題型一 相關(guān)關(guān)系判斷例 1 變量 x 與 y 相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量 u 與 v 相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1

5、)r 表示變量 y 與 x 之1間的線性相關(guān)系數(shù)，r 表示變量 v 與 u 之間的線性相關(guān)系數(shù)，則_2r r 0 2 10r r 2 1r 00；對于變量 v1與 u 而言，v 隨 u 的增大而減小，故 v 與 u 負相關(guān)，即 r 0，所以有 r 00 時，x 與 y 正相關(guān)，當b0 時，x 與 y 負相關(guān)，所 以一定錯誤解題要點 判斷變量之間有無相關(guān)關(guān)系，一種簡便可行的方法就是繪制散點圖，根據(jù)散點圖很容易看出兩個變量之間是否具有相關(guān)性，是不是存在線性相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負相關(guān)， 相關(guān)關(guān)系是強還是弱題型二 回歸分析例 2 已知 x，y 取值如下表：xy01.311.845.656.167.4

6、89.3從所得的散點圖分析可知：y 與 x 線性相關(guān)，且y0.95xa，則 a_ 答案 1.45解析 x 014568 1.31.85.66.17.49.34， y 6 65.25，又y0.95xa 過( x ， y )，5.250.954a，得 a1.45. 變式訓練 已知 x 與 y 之間的一組數(shù)據(jù)：xy0m1325.537已求得關(guān)于 y 與 x 的線性回歸方程y 2.1x0.85，則 m 的值為_ 答案 0.5解析0123 3 m35.57 15.5mx ， y ，把( x ， y )代入線性回歸方程，4 2 4 415.5m 32.1 0.85，m0.5. 4 24422 2 2 22

7、 解題要點 回歸直線方程ybxa必過樣本點中心( x ， y )利用這一結(jié)論，可以快速求出 回歸方程中的參數(shù)例 3 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量 x(噸)與相應的生 產(chǎn)能耗 y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù).xy32.5435464.5(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2) 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程y bxa；(3) 已知該廠技改前 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為 90 噸標準煤，試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程， 預測生產(chǎn) 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？(參考數(shù)值：32.5435464.566.5)解析

8、(1)由題意，作散點圖如圖(2)由對照數(shù)據(jù)，計算得 x y 66.5，i ii1x 3 4 5 6 86，ii1x 4.5， y 3.5， 66.544.53.5 66.563b 0.7，8644.5 8681 a y b x 3.50.74.50.35，所以回歸方程為y 0.7x0.35.(3)當 x100 時，y1000.70.3570.35(噸標準煤)，預測生產(chǎn) 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗 比技改前降低 9070.3519.65(噸標準煤)變式訓練 (2015 新課標文)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳 費 x(單位：千元)對年銷售量 y (單位：t)和年利潤 z(

9、單位：千元)的影響，對近 8 年的宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2, ,8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.828i82 i 1i8i8iii1 12 2n nniin28iii 182i年銷售量/t620600580560540520500480年宣傳費/千元34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56x yw (x x )i (w w ) (x x ) (w w ) i1i1i1(y y ) i46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469(y y ) i108.81 8表中 w x ， w w .i1(i) 根據(jù)散點圖判斷，ya

10、bx 與 ycd x哪一個適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費 x 的回 歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(ii) 根據(jù)(i)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立 y 關(guān)于 x 的回歸方程；(iii) 已知這種產(chǎn)品的年利潤 z 與 x，y 的關(guān)系為 z0.2yx.根據(jù)(ii)的結(jié)果回答下列問題：(i)當年宣傳費x =90時，年銷售量及年利潤的預報值時多少？(ii)當年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u ，v )，(u ，v )，(u ，v )，其回歸直線 vu 的斜率和截距的 (u u )(vv )i1最小二乘估計分別為 ， v u . (u u )ii1解析 (i)由散

11、點圖可以判斷，ycd x適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費 x 的回歸方程類 型(ii)令 w x，先建立 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程，由于 (w w )(yy ) 108.8d 68，1.6 (w w )i1 c y dw 563686.8100.6， 2 所以 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程為y100.668w，因此 y 關(guān)于 x 的回歸方程為y100.668 x.(iii)(i)由(ii)知，當 x49 時，年銷售量 y 的預報值y100.668 49576.6，年利潤 z 的預報值z576.60.24966.32.(ii)根據(jù)(ii)的結(jié)果知，年利潤 z 的預報值z0.2(100.66

12、8 x)xx13.6 x20.12.13.6 所以當 x 6.8，即 x46.24 時，z 取得最大值2故年宣傳費為 46.24 千元時，年利潤的預報值最大解題要點 (1)正確運用計算 b，a 的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵 (2)分析兩變量的相關(guān)關(guān)系，可由散點圖作出判斷，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回 歸方程估計和預測變量的值 (3) 求解回歸方程關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)a，b，因求解b的公式計算量太大，一般題目中給出n n相關(guān)的量，如 x ， y ，, )x ，,ii1i1 i1i1)x y 等，便可直接代入求解充分利用回歸直線過樣 i i 本中心點( x ， y )，即有 yb

