高等代數(shù)最重要的基本概念匯總[共24頁]

1、第一章 基本概念1.5 數(shù)環(huán)和數(shù)域定義1 設(shè)S是復(fù)數(shù)集C的一個(gè)非空子集,如果對于S中任意兩個(gè)數(shù)a、b來說，a+b,a-b,ab都在S內(nèi)，那么稱S是一個(gè)數(shù)環(huán)。定義2 設(shè)F是一個(gè)數(shù)環(huán)。如果 （i）F是一個(gè)不等于零的數(shù)； （ii）如果a、bF,，并且b，那么就稱F是一個(gè)數(shù)域。定理 任何數(shù)域都包含有理數(shù)域，有理數(shù)域是最小的數(shù)域。第二章 多項(xiàng)式 2.1 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算定義1 數(shù)環(huán)R上的一個(gè)文字的多項(xiàng)式或一元多項(xiàng)式指的是形式表達(dá)式 ， 是非負(fù)整數(shù)而都是R中的數(shù)。 項(xiàng)式中，叫作零次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)，叫作一次項(xiàng)，一般，叫作i次項(xiàng)的系數(shù)。 定義2 若是數(shù)環(huán)R上兩個(gè)一元多項(xiàng)式和有完全相同的項(xiàng)，或者只差一些系數(shù)為

2、零的項(xiàng)，那么就說和就說是相等 定義3 叫作多項(xiàng)式，的最高次項(xiàng)，非負(fù)整數(shù)n叫作多項(xiàng)式，的次數(shù)。定理2.1.1 設(shè)和是數(shù)環(huán)R上兩個(gè)多項(xiàng)式，并且，那么 當(dāng)時(shí)， 。多項(xiàng)式的加法和乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)則：1） 加法交換律： ；2） 加法結(jié)合律： ；3）乘法交換律： ；4） 乘法結(jié)合律： ；5） 乘法對加法的分配律： 。推論2.1.1 當(dāng)且僅當(dāng)和中至少有一個(gè)是零多項(xiàng)式推論2.1.2 若，且，那么2.2 多項(xiàng)式的整除性設(shè)F是一個(gè)數(shù)域。是F上一元多項(xiàng)式環(huán)定義 令和是數(shù)域F上多項(xiàng)式環(huán)的兩個(gè)多項(xiàng)式。如果存在的多項(xiàng)式，使，我們說，整除（能除盡）。多項(xiàng)式整除的一些基本性質(zhì)：1） 如果，那么2） 如果，那么3） 如果，那

3、么對于中的任意多項(xiàng)式來說，4） 果那么對于中任意 5） 次多項(xiàng)式，也就是F中不等于零的數(shù)，整除任意多項(xiàng)式。6） 每一個(gè)多項(xiàng)式都能被整除，這里c是F中任意一個(gè)不等于零的數(shù)。7） 如果，那么，這里c是F中的一個(gè)不等于零的數(shù)設(shè)，是兩個(gè)任意的多項(xiàng)式，并且。那么可以寫成以下形式，這里，或者的次數(shù)小于的次數(shù)。定理2.2.1 設(shè)和是的任意兩個(gè)多項(xiàng)式，并且。那么在中可以找到多項(xiàng)式和，使 （3） 這里或者，或者的次數(shù)小于的次數(shù)，滿足以上條件的多項(xiàng)式只有一對。設(shè)數(shù)域含有數(shù)域而和是的兩個(gè)多項(xiàng)式，如果在里不能整除，那么在里也不能整除。1） 定義1 假定是和的任一公因式，那么由 中的第一個(gè)等式，也一定能整除。同理，由第

4、二個(gè)等式，也一定能整除。如此逐步推下去，最后得出能整除，這樣，的確是和的一個(gè)最大公因式，這種求最大公因式的方法叫做展轉(zhuǎn)相除法。定義2 設(shè)以除時(shí)，所得的商及余式，比較兩端同次冪的系數(shù)得，這種計(jì)算可以排成以下格式 用這種方法求商和余式（的系數(shù)）稱為綜合除法。2.3 多項(xiàng)式的最大公因式設(shè)F是一個(gè)數(shù)域。是F上一元多項(xiàng)式環(huán)定義1 令設(shè)和是的任意兩個(gè)多項(xiàng)式，若是的一個(gè)多項(xiàng)式同時(shí)整除和，那么叫作與的一個(gè)公因式。定義2 設(shè)是多項(xiàng)式與的一個(gè)公因式。若是能被與的每一個(gè)公因式整除，那么叫作與的一個(gè)最大公因式。定理2.3.1 的任意兩個(gè)多項(xiàng)式與一定有最大公因式。除一個(gè)零次因式外，與的最大公因式是唯一確定的，這就說，若

5、是與的一個(gè)最大公因式，那么數(shù)域F的任何一個(gè)不為零的數(shù)c與的乘積c 也是與的一個(gè)最大公因式；而且當(dāng)與不完全為零時(shí)，只有這樣的乘積才是與的最大公因式。從數(shù)域F過度渡到數(shù)域時(shí)，與的最大公因式本質(zhì)上沒有改變。定理2.3.2 若是的多項(xiàng)式與的最大公因式，那么在里可以求得多項(xiàng)式，使以下等式成立： （2）。注意：定理2.3.2的逆命題不成立。例如，令，那么以下等式成立：但顯然不是與的最大公因。定義3 如果的兩個(gè)多項(xiàng)式除零次多項(xiàng)式外不在有其他的公因式，我們就說，這兩個(gè)多項(xiàng)式互素。定理2.3.3 的兩個(gè)多項(xiàng)式與互素的充要條件是：在中可以求得多項(xiàng)式，使（4） 從這個(gè)定理我們可以推出關(guān)于互素多項(xiàng)式的以下重要事實(shí)：若

6、多項(xiàng)式與都與多項(xiàng)式互素，那么乘積也與互素。若多項(xiàng)式整除多項(xiàng)式與的乘積，而與互素，那么一定整除。2） 若多項(xiàng)式與都整除多項(xiàng)式，而與互素，那么乘積也整除最大公因式的定義可以推廣到個(gè)多項(xiàng)式的情形：若是多項(xiàng)式整除多多項(xiàng)式中的每一個(gè)，那么叫作這n個(gè)多項(xiàng)式的一個(gè)公因式。若是的公因式能被這n個(gè)多項(xiàng)式的每一個(gè)公因式整除，那么叫作的一個(gè)最大公因式。 若是多項(xiàng)式的一個(gè)最大公因式，那么是多項(xiàng)式的最大公因式也是多項(xiàng)式的最大公因式。若多項(xiàng)式除零次多項(xiàng)式外，沒有其他的公因式，就是說這一組多項(xiàng)式互素。2.4 多項(xiàng)式的分解定義1 的任何一個(gè)多項(xiàng)式，那么F的任何不為零的元素c都是的因式，另一方面，c與的乘積c也總是的因式。我們

7、把這樣的因式叫作它的平凡因式，定義2 令是的一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式。若是在只有平凡因式，說是在數(shù)域F上（或在中）不可約。若除平凡因式外，在中還有其他因式，就說是在F上（或在中）可約。 如果的一個(gè)n（n0）次多項(xiàng)式能夠分解成中兩個(gè)次數(shù)小于n的多項(xiàng)式的乘積：（1） ，那么在F上可約。 若是在中的任一個(gè)形如（1）的分解式總含有一個(gè)零次因式，那么在F上不可約。 不可約多項(xiàng)式的一些重要性質(zhì)：1） 如果多項(xiàng)式不可約，那么F中任一不為零的元素c與的乘積c也不可約。2） 設(shè)是一個(gè)不可約多項(xiàng)式而是一個(gè)任意多項(xiàng)式，那么或者與互素，或者整除。3） 如果多項(xiàng)式與的乘積能被不可約多項(xiàng)式整除，那么至少有一個(gè)因式被 整除。