13、 x a，可確定a.題型三 相關(guān)分析例 4 有甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試，按照大于等于 85 分為優(yōu)秀，85 分以下為非優(yōu)秀統(tǒng) 計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計1 班2 班10cb30總計1052已知在全部 105 人中隨機抽取 1 人，成績優(yōu)秀的概率為 ，則下列說法正確的是_7123性要求，能認為“成績與班級有關(guān)系” 性要求，不能認為“成績與班級有關(guān)系” 答案 列聯(lián)表中 c 的值為 30，b 的值為 35 列聯(lián)表中 c 的值為 15，b 的值為 50 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按 95%的可靠根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按 95%的可靠22222解析 由題意知，成績優(yōu)秀的學生數(shù)是 30，成

14、績非優(yōu)秀的學生數(shù)是 75，所以 c20，b45，選項 a、b 錯誤根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到 105 (1030 -20 45) 55 50 30 7526.1093.841，因此有 95%的把握認為“成績與班級有關(guān)系”變式訓練 在研究色盲與性別的關(guān)系調(diào)查中，調(diào)查了男性 480 人，其中有 38 人患色盲，調(diào) 查的 520 名女性中，有 6 人患色盲(1) 根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個 22 列聯(lián)表；(2) 若認為“性別與患色盲有關(guān)系”，求出錯的概率解析 (1)22 列聯(lián)表如下：男女總計患色盲38644不患色盲442514956總計4805201 000(2)假設(shè) h ：“性別與患色盲沒有關(guān)系”，根據(jù)(

15、1)中 22 列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，可求得01 000(385146442) 4805204495627.14，又 p(10.828)0.001，即 h 成立的概率不超過 0.001，故若認為“性別與患色盲有關(guān)系”，0則出錯的概率為 0.1%.解題要點 (1)獨立性檢驗的關(guān)鍵是正確列出 22 列聯(lián)表，并計算出 的值(2)弄清判斷兩變量有關(guān)的把握性與犯錯誤概率的關(guān)系，根據(jù)題目要求作出正確的回答當堂練習1(2015 湖北文)已知變量 x 和 y 滿足關(guān)系 y0.1x1，變量 y 與 z 正相關(guān)下列結(jié)論中正 確的是_x 與 y 正相關(guān)，x 與 z 負相關(guān) x 與 y 正相關(guān)，x 與 z 正相關(guān)x 與 y 負

16、相關(guān)，x 與 z 負相關(guān) x 與 y 負相關(guān)，x 與 z 正相關(guān)答案 解析 因為 y0.1x1，0.10)，所以 z0.1axab，0.1a0，所以 x 與 z 負相關(guān)2(2014 湖北卷) 根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)xy34.042.550.560.572.083.0得到的回歸方程為y bxa，則_22222a0，b0a0，b0a0，b0a0，b0答案 解析 作出散點圖如下：由圖象不難得出，回歸直線y bxa 的斜率 b0，所以 a0，b6.635，所以選項正確4下列有關(guān)樣本相關(guān)系數(shù)的說法不正確的是_1 相關(guān)系數(shù)用來衡量變量 x 與 y 之間的線性相關(guān)程度2 |r|1，且|r|越接近于 1，相關(guān)程度越

17、大3 |r|1，且|r|越接近 0，相關(guān)程度越小2|r|1，且|r|越接近 1，相關(guān)程度越小 答案 5兩個相關(guān)變量滿足如下關(guān)系：xy101 003151 005201 010251 011301 014則兩變量的回歸方程為_ 答案y 0.56x997.4解析 回歸直線經(jīng)過樣本中心點(20,1 008.6)，經(jīng)檢驗只有選項 a 符合題意課后作業(yè)一、 填空題1在一組樣本數(shù)據(jù)(x ，y )，(x ，y )，(x ，y )(n2，x ,x ,x 不全相等)的散點圖中，1 1 2 2 n n 1 2 n1若所有樣本點(x ，y )(i=1,2,n)都在直線 y= x+1 上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)

18、為i i_答案 1解析 根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可知，當所有樣本點都在直線上時，相關(guān)系數(shù)為 12設(shè)某大學的女生體重 y(單位：kg)與身高 x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(x ，y )(i=1，2，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為 i i中不正確的是_y 與 x 具有正的線性相關(guān)關(guān)系y=0.85x-85.71，則下列結(jié)論回歸直線過樣本點的中心(x，y)3 若該大學某女生身高增加 1cm，則其體重約增加 0.85kg4 若該大學某女生身高為 170cm，則可斷定其體重必為 58.79kg 答案 解析 由回歸方程為y=0.85x-85.71 知 y隨x的增大而增大，所以 y 與 x