8、4） 如果多項(xiàng)式的乘積能被不可約多項(xiàng)式整除，那么至少有一個(gè)因式被整除。定理2.4.1 的每一個(gè)n(n0)次多項(xiàng)式都可以分解成的不可約多項(xiàng)式的乘積。定理2.4.2 令是的一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，并且 此處與都是的不可約多項(xiàng)式，那么，并且適當(dāng)調(diào)換的次序后可使此處是F上的不為零的元素。換句話說，如果不計(jì)零次因式的差異，多項(xiàng)式分解成不可約因式乘積的分解式是唯一的。形如 的多項(xiàng)式叫作多項(xiàng)的典型分解式，每一個(gè)典型分解式都是唯一確定的。2.5 重因式定義 的多項(xiàng)式 的導(dǎo)數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)指的是的多項(xiàng)式 一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作的二階導(dǎo)數(shù)，記作，的導(dǎo)數(shù)叫作的三階導(dǎo)數(shù)，記作，等等。的k階導(dǎo)數(shù)也記作。 關(guān)于和與積的導(dǎo)數(shù)公式仍

9、然成立：（1） （2） （3） 定理2.5.1 設(shè)是多項(xiàng)式的一個(gè)重因式。那么是的導(dǎo)數(shù)的一個(gè)k-1重因式。定理2.5.2 多項(xiàng)式?jīng)]有重因式的充要條件是與它的導(dǎo)數(shù)互素。2.6 多項(xiàng)式函數(shù) 多項(xiàng)式的根 設(shè)給定了1R的一個(gè)多項(xiàng)式 和一個(gè)數(shù)cR,那么在的表示式里，把用c來代替，就得到R的一個(gè)數(shù) 這個(gè)數(shù)叫作當(dāng)時(shí)，的值，并且用來表示。對于R上的每一個(gè)數(shù)c，就有R中唯一確定的數(shù)與它對應(yīng)。就得到R與R的一個(gè)影射。這個(gè)影射是由多項(xiàng)式所確定的，叫作R上的一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)。定理2.6.1 設(shè)，用除所得的余式等于當(dāng)時(shí)的值定義 令是的一個(gè)多項(xiàng)式而c是R中的一個(gè)數(shù)，若是當(dāng)時(shí)的值，那么c叫作在數(shù)環(huán)R中的一個(gè)根。定理2.6.2

10、數(shù)c是的根的充要條件是能被整除。定理2.6.3 設(shè)是中一個(gè)次多項(xiàng)式。那么在R中至多有n個(gè)不同的根。定理2.6.4 設(shè)是的兩個(gè)多項(xiàng)式，它們的次數(shù)都不大于n。若是以R中n+1個(gè)或更多不同的數(shù)來代替時(shí)，每次所得的值都相等，那么。定理2.6.5 的兩個(gè)多項(xiàng)式相等，當(dāng)且僅當(dāng)她們所定義的R上多項(xiàng)式函數(shù)相等。 這個(gè)公式叫作拉格朗日(Lagrange)插值公式。2.7 復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式定理2.7.1 （代數(shù)基本定理） 任何次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中至少有一個(gè)根。定理2.7.2 任何次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有n個(gè)根（按重根重?cái)?shù)計(jì)算）。復(fù)數(shù)域C上任一次多項(xiàng)式可以在里分解為一次因式的乘積。負(fù)數(shù)域上任一次大于1的多項(xiàng)式都是可約

11、的。定理2.7.6 若實(shí)數(shù)多項(xiàng)式有一個(gè)非實(shí)的復(fù)數(shù)根，那么的共軛數(shù)也是的根，并且有同一重?cái)?shù)。換句話說，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的非實(shí)的非實(shí)的復(fù)數(shù)根兩兩成對。定理2.7.4 實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式，除一次多項(xiàng)式外，只含非實(shí)共軛復(fù)數(shù)根的二次多項(xiàng)式。定理2.7.5 每一個(gè)次數(shù)大于0的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都可以分解為實(shí)系數(shù)的一次和二次不可約因式的乘積。2.8 有理數(shù)域上多項(xiàng)式 令是整數(shù)環(huán)Z上的一個(gè)次多項(xiàng)式。如果存在，它們的次數(shù)都小于n，使得， （1）那么自然可以看成有理數(shù)域Q上的多項(xiàng)式。等式（1）表明，在中是可約的。定義 若是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)互素，那么叫作一個(gè)原本多項(xiàng)式。引理2.8.1 兩個(gè)原本多項(xiàng)式的乘積仍然是一個(gè)原

12、本多項(xiàng)式。定理2.8.1 若是一個(gè)整系數(shù)次多項(xiàng)式在有理數(shù)域上可約，那么總可以分解成次數(shù)都小于n的兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。定理2.8.2 （艾森斯坦（Eisenstein）判別法）設(shè) 是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。若是能夠找到一個(gè)素?cái)?shù)p，使得（i）最高次項(xiàng)系數(shù)不能被p整除；（ii）其余各項(xiàng)都能被p整除；（iii）常數(shù)項(xiàng)不能被整除，那么多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。有理數(shù)域上任意次的不可約多項(xiàng)式都存在。定理2.8.3 設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。若是有理數(shù)是 的一個(gè)根，這里和是互素的整數(shù)，那么 （i）整除的最高次項(xiàng)系數(shù)，而整除的常數(shù)項(xiàng)； （ii），這里是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。2.9 多元多項(xiàng)式在這一節(jié)里，R總表示一個(gè)數(shù)環(huán)

13、，且令是n個(gè)文字，形如的表示式。其中是非負(fù)整數(shù)，叫作R上的一個(gè)單項(xiàng)式。數(shù)a叫作這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)，如果某一，那么可以不寫，約定。因此，個(gè)文字的單項(xiàng)式總可以看成n個(gè)文字的單項(xiàng)式。特別，當(dāng)時(shí)，我們有。形式表達(dá)式，是非負(fù)整數(shù)，叫作R上n個(gè)文字的一個(gè)多項(xiàng)式，或簡稱R上一個(gè)n元多項(xiàng)式。 我們通常用符號(hào)，等來表示R上n個(gè)文字的多項(xiàng)式。定理2.9.1 數(shù)環(huán)R上的兩個(gè)n元多項(xiàng)式與的乘積是首項(xiàng)等于這兩個(gè)多項(xiàng)式首項(xiàng)的乘積。特別，兩個(gè)非零多項(xiàng)式的乘積也不等于零。定理2.9.2 數(shù)環(huán)R上兩個(gè)不等于零的n元多項(xiàng)式的乘積的次數(shù)等于這兩個(gè)多項(xiàng)式次數(shù)的和。定理2.9.3 設(shè)是數(shù)環(huán)R上的一個(gè)n元多項(xiàng)式，如果對于任意都有，那么推論

14、2.9.1 設(shè)與是數(shù)環(huán)R上n元多項(xiàng)式，如果對于任意都有，那么換句話說，如果由與確定的多項(xiàng)式函數(shù)相等，那么這兩個(gè)多項(xiàng)式相等。2.10 對稱多項(xiàng)式定義1 設(shè)是數(shù)環(huán)R上的一個(gè)n元多項(xiàng)式，如果對于這n個(gè)文字的指標(biāo)集施行任意一個(gè)置換后，都不改變，那么就稱是R上一個(gè)n元對稱多項(xiàng)式。定義2 （1），這里表示 中k個(gè)所作的一切可能乘積的和，這樣的n個(gè)多項(xiàng)式顯然都是n元對稱多項(xiàng)式。我們稱這n個(gè)多項(xiàng)式為n元對等對稱多項(xiàng)式。引理2.10.1 設(shè)是數(shù)環(huán)R上一個(gè)n元對稱多項(xiàng)式，以代替，得到關(guān)于的一個(gè)多項(xiàng)式。如果，那么一切系數(shù)，即定理2.10.1 數(shù)環(huán)R上一n元對稱多項(xiàng)式都可以表示成初等對稱多項(xiàng)式的系數(shù)在R中的多項(xiàng)式，并