19、 具有正的線性相關(guān)關(guān)系，由最小二乘法建立的回歸方程得過程知 y=bx +a =bx +y -bx ( a =y -bx )，所以回歸直線過樣本點的中心( x ， y )，利用回歸方程可以預測估計總體，所以不正確.3(2015 新課標 ii 文)根據(jù)下面給出的 2004 年至 2013 年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸) 柱形圖以下結(jié)論不正確的是_2221 逐年比較，2008 年減少二氧化硫排放量的效果最顯著2 2007 年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效1 2006 年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢4 2006 年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)答案 解析 從 2006 年，將每年的二氧化

20、硫排放量與前一年作差比較，得到 2008 年二氧化硫排放 量與 2007 年排放量的差最大，選項正確；2007 年二氧化硫排放量較 2006 年降低了很多，選項正確；雖然 2011 年二氧化硫排放量較 2010 年多一些，但自 2006 年以來，整體呈遞減趨勢，即 選項正確；自 2006 年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關(guān)，選項錯誤，故選 4下面是一個 22 列聯(lián)表x1x2合計y1a22by2212546總計7347120其中 a，b 處填的值分別為_答案 52 74解析 由 a2173，得 a52，a22b，得 b745為了研究高中學生對鄉(xiāng)村音樂的態(tài)度(喜歡和不喜歡兩種態(tài)度)與性別的關(guān)系

21、，運用 22列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經(jīng)計算 k 8.01，則認為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系”的把握性 約為_p(kk )0k00.1002.7060.0503.8410.0255.0240.0106.6350.00110.828答案 99%解析 因為 k 8.016.635，所以有 99%以上的把握認為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系” 6下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn) a 產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量 x(噸)與相應的生產(chǎn) 能耗 y(噸)的幾組對應數(shù)據(jù)：x 3 4 5 6222y 2.5 t 44.5根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為y 0.7x0.35，那么表中 t 的值為

22、_答案 32.5t44.5 3456 11t解析 由 y 0.7 x 0.35 得 0.7 0.35 3.5t3.4 4 47(2014 江西卷)某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這 4 個變量的關(guān)系， 隨機抽查了 52 名中學生，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表 1 至表 4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變 量是_表 1表 2性別成績不及格及格總計性別視力好差總計男女總計61016142236203252男女總計41216162036203252表 3表 4性別智商男女偏高88正常1224總計2032閱讀量性別男女豐富142不豐富630總計2032總計163652總計163652答案 閱讀量解析

23、 通過計算可得，表 1 中的 0.009，表 2 中的 1.769，表 3 中的 1.300，表 4中的 223.4818已知某車間加工零件的個數(shù) x 與所花費時間 y(h)之間的線性回歸方程為y0.01x0.5， 則加工 600 個零件大約需要的時間為_答案 6.5 h解析 將 600 代入線性回歸方程y0.01x0.5 中得需要的時間為 6.5 h.9為了判斷高中三年級學生選修文科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機抽取 50 名學生，得到如下 22 列聯(lián)表：222210 10 10 102nn2男女合計理科13720文科102030合計232750已知 p(k 3.841)0.05，p(k 5.024

24、)0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到 k250(1320107)的觀測值 k 4.844，則認為選修文科與性別23272030有關(guān)系出錯的可能性約為_答案 5%解析 由 k 的觀測值 k4.8443.841，故認為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為 5%. 10考古學家通過始祖鳥化石標本發(fā)現(xiàn)：其股骨長度 x(cm)與肱骨長度 y(cm)的線性回歸方程為y1.197x3.660，由此估計，當股骨長度為 50 cm 時，肱骨長度的估計值為_cm. 答案 56.19解析 根據(jù)回歸方程y1.197x3.660，將 x50 代入，得 y56.19，則肱骨長度的估計值 為 56.19 cm.11已知回歸直線

25、的斜率的估計值為 1.23，樣本點的中心為(4,5)，則回歸直線的回歸方程為 _答案 y1.23x0.08解析 設(shè)回歸直線方程為y 1.23xa，由題意得：51.234a，得 a0.08，故回歸方程 為y1.23x0.08.二、解答題12 (2013 重慶文)從某居民區(qū)隨機抽取 10 個家庭，獲得第 i 個家庭的月收入 x (單位：千元)i與月儲蓄 y (單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得 x 80， y 20， x y 184， x 720. i i i i i ii1 i1 i1 i1(1)求家庭的月儲蓄 y 對月收入 x 的線性回歸方程 ybxa； (2)判斷變量 x 與 y 之間是正相關(guān)還是負相關(guān)；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為 7 千元，預