15、且這種表示法是唯一的。推論2.10.1 設(shè)是數(shù)域F上的一個(gè)一元n次多項(xiàng)式，它的最高次項(xiàng)系數(shù)是1。令是是復(fù)數(shù)域內(nèi)的全部根（按重根重?cái)?shù)計(jì)算）。那么的每一個(gè)系數(shù)取自F的對稱多項(xiàng)式都是的系數(shù)的多項(xiàng)式（它的系數(shù)在F內(nèi)）因而是F的一個(gè)數(shù)。第三章 行列式3.2 排列定義1 n個(gè)數(shù)碼1，2，n的一個(gè)排列指的是由這n個(gè)數(shù)碼組成的一個(gè)有序組，叫做數(shù)碼的排列。定義2 一般的在一個(gè)排列里，如果某一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼前面，就說這兩個(gè)數(shù)碼構(gòu)成一個(gè)反序，在一個(gè)排列里出現(xiàn)的反序總數(shù)的總和叫做這個(gè)排列的反序數(shù)（逆序數(shù)）。一個(gè)排列的逆序數(shù)可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)，有偶數(shù)個(gè)逆序數(shù)的排列叫作一個(gè)偶排列；有奇數(shù)個(gè)逆序數(shù)的排列

16、叫作一個(gè)奇排列。定義3 如果把這個(gè)排列里任意兩個(gè)數(shù)碼交換一下，而其余的數(shù)碼保持不動(dòng)，那么就得到一個(gè)新的排列，對于排列所施行的這樣一個(gè)變換叫作一個(gè)對換，并且用符號(hào)來表示。定理3.2.1 設(shè)和是n個(gè)數(shù)碼的任意兩個(gè)排列，那么 總可以通過一系列對換由得出。定理3.2.2 每一個(gè)對換都改變排列的奇偶性。定理3.2.3 時(shí)，n個(gè)數(shù)碼的奇排列與偶排列的個(gè)數(shù)相等，各為個(gè)。3.3 n階行列式我們用符號(hào)來表示排列的逆序數(shù)。定義1 用符號(hào) 表示的n階行列式指的是項(xiàng)的代數(shù)和，這些項(xiàng)是一切可能取自的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的 乘積。項(xiàng)的符號(hào)為，也就是說，當(dāng)是偶排列時(shí)，這一項(xiàng)的符號(hào)為正，當(dāng)是奇排列時(shí)，這一項(xiàng)的符號(hào)為

17、負(fù)。定義2 n階行列式 如果把D的行變?yōu)榱?，就得到一個(gè)新的行列式 叫作D的轉(zhuǎn)置行列式。引理3.3.1 從n階行列式的第行和列取出的元素作積，這里和都是1，2，n這n個(gè)數(shù)碼的排列，那么這一項(xiàng)在行列式中的符號(hào)是命題3.3.1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。命題3.3.2 交換一個(gè)行列式的兩行（或兩列），行列式改變符號(hào)。推論3.3.1 如果一個(gè)行列式有兩行（列）完全相同，那么這個(gè)行列式等于零。命題3.3.3 把一個(gè)行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一個(gè)數(shù)k，等于以數(shù)k乘以這個(gè)行列式。推論3.3.2 一個(gè)行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符號(hào)外邊。推論3.3.3 如果一個(gè)行列式中有

18、一行（列）的元素全是零，那么這個(gè)行列式等于零。推論3.3.4 如果一個(gè)行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，那么這個(gè)行列式等于零。命題3.3.4 設(shè)行列式D的第i行的所有元素都可以表示成兩項(xiàng)的和：那么D等于兩個(gè)行列式的和，其中的第i行的元素是，的第i行元素是，而的其他各行都和D的一樣。命題3.3.5 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上，行列式不變。3.4 子式和代數(shù)余子式行列式的依行列展開定義1 在一個(gè)n階行列式D中任意取定k行和k列。位于這些行列式的相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式叫作行列式D的一個(gè)k階子式。定義2 階行列式 的某一元素的余子式指的是在D中劃去所

19、在的行和列后所余下的階子式。定義3 n階行列式D的元素的余子式附以符號(hào)后,叫作元素的代數(shù)余子式。元素的代數(shù)余子式用符號(hào)來表示：。定理3.4.1 若在一個(gè)n階行列式 中，第行（或第列）的元素除都是零，那么這個(gè)行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積： 定理3.4.2 行列式D等于它任意一行（列）的所有元素與它們對應(yīng)代數(shù)余子式的乘積的和。換句話說，行列式有依行或依列展開式：定理3.4.3 行列式 的某一行(或列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零。換句話說，3.5 克拉默法則設(shè)給定了一個(gè)含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組 利用的系數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)n階行列式，這個(gè)行列式叫作方程組的行列

20、式。定理3.5.1 （克拉默Cramer）法則)一個(gè)含有n個(gè)未知量的n個(gè)方程的線性方程組當(dāng)它的行列式時(shí)，有且僅有一個(gè)解，此處的是把行列式的第列的元素?fù)Q以方程組的常數(shù)項(xiàng)而得到的n階行列式。第四章 線性方程組4.1 消元法定義 我們對線性方程組施行這三個(gè)初等變換： (i) 交換兩個(gè)方程的位置；(ii) 用一個(gè)不等于零的數(shù)乘以某個(gè)方程；(iii) 用一個(gè)數(shù)乘以某個(gè)方程后加到另一個(gè)方程；叫作線性方程組的初等變換。定理4.1.1 初等變換把一個(gè)線性方程組變?yōu)榕c它同解的線性方程組。定義1 由個(gè)數(shù)排成的一個(gè)s行和t列的表 叫作一個(gè)s行t列（或）矩陣。叫作這個(gè)矩陣的元素。定義2 矩陣的行（或列）初等變換指的是

21、對一個(gè)矩陣施行的下列變換： （i）交換矩陣的兩行（或列）；（ii）用一個(gè)不等于零的數(shù)乘以矩陣的某一行（列），即用一個(gè)不等于零的數(shù)乘以矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素；（iii）用某一個(gè)數(shù)乘以矩陣的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一數(shù)乘以矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上。定理4.1.2 設(shè)A是一個(gè)m行n列的矩陣：通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式： 進(jìn)而化為以下形式： 這里表示矩陣的元素，但不同的位置上*的表示的元素未必相同。4.2 矩陣的秩 線性方程組可解的判別法定義1 在一個(gè)s行t列的矩陣中，任意取k行k列。位于這些行列式的交點(diǎn)處的元素（不改變

22、元素的相對位置）所構(gòu)成的k階行列式叫作這個(gè)矩陣的一個(gè)k階子式。定義2 一個(gè)矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫作這個(gè)矩陣的秩。若一個(gè)矩陣沒有不等于領(lǐng)的子式，就認(rèn)為這個(gè)矩陣的秩是；零。定理4.2.1 初等變換不改變矩鎮(zhèn)的秩。定理4.2.2 （線性方程組可解的判別法）線性方程組有解的充要條件是：它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩。定理4.2.3 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩r，那么r等于方程組所含有未知量的個(gè)數(shù)n時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多個(gè)解。4.3 線性方程組的公解定理4.3.1 設(shè)方程組有解，它的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣共同秩是。那么可以在的m個(gè)方程中選出r個(gè)方程，使得剩下的

23、個(gè)方程中的每一個(gè)都是這r個(gè)方程的結(jié)果，因而解方程組可以歸結(jié)為解這r個(gè)方程所組成的線性方程組。定義3 若是一個(gè)線性方程組的常數(shù)項(xiàng)等于零，那么這個(gè)方程組叫作一個(gè)齊次線性方程組。定理4.3.2 一個(gè)齊次線性方程組有非零解的充要條件是：它的系數(shù)矩陣的秩r小于它的未知量的個(gè)數(shù)n。推論4.3.1 含有n個(gè)未知量的n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是：方程組的系數(shù)行列式等于零。4.3.2 若在一個(gè)齊次線性方程組中，方程的個(gè)數(shù)m小于未知量的個(gè)數(shù)n，那么這個(gè)方程組一定有非零解。4.4 結(jié)式和判別式定理4.4.1 如果多項(xiàng)式 ， 有公共根，或者，那么它們的結(jié)式等于零。定理4.4.2 設(shè) 是復(fù)數(shù)域C上多項(xiàng)式

24、。是它們的結(jié)式。（i）如果，而是的全部根，那么 （ii）如果，而是的全部根，那么。 定理4.4.3 如果多項(xiàng)式的結(jié)式等于零，那么或者它們的最高次項(xiàng)系數(shù)都等于零，或者這兩個(gè)多項(xiàng)式有公共根。第五章 矩陣5.1 矩陣的運(yùn)算定義 令F是一個(gè)數(shù)域。用F的元素作成的一個(gè)m行n列的矩陣 叫作一個(gè)F上的矩陣。A也簡記作，為了指明A的行數(shù)和列數(shù)，有時(shí)也把它記作。定義1 數(shù)域F上的一個(gè)矩陣的乘積aA指的是矩陣。求數(shù)與矩陣 的乘積的運(yùn)算叫作數(shù)與矩陣的乘法。定義2 兩個(gè)矩陣，的和A+B指的是矩陣。求兩個(gè)矩 陣的和的運(yùn)算叫作矩陣的加法。注意：我們只能把行數(shù)相同，列數(shù)相同的兩個(gè)矩陣相加。以上兩種運(yùn)算的一個(gè)重要的特例是 數(shù)

25、列的運(yùn)算我們把由F的n個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列叫作F上的一個(gè)n元數(shù)列。這樣的一個(gè)n元素列可以理解為一個(gè)一行n列矩陣，也可以理解為一個(gè)n行一列矩陣，這樣，作為以上定義的矩陣運(yùn)算的特例，就得到F的數(shù)與n元數(shù)列的乘法以及兩個(gè)n元數(shù)列的加法：，由定義1和定義2，得出以下運(yùn)算規(guī)律：A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);0+A=A;A+(-)A=0a(A+B)= aA+Bb；(a+b)A= aA+Ab;A(Ba)=(ab)A;這里A，B，和C表示任意矩陣，而a和b表示F中的任意數(shù)。利用負(fù)矩陣我們定義矩陣的減法： A-B=A+（-B），于是有 。定義3 數(shù)域F上的矩陣與矩陣的乘積AB指的是這樣的一個(gè)矩陣，

26、這個(gè)矩陣的第行和第列的元素等于A的第行的元素與B的第列的對應(yīng)元素的乘積的和：這個(gè)乘法可以圖示如下： = 矩陣乘法滿足結(jié)合律： （AB）C=A（BC）定義 我們把主對角線（從左上腳到右下腳的對角線）上元素都是1，而其他元素都是0的n階方陣 叫作n階單位矩陣，記作，有時(shí)簡記作。有以下性質(zhì)： 矩陣的乘法和加法滿足分配律： ，。矩陣的乘法和數(shù)與矩陣的乘法顯然滿足以下運(yùn)算規(guī)律： 。定義4 設(shè)矩陣 把A的行變?yōu)榱兴玫降木仃?叫作矩陣A的轉(zhuǎn)置。矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下規(guī)律：5.2 可逆矩陣 矩陣乘積的行列式定義 令A(yù)是數(shù)域F上的一個(gè)n階矩陣，若是存在F上的一個(gè)n階矩陣B，使得，那么叫作一個(gè)可逆矩陣（或非奇異矩陣），而B叫作A的逆矩陣。定義 我們把以下三種矩陣叫作初等矩陣：初等矩陣都是可逆的，并且它們的逆矩仍然是初等矩陣。引理5.2.1 設(shè)對矩陣A施行一個(gè)初等變換后，得到矩陣，那么A可逆的充要條件是可